制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

CT41 状態フィードバック

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 4.1

[M]　数学的には、行列 $A$ が行列 $A-BF$ に変わるので、不安定固有値を安定固有値に移動させる可能性さえあるということかな。

[P]　物理的には、ばね定数や摩擦係数を変えることになって、デバイスを変えたわけではないのにダイナミックスが変わってしまい、ちょっと不思議な気がするね。

[C]　ある高名な研究者の解説には「状態フィードバックは最強である」という表現があるらしいよ。これはすべての状態変数の動きを監視していて、変化があれば即座にアクチュエータにフィードバックできれば、これ以上の制御動作はないという意味らしいよ。

Flipped Classroom 4.1
[1] 　プログラムを解析して、どのような固有値を設定しようとしているか、また正しい状態フィードバックが求まっているか調べてください。また、自分で指定した固有値に設定する状態フィードバックゲインを求めてみてください。

[2] 　多入力の場合は、閉ループ系の固有値を指定しただけでは、状態フォードバックは一意の定まらなことを、しっかり認識してください。たとえば、適当な初期値を与えて応答が異なることを確認してみてください。

CT34 補遺３

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

安定判別

[C]　漸近安定性の等価な条件として次を学んだことになるね。

【漸近安定性の定義とその等価な条件】

定義DA:　 $\forall x(0)\ne 0: x(t)=\exp(At)x(0)\rightarrow 0\quad(t\rightarrow\infty)$

条件A0:　 $\exp(At)\rightarrow 0_{n\times n}\quad(t\rightarrow\infty)$

条件A1:　 ${\rm Re}(\lambda_i(A))<0\quad(i=1,\cdots,n)$

[P]　なぜ行列 $A$ だけを用いるのか、その理由を物理的に説明できま～す。

[M]　２次系の場合は分かったからは、あとは一般の場合の証明ができるかどうかだ。そのためには、まず実Jordan標準形を理解する必要があり、次が参考になるらしいよ。

実Jordan標準形

その上で、実Jordan標準形の行列指数関数を考えるのだそうだ。次が参考になるらしいよ。

行列指数関数

(以上、とりあえず手がかりとなる材料を示しておきます。)

CT33 パッシブ制御

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 3.3

[P]　日産の技術紹介でスカイフック制御のビデオを見たことがあるよ。油圧で減衰係数を200通りも変えられると説明されていたね。これにより、高速運転のときはしっかりした足回りにしたり、低速で段差を乗り越えるような場合は柔らかく受け止めるようにできるらしいよ。高度なアクティブ制御の一例かな。

[M]　状況に応じて制御則が変わるのはすごいと思うが、閉ループ系はいつも漸近安定と言えるのだろうか？

[C]　ゲインスケジューリング制御の授業では、減衰係数を可変にする制御系設計がレポート課題だったな。確か閉ループ系の安定性が議論されていたと思うけど。

Flipped Classroom 3.3
[1] 　行列 $A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\frac{K}{M} & -\frac{D}{M} \end{array}\right]$ の特性方程式は

$\displaystyle{(1)\quad {\rm det}(\lambda I_2-A)={\rm det}\left[\begin{array}{cc} \lambda & -1\\ \frac{K}{M} & \lambda+\frac{D}{M} \end{array}\right]=\lambda^2+\frac{D}{M}\lambda+\frac{K}{M}=0 }$

行列 $A$ の固有値は

$\displaystyle{(2)\quad \lambda=\frac{1}{2}(-\frac{D}{M}\pm\sqrt{\frac{D^2}{M^2}-\frac{K}{M}}) }$

となって、必ず複素左半平面にあることがわかります。

[2] 応答の評価は次の通りです。速応性と静粛性はトレードオフの関係にあります。妥協点は $D=\sqrt{2}$ でしょうか？

● $D=0.02$ のとき、速応性は〇、静粛性は×
● $D=\sqrt{2}$ のとき、速応性は△、静粛性は△
● $D=2$ のとき、速応性はｘ、静粛性は〇

CT32 安定判別

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 3.2

[C]　安定判別といえば、古典制御ではナイキストの安定定理、ラウス・フルビッツの判定法を思い出すね。それらの手続きについては習ったけど、特にラウス・フルビッツの判定法の証明は習ったかな？

[M]　数学的には行列 $A$ の固有値がすべて複素左半平面にあるかどうかだけどね。

[P]　固有値とか、固有ベクトルとか、線形代数で習ったけど、Jordan標準形の導出などちょっとついていけなかった。ましてや、これらの物理的な意味など説明できるのかな？

Flipped Classroom 3.2
[1],[2],[3],[4],[5] 　次のサイトを参照してください。

行列指数関数

[6] 不安定な固有値には赤色をつけてみてください。

CT31 漸近安定性

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 3.1

[P]　漸近安定性の意味は、平衡状態が乱されたときに復帰できるかどうかなので、物理的には明らかだね。

[C]　でも状態空間表現におけ３つの行列 $A,B,C$ のうち、どうして行列 $A$ だけしか関係しないのかな？

[M]　 $u\ne0$ の場合は、状態方程式は微分方程式なので、その解は複雑なはずだよね。なぜ $u=0$ とするのかな？

Flipped Classroom 3.1
[1] 漸近安定性は、平衡入力のもとで平常状態の振舞い（状態方程式の解）に関係しています。線形状態方程式において平衡入力は $u=0$ で表されるから、行列 $A$ だけしか関係しません。この説明を行なえる人は少ないようです。

[2] 平衡状態は $x=0$ で表されるから、零に漸近しているのは $a=-5$ の場合だけです。テキストはモノクロ印刷なので、必ずプログラムを実行してください。

CT24 補遺2

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

状態空間表現

[C]　次のサイトも見ておこう。

線形系
線形化
倒立振子

[P]　柔軟構造物の状態空間表現は、状態変数の取り方がちょっと変わっているようだね。

柔軟ビーム

[M]　常微分方程式ではなく、偏微分方程式を扱うようだね。

CT23 線形状態方程式

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 2.3

[M]　(2.22)がどのように出てくるのか、詳しく説明するね。その前に、(2.19)の $f$ はベクトル値関数で、おそらくほとんどの人は初めて出会うものだと思うよ。この場合の $f$ は２次元ベクトルなので、その要素を $f_1,f_2$ とすると

$\displaystyle{(1)\quad f=\left[\begin{array}{c} f_1\\ f_2 \end{array}\right] }$

と書けるね。さらに、 $f_1,f_2$ は $\theta,\omega,\tau$ の多変数関数なので

$\displaystyle{(2)\quad f(\theta,\omega,\tau)= \left[\begin{array}{ll} f_1(\theta,\omega,\tau)\\ f_2(\theta,\omega,\tau) \end{array}\right] }$

と書けるね。ここで、 $f_1$ を $\theta^*,\omega^*,\tau^*$ 周りでテーラー展開すると

$\displaystyle{(3)\quad %\left\{\begin{array}{ll} f_1(\theta,\omega,\tau)=f_1(\theta^*,\omega^*,\tau^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}(\theta-\theta^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\omega}(\omega-\omega^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\tau}(\tau-\tau^*)+\cdots %\end{array}\right.} }$

ただし、 $\frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}$ などの記法は

$\displaystyle{(4)\quad \frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}=\frac{\partial f_1(\theta^*,\omega^*,\tau^*)}{\partial\theta}= \left.\frac{\partial f_1(\theta,\omega,\tau)}{\partial\theta}\right|_{\theta=\theta^*,\omega=\omega^*,\tau=\tau^*} }$

を表しているよ。 $f_2$ も同様に展開して

$\displaystyle{(5)\quad %\left\{\begin{array}{ll} f_2(\theta,\omega,\tau)=f_2(\theta^*,\omega^*,\tau^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\theta}(\theta-\theta^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\omega}(\omega-\omega^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\tau}(\tau-\tau^*)+\cdots %\end{array}\right.} }$

(3)と(5)を１次項で打ち切って、ベクトル表示したものが(2.22)ということになるね。

[P] 運動の各自由度について、位置と速度をペアにして状態変数を定義することが多いので、状態変数ベクトルの次元数は運動の自由度の２倍になるとと考えて良いようだね。

[C] 状態空間表現における行列 $A,B,C$ の呼び方に通称がないので、ちょっと困るよね。

Flipped Classroom 2.3
[1]　行列 $A$ の(2,1)要素は

$\displaystyle{(6)\quad %\left\{\begin{array}{ll} \frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}=-\frac{3g}{4\ell}\cos(\theta^*) %\end{array}\right.} }$

$\theta=0$ のときが $A_1$ 、 $\theta=\pi$ のときが $A_2$ です。
　
[2]　MAXIMAの方は定義通りに計算しています。一方MATLABの方は次を参照してください。

ラグランジュの運動方程式

CT22 剛体振り子

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 2.2

[M] (2.12)から(2.13)と(2.14)を得るところについて、説明するね。まず関数 $f(x)$ の $x=a$ の周りでのテーラー展開

$\displaystyle{(1)\quad f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{d^2}{dx^2}(x-a)^2+\cdots }$

に基づいて、次の $f(x)$ の１次近似を考えるんだ。

$\displaystyle{(2)\quad f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a) }$

ここで、 $x=\theta$ 、 $f(x)=\sin\theta$ の場合を考えると

$\displaystyle{(3)\quad \sin\theta\simeq\sin(a)+\cos(a)(\theta-a) }$

となるね。したがって、 $a=0$ の場合は

$\displaystyle{(4)\quad \sin\theta\simeq\underbrace{\sin(a)}_{0}+\underbrace{\cos(a)}_{1}\theta=\theta }$

また、 $a=\pi$ の場合は

$\displaystyle{(5)\quad \sin\theta\simeq\underbrace{\sin(a)}_{0}+\underbrace{\cos(a)}_{-1}(\theta-\pi)=-(\theta-\pi) }$

これらを(2.11)に代入したものが、それぞれ(2.13)と(2.14)です。

訂正初版での記述「( $a=\theta-\pi$ だから)、 $\sin\theta\simeq \theta-\pi$ として」は、「( $a=\pi$ だから)、 $\sin\theta\simeq -(\theta-\pi)$ として」に訂正させてください。

[P] 剛体振り子ではの周期はどうやって求めればよいのだろう。Flipped Classroomで考えるようだね。

[C] ２つの平衡状態の物理的な振舞いが、(2.15)と(2.16)の相違とどう関係しているか興味があるね。

Flipped Classroom 2.2
[1] 　単振り子の振舞いは(2.7)で決まります。一方、剛体振り子の振舞いは(2.15)で決まります。したがって、そこに現れる行列の(2,1)要素を等しいとおいてみます。

$\displaystyle{(2)\quad -\frac{g}{L}=-\frac{3g}{4\ell}\Rightarrow L=\frac{4\ell}{3}=\frac{2}{3}2\ell }$

[2] 　剛体振り子の長さ $2\ell$ の2/3の長さの単振り子を準備すれば、周期が一致すると考えられます。

CT21 単振り子

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 2.1

[P]　高校の物理で出てきた単振り子を「数学的振り子」と呼ぶことがあるんだ。知らなかった。「単」は「単一(single)」の意味かな？単振り子の周期は暗記させらたよね。

[M]　その導出は一般には難しいけど、 $\theta$ が小さいときに限れば容易に理解できるな。線形理論の有用性を示す好例だね。

[C]　一般の場合でも数値計算は簡単にできるんだ。微分方程式を解く関数は重宝するね。

Flipped Classroom 2.1
[1] 　(2.6)と(2.7)の表現が前提になっていることに注意してください。
[2] 　 $177^\circ$ の場合の単振り子は考えにくいが、シミュレーションはとても興味深いです。「倒れるぞ！」という声が聞こえませんか？

CT14 補遺１

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

制御とは

[P]　本書では、平衡状態周りの挙動の安定化を、制御の基本的役割と考えているようだね。各分野における平衡の概念については、ウィキペディアにまとめてあるよ。特に、「力学においては、物体に加わっている全ての力の合力と力のモーメントの和がともに 0 である状態を平衡と呼ぶ。」の記述があるね。

[M]　平衡状態を求めるには、速度変化が０、すなわち加速度＝０を満たすものとして求めてよいようだ。この平衡状態まわりでテイラー展開した１次項までで、平衡状態周りの挙動は十分表されると仮定しているわけだ。だけど、展開する関数は、ベクトル値をとる多変数関数だから、ちょっと複雑に見えるかな。

[C]　昔、電気回路の洋書を読んだことがあって、平衡状態周りの挙動の解析のおかげで、かなりの工学の問題が解けて、大きな貢献してきたという記述を読んだことがあるよ。これが線形回路を学ぶ大きな意義だと強調していたことを覚えている。

（まだまだ多くの会話を書きとどめたいけど、先を急ぎます。）