CT54 補遺5 | 制御系CAD

まず穴埋め問題の解答を示します。太字がキーワードなので、確認してください。

[1] 制御対象の状態空間表現が与えられているとする。これは「状態方程式」 ${\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$ と観測方程式 ${y(t)=Cx(t)}$ からなる。ここで、 ${x(t),u(t),y(t)}$ はそれぞれ次数 ${n,m,p}$ をもつベクトル、 ${A,B,C}$ はそれぞれサイズ ${n\times n,n\times m,p\times n}$ をもつ行列である。また、初期状態「 ${x(0)=0}$ 」は、平衡状態を表すように選ばれているものとする。

[2] いま、何らかの外乱により平衡状態が乱され、 ${x(0)\ne0}$ となったとする。このとき、次第に平衡状態に戻るとき、すなわち ${x(t)\rightarrow 0\ (t\rightarrow\infty)}$ となるとき、制御対象は「漸近安定」であるという。そのための条件は、行列 ${A}$ が安定行列、すなわち行列 ${A}$ の「すべての固有値の実部が負」であることである。

[3] いま、制御対象が安定ではないとき、これを「状態フィードバック」 ${u(t)=-Fx(t)}$ により安定化したい。すなわち、閉ループ系の行列「 $A-BF$ 」を安定行列としたい。それが可能かどうか調べるためには、「可制御」性の条件「 ${{\rm rank}\ [B,AB,\cdots,A^{n-1}B]=n}$ 」が成立するかどうかをチェックすればよい。

[4] 状態フィードバックを実施するためには、全ての状態変数を、「センサ」を用いて計測する必要がある。しかし、これはいつも可能とは限らないので、状態変数の値を漸近的に推定する「状態オブザーバ」 ${\dot{\hat{x}}(t)=(A-HC)\hat{x}(t)+Hy(t)+Bu(t)}$ が用いられる。これは、 ${\hat{x}(t)\rightarrow x(t)\ (t\rightarrow\infty)}$ となるように、オフザーバゲイン ${H}$ を選択することにより達成される。それが可能かどうか調べるためには、「可観測」性の条件「 ${{\rm rank}\left[\begin{array}{c}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{array}\right]=n}$ 」が成立するかどうかをチェックすればよい。

[5] 状態フィードバックを状態オブザーバを用いて、 ${u(t)=-F\hat{x}(t)}$ のように実施するとき、状態空間表現 ${\dot{\hat{x}}(t)=(A-HC-BF)\hat{x}(t)+Hy(t)}$ 、 ${u(t)=-F\hat{x}(t)}$ を「オブザーバベース」コントローラと呼ぶ。これによる閉ループ系の固有値の集合は、行列「 $A-BF$ 」の固有値の集合と行列「 $A-HC$ 」の固有値の集合の和集合となることが知られている。したがって、状態フィードバックと状態オブザーバの設計は独立に行うことができる。ただ、制御動作より状態推定が速く行われなければならないので、複素平面上で、行列「 $A-HC$ 」の固有値は行列「 $A-BF$ 」の固有値のより左寄りとすることが考えられる。

【選択肢】 (a) 発展方程式、(b) 状態方程式、(c) ${x(0)\ne0}$ 、(d) ${x(0)=0}$ 、(e)安定、(f)漸近安定、(g)不安定、(h)すべての固有値の実部が負、(i)ある固有値の実部が負、(j)すべての固有値の実部が正、(k)ある固有値の実部が正、(l)状態フィードバック、(m)状態オブザーバ、(n) $A-BF$ 、(o) $A-HC$ 、(p) $A-HC-BF$ 、(q)可制御、(r)可観測、(s)可安定、(t)可検出、(u) ${{\rm rank}\ [B,AB,\cdots,A^{n-1}B]=n}$ 、(v) ${{\rm rank}\left[\begin{array}{c}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{array}\right]=n}$ 、(w)アクチュエータ、(x)センサ、(y)PID、(z)オブザーバベース

次に、可検出性と可観測性の証明は、とりあえず次を参照してください。

可観測性