１次系の状態空間表現

一般には制御対象は非線形系ですが、ここでは重ね合わせの原理の成り立つ線形系（linear system）を考えます。また１入力１出力１次系（SISO 1st-order system）に限って、制御理論の概要を漸近安定性、時間応答、安定化制御、追値制御の４つに分けて述べます。

１次系の状態空間表現…Homework

[1] 　制御対象が１入力１出力１次系の場合、そのモデルとして、次の状態空間表現が用いられます。

$\displaystyle{(1)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)&(x(t),u(t)\in{\bf R})\\ y(t)=cx(t)&(y(t)\in{\bf R}) \end{array}\right.} }$

第１式は状態方程式とよばれ、 $x(t),u(t)$ はそれぞれ時刻 $t$ における状態変数、入力変数（アクチュエータを操作する）を表しています。また、第２式は出力方程式とよばれ、 $y(t)$ は時刻 $t$ における出力変数（センサを用いて観測される）を表しています。 ${\bf R}$ は実数の集合を表します。以下では状態空間表現(1)を簡単に１次系と参照します。

この状態空間表現は図3のようなブロック線図で表されます。

図1 １入力１出力１次系状態空間表現のブロック線図

●具体例を示すために、次図のような走行する車を考えます。

図2 走行する車

ニュートンの運動第２法則「質量×加速度＝外力」を適用するため、車は質点とみなし、直線運動をしているとします。車の質量を $m$ 、時刻 $t$ における車の速度を $v(t)$ 、車に働く外力（制動力）を $f(t)$ とすると、車の運動方程式は次の微分方程式で与えられます。

$\displaystyle{(2)\quad m\dot{v}(t)=f(t)\qquad(v(0)\ne0) }$

ここで、 $\dot{v}(t)=\frac{d}{dt}v(t)$ は車の加速度を表します。もし空気による抗力 $cv(t)$ を考慮する場合は、車の運動方程式は次式となります。

$\displaystyle{(3)\quad m\dot{v}(t)=-cv(t)+f(t) }$

いま車は一定速度 $v^*$ で等速運動をしているとします。このとき加速度は零となるので

$\displaystyle{(4)\quad 0=-cv^*+f^* }$

を満たす一定の制動力 $f^*=cv^*$ が定まります。実際には、この等速運動が何らかの原因により乱されたとき、これを速やかに元に戻すことが要求されます。そこで(3)から(4)を辺々引き算すると次式を得ます。

$\displaystyle{(5)\quad \underbrace{\frac{d}{dt}(v(t)-v^*)}_{\dot{x}(t)}=\underbrace{-\frac{c}{m}}_{a}\underbrace{(v(t)-v^*)}_{x(t)}+\underbrace{\frac{1}{m}}_{b}\underbrace{(f(t)-f^*)}_{u(t)} }$

これが入力１出力１次系の状態方程式の一例です。ここで、 $x=0$ と $u=0$ が、平衡状態 $v^*$ とこれを維持する平衡入力 $f^*$ を表していることに留意します。

１次系の漸近安定性…Homework

[2]　1次系(1)で表される制御対象は平衡状態にあるとします（ $x=0, u=0$ ）。いま平衡状態が乱され、時刻 $t=0$ において $x(0)\ne 0$ となったとします。特に制動力を変えないとすると $u=0$ です。このとき、元の平衡状態 $x=0$ に復帰できるならば、１次系(1)は漸近安定(asymptotically stable)であると言います。そこで

$\displaystyle{(6)\quad \boxed{\dot{x}(t)=ax(t)\qquad(x(0)\ne0)} }$

の解

$\displaystyle{(7)\quad x(t)=e^{at}x(0) }$

の振舞いを調べてみます。 $t\rightarrow\infty$ のとき

$\displaystyle{(8)\quad x(t) \rightarrow \left\{\begin{array}{ll} 0&(a<0)\\ x(0)&(a=0)\\ \infty&(a>0) \end{array}\right. }$

となるので、１次系(1)の漸近安定性の必要十分条件は

$\displaystyle{(9)\quad \boxed{a<0} }$

であることがわかります。

このように漸近安定性は、(1)において $u=0$ とした自由系(unforced system)(6)に基づいて判定されることに留意してください。

●上の等速運動をしている車の例を考えます。いま突風による急激な速度変化のため $v(0)\ne v^*$ となり、特に制動力を変えないとすると $u=0$ なので

$\displaystyle{(10)\quad \underbrace{\frac{d}{dt}(v(t)-v^*)}_{\dot{x}(t)}=\underbrace{-\frac{c}{m}}_{a}\underbrace{(v(t)-v^*)}_{x(t)} \qquad(x(0)=v(0)-v^*\ne0) }$

を解いて、元の速度 $v^*$ に復帰できるかを判断できます。ここで、 $a<0$ ですから、漸近安定であることが確かめられます。

以上の議論は数学的には明らかですが、物理的にはどのような力が働いて平衡状態に戻るのでしょうか？それは空気抵抗 $-cv(t)$ が速度の増減によって、逆方向に働くからといえます。速度に比例する抗力を減衰力、位置に比例する抗力を復元力といいます。モノつくりにおいて、これらを内在させることをパッシブ制御、コントローラ（補償器）を用いて補うことアクティブ制御といいます。

演習A01…Flipped Classroom

$1^\circ$ 状態方程式 $\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)$ が与えられるときの漸近安定性の判定は、なぜ $\dot{x}(t)=ax(t)$ に基づいて行うのか説明せよ。

$2^\circ$ MATLABまたはSCILABに次のコマンドを与えて、どのグラフが漸近安定であるか述べよ。

MATLAB

%a01.m
clear all, close all
a1=1; a2=0; a3=-5; 
b=1; c=1;
sys1=ss(a1,b,c,[]);
sys2=ss(a2,b,c,[]);
sys3=ss(a3,b,c,[]);
t=0:0.01:1;
x0=1;
initial(sys1,sys2,sys3,x0,t)
grid
title('Stability of 1st-order System')
xlabel('time')
ylabel('x(t)')
legend('a=1','a=0','a=-5')
%eof

SCILAB

coming soon

図3 どのグラフが漸近安定であるか？

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

１次系の状態空間表現