制御系CAD

Flipped Classroom 8.2
[1] (8.15)ではなく、(8.17)から $x_I$ は $\frac{w^*}{k_I}=\frac{1}{1}=1$ に漸近するはず。図8.6の下段のシミュレーションはプログラムから $x_I$ ではなく $-k_Ix_I=-x_I$ だから、その値は-1に漸近しており、 $x_I$ は1に漸近することが確かめられます。（下段のシミュレーションが $x_I$ となるように、プログラムを変更する予定です。）

[2] 偏差系の安定化を、閉ループ系の固有値を指定して求めています。

CT81 定値外乱下の速度制御

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 8.1

[C]　積分器は目標値（定値）との定常偏差をなくすために必要となると思っていたけど、ここでの説明はちょっと違うね。定常偏差を生じさせる定値外乱の除去に焦点を当てているようだ。

[P]　積分器が未知の外乱を推定するとは、不思議な気がするね。

[M]　でも数学的には、確かに標値との定常偏差をなくすことと、積分器が未知の外乱を推定することが証明されているよ。

Flipped Classroom 8.1
[1] (8.10)から $x_I$ は $\frac{w^*}{k_I}=\frac{1}{1}=1$ に漸近するはず。図8.3の下段のシミュレーションはプログラムから $x_I$ ではなく $-k_Ix_I=-x_I$ だから、その値は-1に漸近しており、 $x_I$ は1に漸近することが確かめられます。（下段のシミュレーションが $x_I$ となるように、プログラムを変更する予定です。）

[2] 多い風の場合は、 $w^s=-1$ とします。

CT73 補遺7

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

[C]　LQ制御の要点をまとめると、次のようになるかな。　

【LQ制御】　可制御な制御対象

$\displaystyle{(1)\quad %\left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\quad (x(t)\in{\bf R}^n,u(t)\in{\bf R}^m)\\ %z(t)=Cx(t)&(z(t)\in{\bf R}^q) %\end{array}\right. }$

を安定化する状態フィードバック

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=-Fx(t) }$

の決定法を考えます。一つの方法は，閉ループ系

$\displaystyle{(3)\quad %\left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=(A-BF)x(t) \\ %z(t)=Cx(t) %\end{array}\right. }$

の時間応答に関する評価規範として，２次形式評価関数

$(4)\quad \boxed{\begin{array}{l} \displaystyle{J=\int_0^\infty (z^T(t)Qz(t)+u^T(t)Ru(t))\,dt\quad (Q>0,R>0)}\\ \displaystyle{z(t)=Cx(t)\quad (z(t)\in{\bf R}^q)} \end{array}}$

を設定し，これを最小化する問題を解くことです。ただし、 $(A,C)$ は可観測対とします。これによる状態フィードバックのゲイン行列 $F$ は，リッカチ方程式

$\displaystyle{(5)\quad {\boxed{\Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C^TQC=0}} }$

の解 $\Pi>0$ を用いて，次式で与えられます。

$\displaystyle{(6)\quad {\boxed{F=R^{-1}B^T\Pi}} }$

[P]　LQ制御は、運動の自由度の連成を解きほぐすという意味の多変数制御を保証するわけではなさそうだ。やはり、運動の自由度の対応するアクチュエーションを工夫して、状態空間モデルを得ることが大切ということかな？

[M]　LQ制御に関する証明については、次を参照するらしいよ。

まず閉ループ系の安定性を表す制約条件について

リャプノフ方程式

そして、一般の状態フィードバックについて

LQ制御

さらには、オブザーバベースコントローラについて

LQG制御

（詳しい説明は、あとで行う予定です。）

CT72 2次系のLQ制御

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 7.2

[P]　よく多変数制御というけど、制御対象の運動の複数の自由度を同時に操ることを意味しているのであれば、本当にできるのかなと思ってしまう。

[C]　制御対象の可制御性と可観測性を前提とし、２次形式評価関数を最小化する状態FBを求めるLQ制御は、多変数制御のための強力なツールとなっているらしいよ。

[M]　その導出は、基本的には１入力系の場合と同じアプローチでできて、最終的にはリッカチ方程式という行列の２次方程式を解くことになるんだ。　

Flipped Classroom 7.2
[1] 仮に $q_2=0$ としても、閉ループ２次系の減衰係数は $1/sqrt(2)$ となっており、十分減衰がかかっていることを意味しています。
[2] 著者は、プログラムopt.mを用いて、多くの制御問題を解いてきました。世界一重要なツールと言っても過言ではないと思っています。

CT71 １次系のLQ制御

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 7.1

[P]　平衡状態から外れたとき、これを戻すためには、いろいろな「軌道（時系列）」があると思うけど、何かリーズナブルな決め方はあるのかな？

[C]　状態変数の振る舞い（２乗面積）と操作変数の振る舞い（２乗面積）のトレードオフを計ることがよく行われているよ。

[M]　トレードオフの意味だけど、高校で、次の関数の最小値を求める問題があったね。

$\displaystyle{(1)\quad y=x+\frac{1}{x} }$

右辺第１項は増加関数、第２項は減少関数だから、グラフを描いてみると、最小値が生まれているよね。

Flipped Classroom 7.1
[1]

評価関数はスカラ値を取るので、定数倍してもOKだから、 $q^2$ で割ると、

$\displaystyle{(1)\quad \frac{J}{q^2}=\int_0^\infty (x^2(t)+(\frac{r}{q})^2u^2(t))dt =\int_0^\infty (x^2(t)+\frac{1}{\rho^2}u^2(t))dt }$

これから $1/\rho$ は操作のためのコストとみなせます。すなわちコスト $1/\rho$ がより小さくなると、操作はより大きな振る舞いが許されます。 $\rho\rightarrow\infty$ のときはcheap controlと呼ばれます。
　
[2] 　

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (\lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} a & -r^{-2}b^2\\ -q^2 & -a \end{array}\right]) =(\lambda-a)(\lambda+a)-q^2r^{-2}b^2=\lambda^2-a^2-q^2r^{-2}b^2=0 \end{array} }$

を解くと

$\displaystyle{(2)\quad \lambda=\pm\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} }$

$\lambda<0$ の場合の固有ベクトルは

$\displaystyle{(3)\quad %\begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} a & -r^{-2}b^2\\ -q^2 & -a \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} v_1\\ v_2 \end{array}\right] =-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} \left[\begin{array}{cc} v_1\\ v_2 \end{array}\right] %\end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(4)\quad \left\{\begin{array}{l} av_1-r^{-2}b^2v_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}v_1\\ -q^2v_1-av_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}v_2 \end{array}\right. }$

$v_1=1$ の場合(と規格化する場合)は

$\displaystyle{(4)\quad %\left\{\begin{array}{l} a-r^{-2}b^2v_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} \Rightarrow v_2=\frac{a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}}{r^{-2}b^2} %\end{array}\right. }$

したがって

$\displaystyle{(5)\quad %\left\{\begin{array}{l} f=r^{-2}b^2v_2v_1^{-1}=r^{-2}b^2\frac{a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}}{r^{-2}b^2} =a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} %\end{array}\right. }$

CT64 補遺6

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

n次系の周波数応答

次の漸近安定な１入力１出力 $n$ 次系の状態空間表現を考えます。

$\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)&(x(t)\in{\rm\bf R}^n,u(t)\in{\rm\bf R})\\ y(t)=Cx(t)&(y(t)\in{\rm\bf R}) \end{array}\right.}$

このとき、正弦波入力

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=\sin\omega t}$

に対する零状態応答を計算します。そのために

$\displaystyle{(3)\quad u(t)=e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)}$

を、零状態応答の式

$\displaystyle{(4)\quad y(t)=\int_0^tC\exp(A(t-\tau))Bu(\tau)d\tau}$

に代入して

$(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\int_0^tC\exp(A(t-\tau))Be^{j\omega\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^te^{j\omega\tau}\exp(-A\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^t\exp(j\omega\tau I_n)\exp(-A\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^t\exp((j\omega I_n-A)\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At) \left[\frac{}{}\exp((j\omega I_n-A)\tau)\right]_0^t(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=C\exp(At) (\exp((j\omega I_n-A)t)-I_n)(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=-C\exp(At)(j\omega I_n-A)^{-1}B+C\exp(At)\exp(j\omega t I_n)\exp(-At)(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=-C\exp(At)(j\omega I_n-A)^{-1}B+C(j\omega I_n-A)^{-1}Be^{j\omega t}} \end{array}$

ここで $t\rightarrow\infty$ とすると

$(6)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=C\underbrace{\exp(At)}_{\rightarrow 0\ (t\rightarrow\infty)}(j\omega I_n-A)^{-1}B+\underbrace{C(j\omega I_n-A)^{-1}B}_{G(j\omega) =|G(j\omega)|e^{j\angle G(j\omega)}}e^{j\omega t}}\\ \displaystyle{\simeq |G(j\omega)|e^{j(\omega t+\angle G(j\omega))}}\\ \displaystyle{=|G(j\omega)|\cos(\omega t+\angle G(j\omega))+j|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle G(j\omega))} \end{array}$

これから正弦波入力(3)に対する零状態応答は、 $t\rightarrow\infty$ のとき次式で与えられます。

$\displaystyle{(7)\quad y(t)\simeq|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle G(j\omega))}$

これは、入力が正弦波のときは、時間が十分立てば、出力も正弦波となることを示しています。その振幅と位相はそれぞれ $\hat{G}(j\omega)$ の絶対値と偏角となっています。

CT63 ２次系のステップ応答

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 6.3

[P]　物理の言葉ではないと思うけど、無定位系とよばれる制御対象があるよ。モータやビークルのように、復原項がない場合は、位置が定まらないという意味らしい。無定位系では、位置についてステップ応答の実験ができないよね。

[C]　単位フィードバックを行えば、ステップ応答の実験ができるのだけど、フィードバックの知識がないと気が付かないかな。

[M]　位置と速度を状態変数にもつ無定位系

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] u(t)\\ y(t)= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array} }$

に対して、単位フィードバック

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=v(t)-y(t) }$

によって復原項を入れると、次のような２次系になるからだね。

$\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] u(t)\\ y(t)= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array} }$

Flipped Classroom 6.3
[1] 　

[2]

$1^\circ$ $\zeta>1$ のとき、インパルス応答を積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

$\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{\lambda_2\tau}-e^{\lambda_1\tau})d\tau}\\ \displaystyle{= \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\left[\frac{e^{\lambda_2\tau}}{\lambda_2}-\frac{e^{\lambda_1\tau}}{\lambda_1}\right]_0^t}\\ \displaystyle{=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(\frac{e^{\lambda_2t}}{\lambda_2}-\frac{e^{\lambda_1t}}{\lambda_1})-\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1})}\\ \displaystyle{=1+\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}(\lambda_1e^{\lambda_2t}-\lambda_2e^{\lambda_1t})} \end{array} }$

$2^\circ$ $\zeta=1$ のとき、インパルス応答を積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

$\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\lambda^2\tau e^{\lambda\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=\lambda^2\left[\tau \frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}\right]_0^t -\lambda^2\int_0^t \frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=\lambda te^{\lambda t}-\lambda\left[\frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}\right]_0^t}\\ \displaystyle{=1+(\lambda t-1)e^{\lambda t}} \end{array} }$

$3^\circ$ $\zeta<1$ のとき、インパルス応答を積分して、公式

$\displaystyle{(6)\quad \int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)}$

を用いて、ステップ応答は次のように計算されます。

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_R\tau}\sin\lambda_I \tau d\tau}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}\left[ \frac{e^{\lambda_R\tau}}{\lambda_R^2+\lambda_I^2}(\lambda_R\sin\lambda_I\tau-\lambda_I\cos\lambda_I\tau)\right]_0^t}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}\frac{1}{\omega_n^2} (e^{\lambda_Rt}(\lambda_R\sin\lambda_It-\lambda_I\cos\lambda_It)+\lambda_I)}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt} (\sin\lambda_It\times\frac{-\lambda_R}{\omega_n}+\cos\lambda_It\times\frac{\lambda_I}{\omega_n})}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt} (\sin\lambda_It\cos\phi+\cos\lambda_It\sin\phi)}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin(\lambda_It+\phi) \quad(\phi=\tan^{-1}\frac{\lambda_I}{-\lambda_R})} \end{array} }$

[3] 　

ヒントより、 $T_p=\frac{\pi}{\lambda_I}$ だから

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} S(T_p)=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_RT_p}\sin(\lambda_IT_p+\phi)\\ =1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_R\frac{\pi}{\lambda_I}}\sin(\lambda_I\frac{\pi}{\lambda_I}+\phi)\\ =1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\sin(\pi+\phi) =1+\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\sin(\phi)\\ =1+\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\frac{\lambda_I}{\omega_n} =1+e^{\frac{-\zeta\omega_n}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\pi}=1+e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \end{array} }$

[4]　

$\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\left\{\begin{array}{l} T_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\\ p_0=\exp(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}) \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} T_p^2=\frac{\pi^2}{\omega_n^2(1-\zeta^2)}\\ \log p_0=-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \omega_n^2=\frac{\pi^2}{T_p^2(1-\zeta^2)}\\ (\log p_0)^2=\frac{\zeta^2\pi^2}{1-\zeta^2} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \zeta^2=\frac{(\log p_0)^2}{(\log p_0)^2+\pi^2}\\ \omega_n^2=\frac{\pi^2}{T_p^2}\frac{(\log p_0)^2+\pi^2}{\pi^2} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \zeta=\sqrt{\frac{(\log p_0)^2}{(\log p_0)^2+\pi^2}}\\ \omega_n=\frac{\sqrt{(\log p_0)^2+\pi^2}}{T_p} \end{array}\right.} \end{array} }$

[5] 　

CT62 ２次系のインパルス応答

投稿日時: 2023年12月30日投稿者: cacsd

Home Work 6.2

[P]　一般にインパルス応答を実験で求めようとすると大変そうだね。構造試験ではインパルス・ハンマーという道具が使用されるらしいけど、やはりインパルス応答が調べられているんだね。

[M]　インパルス応答の定義式(6.24)をよく見てみると、

$\displaystyle{(6.24)\quad G(t)=C\exp(At)B=C\exp(At)\left[b_1 \cdots b_m\right] }$

となっていて、これは $x(0)=b_1,\cdots,b_m$ の場合の零入力応答を並べたものと言えるね。そうすると、数学的には、インパルス応答は初期値を $B$ の各列ベクトルに設定したときの応答ということになるね。

[C]　この考え方は、非線形シミュレータで適当な初期値を与えたいときに役に立ちそうだね。

Flipped Classroom 6.2
[1] 　

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (\lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right]) =\lambda(\lambda+2\zeta\omega_n)+\omega_n^2=\lambda^2+2\zeta\omega_n\lambda+\omega_n^2=0 \end{array} }$

を解くと

$\displaystyle{(2)\quad \lambda=\frac{1}{2}(-2\zeta\omega_n\pm \sqrt{(2\zeta\omega_n)^2-4\omega_n^2}) =-\zeta\omega_n\pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} }$

これは次のように場合分けされます。

$1^\circ$ $\zeta>1$ のとき、 $\lambda_1=-\zeta\omega_n+ \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}, \lambda_2=-\zeta\omega_n- \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$

$2^\circ$ $\zeta=1$ のとき、 $\lambda_1=\lambda_2=-\omega_n$

$3^\circ$ $\zeta<1$ のとき、 $\lambda_1=-\zeta\omega_n+ j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}, \lambda_2=-\zeta\omega_n- j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$

[2]

$1^\circ$ $\zeta>1$ のとき

$\displaystyle{(6.28.1)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_1& 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right]^{-1} }_{V^{-1}} }$

$\displaystyle{(3.27)\quad \exp(\Lambda t)= \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& 0\\ 0 & e^{\lambda_2t} \end{array}\right] }$

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

$(3)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{ =\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& 0\\ 0 & e^{\lambda_2t} \end{array}\right] \frac{1}{\lambda_2-\lambda_1} \left[\begin{array}{cc} \lambda_2 & -1\\ -\lambda_1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{ =\frac{\omega_n^2}{\lambda_2-\lambda_1} \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& e^{\lambda_2t} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -1\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{\lambda_2t}-e^{\lambda_1t})} \end{array}$

$2^\circ$ $\zeta=1$ のとき、 $\lambda=-\omega_n$ とおいて

$\displaystyle{(6.28.2)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right]^{-1} }_{V^{-1}}}$

$\displaystyle{(3.28)\quad \exp(\Lambda t)= e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right] }$

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

$(4)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right] e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right] \frac{1}{\lambda+1-\lambda} \left[\begin{array}{cc} \lambda+1 & -1\\ -\lambda & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{= \omega_n^2 e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t+1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -1\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\lambda^2te^{\lambda t}} \end{array}$ 　

$3^\circ$ $\zeta<1$ のとき、 $\lambda_R=-\zeta\omega_n, \lambda_I=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ とおいて

$\displaystyle{(6.28.3)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \lambda_R & \lambda_I \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \frac{1}{\lambda_I} \left[\begin{array}{cc} \lambda_I & 0 \\ -\lambda_R & 1 \end{array}\right] }_{V^{-1}}}$

$\displaystyle{(3.29)\quad \exp(\Lambda t)= e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right]}$

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

$(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \lambda_R & \lambda_I \end{array}\right] e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right] \frac{1}{\lambda_I} \left[\begin{array}{cc} \lambda_I & 0\\ -\lambda_R & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} e^{\lambda_R t}\sin\lambda_I t} \end{array}$