２次安定性 | 制御系CAD

リャプノフの安定定理

非線形システム理論に関する文献：
Hassan K.Khalil: Nonlinear Systems, 3rd ed., Prentice Hall, 2002
から次の定理（Theorem 4.1, p.114）を引用します。

リャプノフの安定定理　状態方程式

$\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=f(x(t))}$

に対して、その平衡状態 $x^*=0$ を含む領域 ${\cal D}$ を考える。いま ${\cal D}$ で連続微分可能な実数値関数 $V$ に対して

$\displaystyle{(2)\quad \left\{\begin{array}{l} V(0)=0 \\ V(x)>0\quad(x\in{\cal D},x\not=0) \end{array}\right.}$

このとき

$\displaystyle{(3)\quad \frac{d}{dt}V(x)\le0 \quad(x\in{\cal D})}$

ならば、平衡状態 $x^*=0$ は安定、また

$\displaystyle{(4)\quad \frac{d}{dt}V(x)<0 \quad(x\in{\cal D},x\not=0)}$

ならば、平衡状態 $x^*=0$ は漸近安定である。

すなわち、(2)と(4)を満足するリャプノフ関数 $V$ の存在を示して（発見して）、非線形系(1)の漸近安定性を示すことができます。

２次安定性

非線形系(1)に対してリャプノフ関数

$\displaystyle{(5)\quad V(x)=x^T(t)Px(t)\quad(P>0)}$

を考えます。これを微分して(1)を用いると（(1)の解に沿って微分して）

$\displaystyle{(6)\quad %\begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x)=\dot{x}^T(t)Px(t)+x^T(t)P\dot{x}(t)=2x^T(t)P\dot{x}(t)=2x^T(t)Pf(x) %\end{array} }$

となります。このとき２次安定とは

$\displaystyle{(7)\quad { \boxed{\frac{d}{dt}V(x)=2x^T(t)Pf(x)\le -x^T(t)Qx(t)\quad(Q>0)} }}$

が成り立つことを言います。これは、次式を示すことができ、漸近安定性を意味するからです。

$\displaystyle{(8)\quad \boxed{||x(t)||\le \beta||x(0)||e^{-\frac{1}{2}\alpha t}} }$

ただし

$\displaystyle{(9)\quad \boxed{\alpha=\frac{\sigma_n(Q)}{\sigma_1(P)},\ \beta=\sqrt{\frac{\sigma_1(P)}{\sigma_n(P)}} %\alpha=\frac{\sigma_n(Q)}{\sigma_1(P)}\le\sigma_n(P^{-1}Q),\ }$

以下では、これを導出します。

●予備知識として、任意の対称行列 $R>0$ に対して、特異値（固有値に等しい）を

$\displaystyle{(10)\quad \sigma_1(R)\ge\cdots\ge\sigma_n(R) }$

と表記し、また任意の $v\ne0$ に対して

$\displaystyle{(11)\quad \sigma_n(R)\le\frac{v^TRv}{v^Tv}\le\sigma_1(R) }$

および

$\displaystyle{(12)\quad \sigma_1(R^{-1})=\frac{1}{\sigma_n(R)} }$

が成り立つこと使います。

●そこで

$\displaystyle{(13)\quad \begin{array}{l} \sigma_n(Q)x^T(t)x(t)\le x^T(t)Qx(t)\\ x^T(t)Px(t)\le\sigma_1(P)x(t)^Tx(t) \end{array} }$

に注意して、次式を得ます。

$\displaystyle{(14)\quad \frac{d}{dt}V(x)\le -x^T(t)Qx(t) \le -\sigma_n(Q)x^T(t)x(t) \le -\sigma_n(Q) \frac{x^T(t)Px(t)}{\sigma_1(P)} \le -\alpha V(x) }$

これから

$\displaystyle{(15)\quad V(x)\le V(0)e^{-\alpha t} \Leftrightarrow x^T(t)Px(t)\le x^T(0)Px(0)e^{-\alpha t} }$

ここで

$\displaystyle{(16)\quad {\begin{array}{l} %\sigma_n^2(P)x^Tx\le x^TPx\le\sigma_1^2(P)x^Tx\\ %\sigma_n^2(P)x^T(0)x(0)\le x^T(0)Px(0)\le\sigma_1^2(P)x(0)^Tx(0) \sigma_n(P)x^T(t)x(t)\le x^T(t)Px(t)\\ x^T(0)Px(0)\le\sigma_1(P)x(0)^Tx(0) \end{array} }}$

に注意して

$\displaystyle{(17)\quad {\sigma_n(P)x^T(t)x(t) \le \sigma_1(P) x^T(0)x(0)e^{-\alpha t} }}$

すなわち

$\displaystyle{(18)\quad {\underbrace{x^T(t)x(t)}_{||x(t)||^2} \le \underbrace{\frac{\sigma_1(P)}{\sigma_n(P)}}_{\beta^2} \underbrace{x(0)^Tx(0)}_{||x(0)||^2} e^{-\alpha t} }}$

を得ます。これから(8)が成り立ちます。なお一般には

$\displaystyle{(19)\quad \underbrace{\frac{\sigma_n(Q)}{\sigma_1(P)}}_{\alpha} =\frac{1}{\sigma_1(Q^{-1})\sigma_1(P)} \le \frac{1}{\sigma_1(Q^{-1}P)} =\underbrace{\sigma_n(P^{-1}Q)}_{\alpha'} }$

ですが、 $P$ と $Q$ を対角行列に選ぶときは等号が成り立ち、(8)において $\alpha$ ではなく $\alpha'$ を用いることができます。もう少し詳しくは、対称行列 $X=P$ と $Y=Q^{-1}$ が可換（ $XY=YX$ ）で、同時対角化可能（ $TXT^{-1}$ と $TYT^{-1}$ を対角行列とする $T$ が存在）の場合には等号が成り立ち、(8)において $\alpha$ ではなく $\alpha'$ を用いることができます。

Note C11 (11),(12)の導出

●任意の正定行列 $R>0$ （サイズ $n\times n$ ）に対して、次の特異値分解を考えます。

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} R=U\Sigma U^T\\ \Sigma={\rm diag}\{\sigma_1,\cdots,\sigma_n\}\quad(\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_n)\\ UU^T=U^TU=I_n \end{array} }$

ここで、 $R$ は対称行列なので固有値は実数、しかも正定なのでそれらはすべて正であること、したがって特異値 $\sigma_1$ は $R$ の最大固有値、特異値 $\sigma_n$ は $R$ の最小固有値であることに注意してください。このとき、 $R=R^{1/2}R^{1/2}$ を満たす $R$ の平方根行列は

$\displaystyle{(2)\quad \begin{array}{l} R^{1/2}=U\Sigma^{1/2} U^T\\ \Sigma^{1/2}={\rm diag}\{\sqrt{\sigma_1},\cdots,\sqrt{\sigma_n}\} \end{array} }$

で与えられます。また、 $R$ の逆行列は

$\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} R^{-1}=U\Sigma^{-1} U^T\\ \Sigma^{-1}={\rm diag}\{\frac{1}{\sigma_1},\cdots,\frac{1}{\sigma_n}\} \quad(\frac{1}{\sigma_n}\ge\cdots\ge\frac{1}{\sigma_1}) \end{array} }$

のように表されます。これから(12)は自明です。

いま、 $R^{1/2}$ を用いて線形写像 $y=R^{1/2}x$ を考えると、これは３つの線形写像に分解されます。

$\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} x'=U^Tx\\ y'=\Sigma^{1/2} x'\\ y=Uy' \end{array} }$

任意の $n$ 次元ベクトル $x\in{\rm\bf R}^n$ のノルムとして、次の２ノルムを考えます。

$\displaystyle{(5)\quad ||x||_2=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}&\Rightarrow&||x||_2^2=x^Tx\\ }$

このとき、次が成り立ちます。

$\displaystyle{(6)\quad ||x'||_2^2=||U^Tx||_2^2=x^TUU^Tx=x^Tx=||x||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||x'||_2}{||x||_2}=1 }$

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} ||y'||_2^2=||\Sigma^{1/2} x'||_2^2=\sigma_1x_1'\,^2+\cdots+\sigma_nx_n'\,^2\\ \le \sigma_1(x_1'\,^2+\cdots+x_n'\,^2)=\sigma_1x'\,^Tx'=\sigma_1||x'||_2^2 \ \Rightarrow\ \frac{||y'||_2}{||x'||_2}\le\sqrt{\sigma_1} \end{array} }$

$\displaystyle{(8)\quad ||y||_2^2=||Uy'||_2^2=y'\,^TU^TUy'=y'\,^Ty'=||y'||_2^2\ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||y'||_2}=1 }$

すなわち

$\displaystyle{(9)\quad \frac{||x'||_2}{||x||_2}\times\frac{||y'||_2}{||x'||_2}\times\frac{||y||_2}{||y'||_2}\le\sqrt{\sigma_1} \ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||x||_2}=\frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}\le\sqrt{\sigma_1} }$

一方

$\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} ||y'||_2^2=||\Sigma^{1/2} x'||_2^2=\sigma_1x_1'\,^2+\cdots+\sigma_nx_n'\,^2\\ \ge \sigma_n(x_1'\,^2+\cdots+x_n'\,^2)=\sigma_nx'\,^Tx'=\sigma_n||x'||_2^2 \ \Rightarrow\ \frac{||y'||_2}{||x'||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} \end{array} }$

より、次式が成り立ちます。

$\displaystyle{(11)\quad \frac{||x'||_2}{||x||_2}\times\frac{||y'||_2}{||x'||_2}\times\frac{||y||_2}{||y'||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} \ \Rightarrow\ \frac{||y||_2}{||x||_2}=\frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}\ge\sqrt{\sigma_n} }$

したがって、(7)と合わせて、次式を得ます。

$\displaystyle{(12)\quad \sqrt{\sigma_n} \le \frac{||R^{1/2}x||_2}{||x||_2}=\frac{\sqrt{x^TR^{1/2}R^{1/2}x}}{\sqrt{x^Tx}} \le\sqrt{\sigma_1} }$

これを２乗して次が得られます。

$\displaystyle{(13)\quad \sigma_n \le \frac{x^TRx}{x^Tx} \le\sigma_1 }$

すなわち(11)が導出されました。