CT22 剛体振り子 | 制御系CAD

Home Work 2.2

[M] (2.12)から(2.13)と(2.14)を得るところについて、説明するね。まず関数 $f(x)$ の $x=a$ の周りでのテーラー展開

$\displaystyle{(1)\quad f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{d^2}{dx^2}(x-a)^2+\cdots }$

に基づいて、次の $f(x)$ の１次近似を考えるんだ。

$\displaystyle{(2)\quad f(x)\simeq f(a)+f'(a)(x-a) }$

ここで、 $x=\theta$ 、 $f(x)=\sin\theta$ の場合を考えると

$\displaystyle{(3)\quad \sin\theta\simeq\sin(a)+\cos(a)(\theta-a) }$

となるね。したがって、 $a=0$ の場合は

$\displaystyle{(4)\quad \sin\theta\simeq\underbrace{\sin(a)}_{0}+\underbrace{\cos(a)}_{1}\theta=\theta }$

また、 $a=\pi$ の場合は

$\displaystyle{(5)\quad \sin\theta\simeq\underbrace{\sin(a)}_{0}+\underbrace{\cos(a)}_{-1}(\theta-\pi)=-(\theta-\pi) }$

これらを(2.11)に代入したものが、それぞれ(2.13)と(2.14)です。

訂正初版での記述「( $a=\theta-\pi$ だから)、 $\sin\theta\simeq \theta-\pi$ として」は、「( $a=\pi$ だから)、 $\sin\theta\simeq -(\theta-\pi)$ として」に訂正させてください。

[P] 剛体振り子ではの周期はどうやって求めればよいのだろう。Flipped Classroomで考えるようだね。

[C] ２つの平衡状態の物理的な振舞いが、(2.15)と(2.16)の相違とどう関係しているか興味があるね。

Flipped Classroom 2.2
[1] 　単振り子の振舞いは(2.7)で決まります。一方、剛体振り子の振舞いは(2.15)で決まります。したがって、そこに現れる行列の(2,1)要素を等しいとおいてみます。

$\displaystyle{(2)\quad -\frac{g}{L}=-\frac{3g}{4\ell}\Rightarrow L=\frac{4\ell}{3}=\frac{2}{3}2\ell }$

[2] 　剛体振り子の長さ $2\ell$ の2/3の長さの単振り子を準備すれば、周期が一致すると考えられます。