CT71 １次系のLQ制御

投稿日時: 投稿者:

Home Work 7.1

[P]　平衡状態から外れたとき、これを戻すためには、いろいろな「軌道（時系列）」があると思うけど、何かリーズナブルな決め方はあるのかな？

[C]　状態変数の振る舞い（２乗面積）と操作変数の振る舞い（２乗面積）のトレードオフを計ることがよく行われているよ。

[M]　トレードオフの意味だけど、高校で、次の関数の最小値を求める問題があったね。

\displaystyle{(1)\quad y=x+\frac{1}{x} }

右辺第１項は増加関数、第２項は減少関数だから、グラフを描いてみると、最小値が生まれているよね。

Flipped Classroom 7.1
[1]

評価関数はスカラ値を取るので、定数倍してもOKだから、q^2で割ると、

\displaystyle{(1)\quad \frac{J}{q^2}=\int_0^\infty (x^2(t)+(\frac{r}{q})^2u^2(t))dt =\int_0^\infty (x^2(t)+\frac{1}{\rho^2}u^2(t))dt }

これから1/\rhoは操作のためのコストとみなせます。すなわちコスト1/\rhoがより小さくなると、操作はより大きな振る舞いが許されます。\rho\rightarrow\inftyのときはcheap controlと呼ばれます。
　
[2] 　

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (\lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} a & -r^{-2}b^2\\ -q^2 & -a \end{array}\right]) =(\lambda-a)(\lambda+a)-q^2r^{-2}b^2=\lambda^2-a^2-q^2r^{-2}b^2=0 \end{array} }

を解くと

\displaystyle{(2)\quad \lambda=\pm\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} }

\lambda<0の場合の固有ベクトルは

\displaystyle{(3)\quad %\begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} a & -r^{-2}b^2\\ -q^2 & -a \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} v_1\\ v_2 \end{array}\right] =-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} \left[\begin{array}{cc} v_1\\ v_2 \end{array}\right] %\end{array} }

すなわち

\displaystyle{(4)\quad \left\{\begin{array}{l} av_1-r^{-2}b^2v_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}v_1\\ -q^2v_1-av_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}v_2 \end{array}\right. }

v_1=1の場合(と規格化する場合)は

\displaystyle{(4)\quad %\left\{\begin{array}{l} a-r^{-2}b^2v_2=-\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} \Rightarrow v_2=\frac{a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}}{r^{-2}b^2} %\end{array}\right. }

したがって

\displaystyle{(5)\quad %\left\{\begin{array}{l} f=r^{-2}b^2v_2v_1^{-1}=r^{-2}b^2\frac{a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2}}{r^{-2}b^2} =a+\sqrt{a^2+\frac{q^2}{r^2}b^2} %\end{array}\right. }