可検出性と可観測性

可検出性と可観測性…Homework

[1]　制御対象のモデルが

$\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)&(x(t)\in{\bf R}^n,u(t)\in{\bf R}^m)\\ y(t)=Cx(t)&(y(t)\in{\bf R}^p)\right. \end{array} }$

で与えられるとき、これに対する状態オブザーバは、微分方程式

$\displaystyle{(2)\quad \dot{\hat{x}}(t)=(A-HC)\hat{x}(t)+Bu(t)+Hy(t),\ \hat{x}(0)=0\\ }$

で与えられました。ここで、オブザーバゲイン $H$ を $A-HC$ が安定行列になるように選ぶ必要がありました。でもこれはいつでも可能であるわけではありません。すなわち $H$ を $A-HC$ が安定行列になるように選べる場合に状態オブザーバが構成可能となり、このとき可検出性(detectability)が成り立つと言います。

$A-HC$ を安定行列とするためには、双対システム

$\displaystyle{(3)\quad \dot{w}(t)=A^Tw(t)+C^Tv(t)}$

に対する状態フィードバック

$\displaystyle{(4)\quad v(t)=-H^Tw(t)}$

による閉ループ系

$\displaystyle{(5)\quad \dot{w}(t)=(A^T-C^TH^T)w(t)=(A-HC)^Tw(t)}$

を安定化して求めます。ということは、可検出性の条件は双対システムの可安定性と等価になります。すなわち可安定性の条件において

$\displaystyle{(6)\quad A\leftarrow A^T,\ B\leftarrow C^T}$

のように置き換えて、次が得られます。

【可検出性の定義とその等価な条件】

定義DD:　状態オブザーバを構成可能

条件D1:　 ${\rm rank}\, \left[\begin{array}{c} C \\ A-\lambda I_n \end{array}\right]=n$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

条件D2:　 $Cv=0,\ Av=\lambda v \Rightarrow v=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

可検出性の判定は行列 $A$ と $C$ を用いて行われるので、可検出性が成り立つとき、対 $(A,C)$ は可検出対という言い方をします。

可安定性よりも強い条件として可制御性がありましたが、これに対応する概念は可観測性(observability)と言われ、これと等価な条件は次のようにまとめられます。

【可観測性の定義とその等価な条件】

定義DO:　任意有限時間 $[0,t]$ 上の入出力データ $u(\tau),y(\tau)\tau\in[0,t]$ から，初期状態 $x(0)$ を一意に決定できる

条件O1:　 $\displaystyle{\underbrace{\int_0^t \exp(A^T\tau)C^TC\exp(A\tau)\,d\tau}_{W_o(t)}>0 \quad (\forall t>0)}$

条件O2:　 ${\rm rank}\, \underbrace{ \left[\begin{array}{c} C \\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{array}\right] }_{observability\ matrix} =n$

条件O3:　 $H$ を選んで， $A-HC$ の固有値を任意に設定可能

条件O4:　 ${\rm rank} \left[\begin{array}{c} C \\ A-\lambda I_n \end{array}\right]=n$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

条件O5:　 $Cv=0,\ Av=\lambda v \Rightarrow v=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

条件O6:　 $(A^T,C^T)$ は可制御対

可観測性の判定も行列 $A$ と $C$ を用いて行われるので、可観測性が成り立つとき、対 $(A,C)$ は可観測対という言い方をします。条件O1の積分式を可観測性グラミアン行列、条件O2の行列を可観測性行列と呼びます。また条件O4を満足する $A$ の固有値を $\lambda$ は可観測固有値、満足しない固有値を不可観測固有値と呼びます。

上で述べたように、可観測性の議論は、可制御性の議論において、 $A$ を $A^T$ に、 $B$ を $C^T$ に置き換えて行えばよいので、次が成り立ちます。

条件O6 $\Leftrightarrow$ 条件O1 $\Leftrightarrow$ 条件O2 $\Leftrightarrow$ 条件O3 $\Leftrightarrow$ 条件O4 $\Leftrightarrow$ 条件O5

●＜定義DO $\Rightarrow$ 条件O1＞

適当な入力のもとでの出力は次式で表されます。

$\displaystyle{(8)\quad y(t)=C\exp(At)x(0)+\int_0^tC\exp(A\tau)Bu(t-\tau)\,d\tau}$

ここで、零状態応答は計算できますので、これを出力から引いた $z(t)$ を次のようにおきます。

$\displaystyle{(9)\quad \underbrace{y(t)-\int_0^tC\exp(A\tau)Bu(t-\tau)\,d\tau}_{z(t)}=C\exp(At)x(0)}$

したがって、入出力データ $u(\tau),z(\tau)\tau\in[0,t]$ から，初期状態 $x(0)$ を一意に決定できるかが問題となります。

このとき、 $W_o(t)>0$ を否定して、矛盾を導きます。

$(10)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\overline{(\forall v\ne0:v^TW_o(t)v>0)}}\\ \displaystyle{\Rightarrow \exists v\ne0:w^TW_o(t)v=0}\\ \displaystyle{\Rightarrow \exists v\ne0,\forall \tau\le t: C\exp(A\tau)v=0}\\ \displaystyle{\Rightarrow x(0)=v\Rightarrow z(t)=0} \end{array}$

これは、入出力データ $u(\tau),z(\tau)\tau\in[0,t]$ から，初期状態 $x(0)$ を一意に決定できることにはならないことを示しています。

●＜条件O1 $\Rightarrow$ 定義DO＞

上と同様に(9)を考えますと、入出力データ $u(\tau),z(\tau)\tau\in[0,t]$ から，初期状態 $x(0)$ は次式で計算できます。

$\displaystyle{(11)\quad x(0)=W_o^{-1}(t)\int_0^t\exp(A^T\tau)C^Tz(\tau)\,d\tau}$

実際、左辺は、次のように $x(0)$ となります。

$\displaystyle{(12)\quad (\int_0^t\exp(A^T\tau)C^TC\exp(A\tau)\,d\tau)^{-1}\int_0^t\exp(A^T\tau)C^TC\exp(At)x(0)\,d\tau=x(0) }$

以上で、可観測性 $\Leftrightarrow$ O1 $\Leftrightarrow$ O2が示されました。

Note A43 可安定性と可制御性

●状態フィーバックにより安定化できることを可安定性と言います。

【可安定性の定義とその等価な条件】

定義DS:　状態フィードバックにより安定化可能

条件S1:　 ${\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

条件S2:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

可安定性の判定は行列 $A$ と $B$ を用いて行われるので、可安定性が成り立つとき、対 $(A,B)$ は可安定対という言い方をします。

●可安定性の十分条件として次の可制御性が知られています。

【可制御性の定義とその等価な条件】

定義DC:　任意初期状態を，任意有限時間内に，任意状態に移動可能

条件C1:　 $\displaystyle{\int_0^t \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau>0 \quad (\forall t>0)}$

条件C2:　 $\boxed{{\rm rank}\, \left[\begin{array}{cccc} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}\right]=n}$

条件C3:　 $F$ を選んで， $A-BF$ の固有値を任意に設定可能

条件C4:　 $\boxed{{\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n}$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

条件C5:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

可制御性の判定も行列 $A$ と $B$ を用いて行われるので、可制御性が成り立つとき、対 $(A,B)$ は可制御対という言い方をします。条件C1の積分式を可制御性グラミアン行列、条件C2の行列を可制御性行列と呼びます。また条件C4を満足する $A$ の固有値を $\lambda$ は可制御固有値、満足しない固有値を不可制御固有値と呼びます。

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