柔軟ビーム

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[1] 柔軟構造物の制振問題をどう取り扱うかを考えて行きます。

この写真は米国の某大学で製作された制御実験装置です。柔軟ビームの一端をロボットアームで把持し、振動を抑制しながら回転させることが制御目的です。この柔軟ビームは水平方向ばかりでなく、垂直方向にも振動するのですが、ここでは水平方向だけの振動抑制問題を考えます。参考にしたのは次の文献です。

阿部・児島著：「無駄時間・分布定数系の制御」、コロナ社、2007

この本の６章「振動系」では、次のような制御対象「柔軟ビーム」を扱っています。

ここで、ビームの長さをL[m]、断面積をA[m^2]、密度をA[kg/m^3]、縦弾性係数をE[N/m^2]、断面２次モーメントをI[m^4]、ハブの回転慣性モーメントをJ_0[kgm^2]、ペイロードをM_e[kg]とします。また、時刻t[sec]における、ハブの回転角を\theta(t)[rad]、ハブの支持点から距離x[m]のビーム上の点の弾性変位をy(x,t)[m]、その点の座標を(X(t),Y(t))とします。

このときハブの支持点x=0において次が成り立ちます。

\displaystyle{(1)\quad y(0,t)=\frac{\partial y(0,t)}{\partial x}=0}

いま、\sin(\cdot)、\cos(\cdot)をそれぞれS_{(\cdot)}、C_{(\cdot)}と略記すると、次式が成り立ちます。

\displaystyle{(2a)\quad X=xC_\theta-yS_\theta\ \Rightarrow\ \dot{X}=-xS_\theta\dot{\theta}-\dot{y}S_\theta-yC_\theta\dot{\theta}=-(xS_\theta+yC_\theta)\dot{\theta}-\dot{y}S_\theta }
\displaystyle{ \Rightarrow\ \dot{X}^2=(xS_\theta+yC_\theta)^2\dot{\theta}^2+2(xS_\theta+yC_\theta)\dot{\theta}\dot{y}S_\theta+\dot{y}^2S_\theta^2 }
\displaystyle{(2b)\quad Y=xS_\theta+yC_\theta\ \Rightarrow\ \dot{Y}=xC_\theta\dot{\theta}+\dot{y}C_\theta-yS_\theta\dot{\theta}=(xC_\theta-yS_\theta)\dot{\theta}+\dot{y}C_\theta}
\displaystyle{ \Rightarrow\ \dot{Y}^2=(xC_\theta-yS_\theta)^2\dot{\theta}^2+2(xC_\theta-yS_\theta)\dot{\theta}\dot{y}C_\theta+\dot{y}^2C_\theta^2 }
\displaystyle{(2c)\quad \dot{X}^2+\dot{Y}^2=(x^2+y^2)\dot{\theta}^2+2x\dot{\theta}\dot{y}+\dot{y}^2 }

以下では、双曲線関数\sinh(\cdot)、\cosh(\cdot)をそれぞれS^h_{(\cdot)}、C^h_{(\cdot)}と略記し、次の基本式を多用します。

\displaystyle{(3a)\quad C_x^h=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}),S_x^h=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) },
\displaystyle{(3b)\quad C_x=\frac{1}{2}(e^{jx}+e^{-jx}),S_x=\frac{1}{2}(e^{jx}-e^{-jx}) }
\displaystyle{(3c)\quad (C_x^h)'=S_x^h,\ (S_x^h)'=C_x^h}, \displaystyle{C_x'=-S_x,\ S_x'=C_x}
\displaystyle{(3d)\quad C_x^{h2}-S_x^{h2}=1}, \displaystyle{C_x^2+S_x^2=1}

また、次のような変分を取ることを頻繁に行います。

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} y=f(x) \Rightarrow \\ \delta y=\epsilon(\left.\frac{f(x+\epsilon x_\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0})=\epsilon(\left.f'(x+\epsilon x_\epsilon)x_\epsilon\right|_{\epsilon=0})=f'(x)\epsilon x_\epsilon=f'(x)\delta x \end{array} }

●柔軟ビームの運動方程式を、Hamilton Principleに基づいて導出します。

\displaystyle{(5a)\quad \int_{t_0}^{t_1} ( \delta L + \delta W ) dt =\int_{t_0}^{t_1} ( \delta T-\delta V + \delta W ) dt=0 }

\displaystyle{(5b)\quad \delta T=\delta T_0+ \delta T_1+ \delta T_2 }

●\displaystyle{(6a)\quad T_0 = \frac{1}{2} J_0\dot{\theta}^2 }

\displaystyle{(6b)\quad T_0(\epsilon) = \frac{1}{2} J_0(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)^2 }

\displaystyle{(6c)\quad \frac{dT_0(\epsilon) }{d\epsilon}=J_0(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)\dot{\theta}_\epsilon }

\displaystyle{(6d)\quad \delta T_0=\epsilon\left(\left.\frac{dT_0(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\right)=J_0\dot{\theta}\epsilon\dot{\theta}_\epsilon=J_0\dot{\theta}\delta\dot{\theta} }

\displaystyle{(6e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_0 dt= \int_{t_0}^{t_1} J_0\dot{\theta}\delta\dot{\theta} dt = \left[J_0\dot{\theta}\delta{\theta} \right]_{t_0}^{t_1} -\int_{t_0}^{t_1} J_0\ddot{\theta}\delta{\theta} dt = -\int_{t_0}^{t_1} J_0\ddot{\theta}\delta{\theta} dt }

●\displaystyle{(7a)\quad T_1 = \frac{1}{2} \rho A \int_0^{L} (\dot{X}^2+\dot{Y}^2)dx }
\displaystyle{= \frac{1}{2} \rho A \int_0^{L} ((x^2+y^2)\dot{\theta}^2+2x\dot{\theta}\dot{y}+\dot{y}^2)dx }

\displaystyle{(7b)\quad T_1(\epsilon)}
\displaystyle{ = \frac{1}{2} \rho A \int_0^{L} ((x^2+({y}+\epsilon{y}_\epsilon)^2)(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)^2+2x(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)(\dot{y}+\epsilon\dot{y}_\epsilon)+(\dot{y}+\epsilon\dot{y}_\epsilon)^2 )dx }

\displaystyle{(7c)\quad \frac{dT_1(\epsilon) }{d\epsilon}=\rho A \int_0^{L} ( ({y}+\epsilon{y}_\epsilon){y}_\epsilon(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)^2+(x^2+({y}+\epsilon{y}_\epsilon)^2)(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)\dot{\theta}_\epsilon }
\displaystyle{ +x\dot{\theta}_\epsilon(\dot{y}+\epsilon\dot{y}_\epsilon)+x(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)\dot{y}_\epsilon +(\dot{y}+\epsilon\dot{y}_\epsilon)\dot{y}_\epsilon )dx }

\displaystyle{(7d)\quad \delta T_1=\epsilon\left(\left.\frac{dT_1(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\right)}
\displaystyle{=\rho A \int_0^{L} ( {y}\epsilon{y}_\epsilon\dot{\theta}^2+(x^2+{y}^2)\dot{\theta\epsilon}\dot{\theta}_\epsilon +x\epsilon\dot{\theta}_\epsilon\dot{y}+x\dot{\theta}\epsilon\dot{y}_\epsilon+\dot{y}\epsilon\dot{y}_\epsilon )dx }
\displaystyle{=\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2\epsilon{y}_\epsilon+(x^2+{y}^2)\dot{\theta\epsilon}\dot{\theta}_\epsilon+x\dot{y}\epsilon\dot{\theta}_\epsilon+x\dot{\theta}\epsilon\dot{y}_\epsilon+\dot{y}\epsilon\dot{y}_\epsilon )dx }
\displaystyle{=\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2\delta{y}+((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta\dot{\theta}+(x\dot{\theta}+\dot{y})\delta\dot{y} )dx }

\displaystyle{(7e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_1 dt=\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2\delta{y}+((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta\dot{\theta}+(x\dot{\theta}+\dot{y})\delta\dot{y} )dxdt }
\displaystyle{ =\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} {y}\dot{\theta}^2\delta{y}dxdt+\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} ((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta\dot{\theta}dxdt+\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} (x\dot{\theta}+\dot{y})\delta\dot{y} dxdt }
\displaystyle{ =\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} {y}\dot{\theta}^2\delta{y}dxdt }
\displaystyle{ +\left[\rho A \int_0^{L} (x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta{\theta}dx\right]_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta{\theta}dxdt }
\displaystyle{ +\left[\rho A \int_0^{L} (x\dot{\theta}+\dot{y}) \delta{y}dx\right]_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L}\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y})\delta{y}dxdt }
\displaystyle{ =-\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta{\theta}dxdt -\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y}))\delta{y}dxdt }

●\displaystyle{(8a)\quad T_2 = \frac{1}{2} M_e (\dot{X}_L^2+\dot{Y}_L^2) }
\displaystyle{= \frac{1}{2} M_e ((L^2+y^2(L))\dot{\theta}^2+2L\dot{\theta}\dot{y}(L)+\dot{y}^2(L)) }

\displaystyle{(8b)\quad T_2(\epsilon) = \frac{1}{2} M_e ((L^2+({y}(L)+\epsilon{y}_\epsilon(L))^2)(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)^2 }
\displaystyle{+2L(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)(\dot{y}(L)+\epsilon\dot{y}_\epsilon(L))+(\dot{y}(L)+\epsilon\dot{y}_\epsilon(L))^2 ) }

\displaystyle{(8c)\quad \frac{dT_2(\epsilon)}{d\epsilon}}
\displaystyle{=M_e (({y}(L)+\epsilon{y}_\epsilon(L)){y}_\epsilon(L)(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)^2+(L^2+({y}(L)+\epsilon{y}_\epsilon(L))^2)(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)\dot{\theta}_\epsilon }
\displaystyle{+L\dot{\theta}_\epsilon(\dot{y}(L)+\epsilon\dot{y}_\epsilon(L))+L(\dot{\theta}+\epsilon\dot{\theta}_\epsilon)\dot{y}_\epsilon(L)+(\dot{y(L)}+\epsilon\dot{y}_\epsilon(L))\dot{y}_\epsilon(L) ) }

\displaystyle{(8d)\quad \delta T_2=M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2\delta{y}(L)+((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L))\delta\dot{\theta}+(L\dot{\theta}+\dot{y}(L))\delta\dot{y}(L) ) }

\displaystyle{(8e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_2 dt }
\displaystyle{=-\int_{t_0}^{t_1}M_e \frac{d}{dt}((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L))\delta{\theta}dt -\int_{t_0}^{t_1}M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(L\dot{\theta}+\dot{y}(L)))\delta{y}(L)dt }

●\displaystyle{(9a)\quad V=\frac{1}{2} EI \int_0^{L} y''^2 dx\quad(y''=\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}) }

\displaystyle{(9b)\quad V(\epsilon) = \frac{1}{2} EI \int_0^{L} (y'' +\epsilon{y_\epsilon''} )^2 dx }

\displaystyle{(9c)\quad frac{dV(\epsilon) }{d\epsilon}=EI \int_0^{L} (y'' +\epsilon{y_\epsilon''} ){y_\epsilon''}dx }

\displaystyle{(9d)\quad \delta V=\epsilon\left(\left.\frac{dV(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\right) = EI \int_0^{L} y'' \epsilon{y_\epsilon''} dx = EI \int_0^{L} y'' \delta y'' dx }
\displaystyle{ = EI \left[y'' \delta y'\right]_0^{L} - EI \int_0^{L} y''' \delta y' dx }
\displaystyle{ = EI y''(L) \delta y'(L)-EI \left[y''' \delta y\right]_0^{L} + EI \int_0^{L} y'''' \delta y dx }
\displaystyle{ = EI y''(L) \delta y'(L)-EI y'''(L) \delta y(L) + EI \int_0^{L} y'''' \delta y dx }

\displaystyle{(9e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta V dt=\int_{t_0}^{t_1} (EI y''(L) \delta y'(L)-EI y'''(L) \delta y(L) + EI \int_0^{L} y'''' \delta y dx )dt }

●\displaystyle{(10a)\quad W = u\theta }

\displaystyle{(10b)\quad W(\epsilon) = u(\theta+\epsilon\theta_\epsilon) }

\displaystyle{(10c)\quad \frac{dW(\epsilon) }{d\epsilon}= u\theta_\epsilon }

\displaystyle{(10d)\quad \delta W=\epsilon\left(\left.\frac{dW(\epsilon)}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}\right)=u\epsilon\theta_\epsilon=u\delta\theta }

\displaystyle{(10e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta W dt= \int_{t_0}^{t_1} u\delta\theta dt }

●以上から、ハミルトン原理を表す上式の各項を

\displaystyle{(11a)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_0 dt=-\int_{t_0}^{t_1} J_0\ddot{\theta}\delta{\theta} dt }
\displaystyle{(11b)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_1 dt=　}
\displaystyle{-\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta{\theta}dxdt -\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y}))\delta{y}dxdt }
\displaystyle{(11c)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta T_2 dt= }
\displaystyle{=-\int_{t_0}^{t_1}M_e \frac{d}{dt}((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L))\delta{\theta}dt -\int_{t_0}^{t_1}M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(L\dot{\theta}+\dot{y}(L)))\delta{y}(L)dt }
\displaystyle{(11d)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta V dt=\int_{t_0}^{t_1} (EI y''(L) \delta y'(L)-EI y'''(L) \delta y(L) + EI \int_0^{L} y'''' \delta y dx )dt }
\displaystyle{(11e)\quad \int_{t_0}^{t_1}\delta W dt= \int_{t_0}^{t_1} u\delta\theta dt }

のように得たので、次式が成り立ちます。

\displaystyle{(12)\quad \int_{t_0}^{t_1} ( \delta T_0+ \delta T_1+ \delta T_2-\delta V + \delta W ) dt= }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1} J_0\ddot{\theta}\delta{\theta} dt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})\delta{\theta}dxdt -\int_{t_0}^{t_1}\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y}))\delta{y}dxdt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1}M_e \frac{d}{dt}((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L))\delta{\theta}dt -\int_{t_0}^{t_1}M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(L\dot{\theta}+\dot{y}(L)))\delta{y}(L)dt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1} (EI y''(L) \delta y'(L)-EI y'''(L) \delta y(L) + EI \int_0^{L} y'''' \delta y dx )dt }
\displaystyle{ +\int_{t_0}^{t_1} u\delta\theta dt }
\displaystyle{=-\int_{t_0}^{t_1}\underline{ (J_0\ddot{\theta}+M_e \frac{d}{dt}((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L))+\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})dx -u)} \delta\theta dt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1}\underline{ (\rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y})) dx + EI \int_0^{L} y'''' dx)}\delta y dt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1}\underline{(M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(L\dot{\theta}+\dot{y}(L)))-EI y'''(L) )}\delta{y}(L)dt }
\displaystyle{ -\int_{t_0}^{t_1} \underline{EI y''(L) }\delta y'(L) dt }=0

これから各変分の係数（下線部）を0と置いて、柔軟ビームの運動方程式として次式を得ます。

\displaystyle{(13a)\quad J_0\ddot{\theta} +M_e \frac{d}{dt}((L^2+{y}^2(L))\dot{\theta}+L\dot{y}(L)) +\rho A \int_0^{L} \frac{d}{dt}((x^2+{y}^2)\dot{\theta}+x\dot{y})dx -u=0 }
\displaystyle{(13b)\quad \rho A \int_0^{L} ({y}\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(x\dot{\theta}+\dot{y})) dx + EI \int_0^{L} y'''' dx =0 }
\displaystyle{(13c)\quad M_e ({y}(L)\dot{\theta}^2+\frac{d}{dt}(L\dot{\theta}+\dot{y}(L)))-EI y'''(L) =0 }
\displaystyle{(13d)\quad EI y''(L) }=0

●高次項や高階微分項は微小であるとして、これらの近似を行います。まず第１式(13a)は

\displaystyle{(14a)\quad J_0\ddot{\theta} +M_e L^2\ddot{\theta}+M_e\frac{d}{dt}({y}^2(L)\dot{\theta})+M_eL\ddot{y}(L) }
\displaystyle{+\rho A \int_0^{L} (x^2\ddot{\theta}+\frac{d}{dt}({y}^2\dot{\theta}))dx +\rho A \int_0^{L}x\ddot{y}dx -u=0 }

においてy^2が微小であるとして、次のように近似します。

\displaystyle{(14a')\quad \underbrace{(J_0+\frac{1}{3}\rho AL^3+M_eL^2)}_J \ddot{\theta}+M_e L\ddot{y}(L)+\rho A \int_0^{L} x\ddot{y}dx -u=0 }

また、第２式(13b)と第３式(13c)は、\dot{\theta}^2が微小であるとして、次のように近似します。

\displaystyle{(14b)\quad \rho A \int_0^{L} (x\ddot{\theta}+\ddot{y}) dx + EI \int_0^{L} y'''' dx =0 }
\displaystyle{(14c)\quad M_e (L\ddot{\theta}+\ddot{y}(L))-EI y'''(L) =0 }

これらを次のように無次元化します。

(15a)\quad \frac{L}{EI}\times第１式(14a’)：
\displaystyle{\underbrace{\frac{J}{\rho AL^3}}_{\alpha} \underbrace{\frac{d^2\theta}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\theta}} +\underbrace{\frac{M_e}{\rho AL}}_{\beta} \underbrace{\frac{L}{L}}_1 \underbrace{\frac{d^2\frac{y(L)}{L}}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\eta}(1)} +\int_0^{\frac{L}{L}} \underbrace{\frac{x}{L}}_\xi\underbrace{\frac{d^2\frac{y}{L}}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\eta}} \underbrace{d\frac{x}{L}}_{d\xi} -\underbrace{\frac{u}{\frac{EI}{L}}}_{u'}=0 }
(15b)\quad \frac{L^2}{EI}\times第２式(14b)：
\displaystyle{\int_0^{\frac{L}{L}} (\underbrace{\frac{x}{L}}_\xi\underbrace{\frac{d^2\theta}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\theta}} +\underbrace{\frac{d^2\frac{y}{L}}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\eta}}) \underbrace{d\frac{x}{L}}_{d\xi} + \int_0^{\frac{L}{L}} \underbrace{\frac{d^4\frac{y}{L}}{d(\frac{x}{L})^4}}_{\eta''''} \underbrace{d\frac{x}{L}}_{d\xi} =0 }
(15c)\quad \frac{L^2}{EI}\times第３式(14c)：
\displaystyle{\underbrace{\frac{M_e}{\rho AL}}_{\beta} (\underbrace{\frac{L}{L}}_1\underbrace{\frac{d^2\theta}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\theta}}+\underbrace{\frac{d^2\frac{y(L)}{L}}{d(\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}}_{\ddot{\eta}(1)})-\underbrace{\frac{d^3\frac{y(L)}{L}}{d(\frac{x}{L})^3}}_{\eta'''(1)} =0}
(15d)\quad \frac{L}{EI}\times第４式(13d)：
\displaystyle{\underbrace{\frac{d^2\frac{y}{L}}{d(\frac{x}{L})^2}}_{\eta''(1)} }=0}

すなわち、代表長さL、代表時間T=L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}、代表トルク\frac{EI}{L}として、無次元化した柔軟ビームの運動方程式は次式となります。

\displaystyle{(16a)\quad \alpha\ddot{\theta}+\beta\ddot{\eta}(1)+\int_0^1\xi\ddot{\eta}d\xi-u'=0}
\displaystyle{(16b)\quad \int_0^1(\xi\ddot{\theta}+\ddot{\eta}+\eta'''')d\xi=0}
\displaystyle{(16c)\quad \beta (\ddot{\theta}+\ddot{\eta}(1))-\eta'''(1)=0}
\displaystyle{(16d)\quad \eta''(1)=0}

ただし

\displaystyle{(17a)\quad T=L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}},\ \tau=\frac{t}{T}}
\displaystyle{(17b)\quad \xi=\frac{x}{L},\ \eta=\frac{y}{L},\ u'=\frac{u}{\frac{EI}{L}}}
\displaystyle{(17c)\quad \alpha=\frac{J}{\rho AL^3}=\frac{J_0+\frac{1}{3}\rho AL^3+M_eL^2}{\rho AL^3}=\frac{J_0}{\rho AL^3}+\frac{1}{3}+\beta }
\displaystyle{(17d)\quad \beta=\frac{M_e}{\rho AL}}

[2] 以下では、モード法による求解方法を考えていきます。

そのために、\ddot{\theta}=0を仮定すると

\displaystyle{(18a)\quad \eta''''+\ddot{\eta}=0}
\displaystyle{(18b)\quad \eta'''(1)=\beta\ddot{\eta}(1)}
\displaystyle{(18c)\quad \eta(0)=\eta'(0)=\eta''(1)=0}

を得ます。ここで、変数分離\eta(\xi,\tau)=\phi(\xi)r(\tau)を行います。

\displaystyle{(19a)\quad \phi''''r +\phi\ddot{r} =0 }
\displaystyle{(19b)\quad \phi'''(1)r =\beta\phi(1)\ddot{r} }
\displaystyle{(19c)\quad \phi(0)r=\phi'(0)r=\phi''(1)r =0 }

さらに、\displaystyle{\Omega^2=-\frac{\ddot{r}}{r} },　\displaystyle{ \ddot{r}+\Omega^2r =0 }を仮定しますと

\displaystyle{(20a)\quad \phi'''' -\Omega^2\phi =0 }
\displaystyle{(20b)\quad \phi'''(1) =-\beta\Omega^2\phi(1) }
\displaystyle{(20c)\quad \phi(0)=\phi'(0)=\phi''(1) =0 }

を得ます。これから

\displaystyle{(21a)\quad \phi'''' -\Omega^2\phi =0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad \omega^4=\Omega^2}
\displaystyle{(21b)\quad \phi'''' -\omega^4\phi =0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad \phi(\xi)=c_1e^{\omega\xi}+c_2e^{-\omega\xi}+c_3e^{j\omega\xi}+c_4e^{-j\omega\xi}}
\displaystyle{(21c)\quad \phi(\xi)=c_1C_{\omega\xi}+c_2S_{\omega\xi}+c_3C^h_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad\phi(0)=\phi'(0)=\phi''(1) =0}
\displaystyle{(21d)\quad c_1+c_3=0,c_2+c_4=0}
\displaystyle{c_3(C^h_{\omega}+C_{\omega})+c_4(S^h_{\omega}+S_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad for\ arbitrary\ \gamma}
\displaystyle{(21f)\quad c_3=-c_1=\alpha(S^h_{\omega}+S_{\omega}),c_4=-c_2=-\gamma(C^h_{\omega}+C_{\omega})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad }
\displaystyle{(21g)\quad \phi(x)=\gamma((S^h_{\omega}+S_{\omega})(C^h_{\omega\xi}-C_{\omega\xi})-(C^h_{\omega}+C_{\omega})(S^h_{\omega\xi}-S_{\omega\xi}))}

を得ます。さらに\omegaが満足すべき制約式を次のように得ます。

\displaystyle{(22a)\quad \phi=\gamma((S^h_{\omega}+S_{\omega})(C^h_{\omega\xi}-C_{\omega\xi})-(C^h_{\omega}+C_{\omega})(S^h_{\omega\xi}-S_{\omega\xi}))}
\displaystyle{\phi'=\gamma\omega((S^h_{\omega}+S_{\omega})(S^h_{\omega\xi}+S_{\omega\xi})-(C^h_{\omega}+C_{\omega})(C^h_{\omega\xi}-C_{\omega\xi}))}
\displaystyle{\phi''=\gamma\omega^2((S^h_{\omega}+S_{\omega})(C^h_{\omega\xi}+C_{\omega\xi})-(C^h_{\omega}+C_{\omega})(S^h_{\omega\xi}+S_{\omega\xi}))}
\displaystyle{\phi'''=\gamma\omega^3((S^h_{\omega}+S_{\omega})(S^h_{\omega\xi}-S_{\omega\xi})-(C^h_{\omega}+C_{\omega})(C^h_{\omega\xi}+C_{\omega\xi}))}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(22b)\quad \phi(1)=2\gamma(C^h_{\omega}S_{\omega}-S^h_{\omega}C_{\omega})}
\displaystyle{\phi'''(1)=-2\gamma\omega^3(1+C^h_{\omega}C_{\omega})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad \phi'''(1) =-\beta\Omega^2\phi(1)}
\displaystyle{(22c)\quad -2\gamma\omega^3(1+C^h_{\omega}C_{\omega}) =-\beta\omega^42\gamma(C^h_{\omega}S_{\omega}-S^h_{\omega}C_{\omega})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow\qquad }
\displaystyle{(22d)\quad \beta\omega(C^h_{\omega}S_{\omega}-S^h_{\omega}C_{\omega})-(1+C^h_{\omega}C_{\omega})=0}

●これを満足する\omegaを、\omega_1,\omega_2,\cdotsとしますと、次のモード関数群を得たことになります。

\displaystyle{(23a)\quad \phi_i(x)=\gamma_i((S^h_{\omega_i}+S_{\omega_i})(C^h_{\omega_i\xi}-C_{\omega_i\xi})-(C^h_{\omega_i}+C_{\omega_i})(S^h_{\omega_i\xi}-S_{\omega_i\xi}))}

ただし

\displaystyle{(23b)\quad \beta\omega_i(C^h_{\omega_i}S_{\omega_i}-S^h_{\omega_i}C_{\omega_i})-(1+C^h_{\omega_i}C_{\omega_i})=0}

これらのモード関数はお互いに直交することが次のようにして示されます（i,j=1,2,\cdots）。

\displaystyle{(24a)\quad \int_0^1 \phi''_i\phi''_jd\xi=[ \phi''_i\phi'_j]_0^1-\int_0^1 \phi'''_i\phi'_jd\xi}
\displaystyle{=\underbrace{\phi''_i(1)}_0\phi'_j(1)-\phi''_i(0)\underbrace{\phi'_j(0)}_0-\int_0^1 \phi'''_i\phi'_jd\xi}
\displaystyle{=-[ \phi'''_i\phi_j]_0^1+\int_0^1 \phi''''_i\phi_jd\xi}
\displaystyle{=\underbrace{-\phi'''_i(1)}_{\beta\Omega_i^2\phi_i(1)}\phi_j(1)+\phi'''_i(0)\underbrace{\phi_j(0)}_0+\int_0^1 \Omega_i^2\phi_i\phi_jd\xi}
\displaystyle{=\Omega_i^2(\int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1))}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(24b)\quad \int_0^1 \phi''_i\phi''_jdx=\Omega_i^2(\int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1))}
\displaystyle{\int_0^1 \phi''_j\phi''_idx=\Omega_j^2(\int_0^1 \phi_j\phi_id\xi+\beta\phi_j(1)\phi_i(1))}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(24c)\quad 0=(\Omega_i^2-\Omega_j^2)(\int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1))}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(24d)\quad \int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1)=0\quad(i\ne j)}
\displaystyle{\int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1)\ne0\quad(i=j)}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(24e)\quad \int_0^1 \phi_i\phi_jd\xi+\beta\phi_i(1)\phi_j(1)=\delta_{ij}}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(24f)\quad \int_0^1 \phi''_i\phi''_jd\xi=\Omega_i^2\delta_{ij}}

●結局、弾性変位\eta(\xi,\tau)を、モード関数\phi_i(\xi)を時間関数r_i(\tau)で重み付けて

\displaystyle{(25)\quad \eta(\xi,\tau)=\sum_{i=0}^\infty\phi_i(\xi)r_i(\tau) }

のように表します。この時間関数r_i(\tau)の支配方程式は

\displaystyle{(26a)\quad \alpha\ddot{\theta}+\int_0^1\xi\ddot{\eta}d\xi+\beta\ddot{\eta}(1)=u'}
\displaystyle{(26b)\quad \int_0^1(\xi\ddot{\theta}+\ddot{\eta}+\eta'''')d\xi=0}

から得られます。まず、第１式(26a)から

\displaystyle{(27)\quad \alpha\ddot{\theta}+\int_0^1\xi\ddot{\eta}d\xi+\beta\ddot{\eta}(1) }
\displaystyle{=\alpha\ddot{\theta}+\int_0^1 \xi\sum_{i=0}^\infty\phi_i\ddot{r}_i d\xi+ \beta\sum_{i=0}^\infty\phi_i(1)\ddot{r}_i }
\displaystyle{=\alpha\ddot{\theta}+\sum_{i=0}^\infty\underbrace{(\int_0^1 \xi\phi_i d\xi+ \beta\phi_i(1))}_{m_i}\ddot{r}_i=u' }

を得ます。次に

\displaystyle{(28)\quad \int_0^{1} \phi_j \eta'''' d\xi=[ \phi_j\eta''']_0^1-\int_0^1 \phi'_j\eta'''d\xi}
\displaystyle{=\phi_j(1)\eta'''(1)-\underbrace{\phi_j(0)}_0\eta'''(0)-\int_0^1 \phi'_j\eta'''d\xi}
\displaystyle{=\phi_j(1)\eta'''(1)-[\phi'_j\eta'']_0^1+\int_0^1 \phi''_j\eta''d\xi}
\displaystyle{=\phi_j(1)\eta'''(1)-\phi'_j(1)\underbrace{\eta''(1)}_0+\underbrace{\phi'_j(0)}_0\eta''(0)+\int_0^1 \phi''_j\eta''d\xi}
\displaystyle{=\phi_j(1)\beta(\ddot{\theta}+\ddot{y}(1))+\int_0^1 \phi''_j\sum_{i=0}^\infty\phi''_ir_id\xi}
\displaystyle{=\phi_j(1)\beta(\ddot{\theta}+\sum_{i=0}^\infty\phi_i(1)\ddot{r}_i)+\Omega^2_jr_j}

を考慮して、第２式(26b)から

\displaystyle{(29)\quad \int_0^1\phi_j(\xi\ddot{\theta}+\ddot{\eta}+\eta'''')d\xi }
\displaystyle{=\int_0^{1}\phi_j(\xi\ddot{\theta}+\sum_{i=0}^\infty\phi_i\ddot{r}_i)d\xi +\phi_j(1)\beta(\ddot{\theta}+\sum_{i=0}^\infty\phi_i(1)\ddot{r}_i)+\Omega^2_jr_j }
\displaystyle{=\underbrace{(\int_0^1 \xi\phi_jd\xi+\beta\phi_j(1))}_{m_j}\ddot{\theta} +\sum_{i=0}^\infty\underbrace{(\int_0^1 \phi_j\phi_id\xi+\beta\phi_j(1)\phi_i(1))}_{\delta_{ij}}\ddot{r}_i+\Omega^2_jr_j}
\displaystyle{=m_j\ddot{\theta}+\ddot{r}_j+\Omega_j^2r_j=0}

を得ます。すなわち時間関数r_i(\tau)は次式を満足すべきことがわかります。

\displaystyle{(30a)\quad \alpha\ddot{\theta}+\sum_{i=0}^\infty m_i\ddot{r}_i=u' }
\displaystyle{(30b)\quad m_i\ddot{\theta}+\ddot{r}_i+\Omega_i^2r_i=0\quad(i=1,0,\cdots)}

●これから、柔軟ビームに関するもう一つの運動方程式として、次を得ます。

\displaystyle{(31a)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c|ccc} \alpha & m_1 & \dots &m_N \\ \hline m_1 & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ m_N & 0 & & 1 \\ \end{array}\right] }_{M=\left[\begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array}\right]} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \ddot{\theta} \\ \hline \ddot{r}_1 \\ \vdots \\ \ddot{r}_N \end{array}\right] }_{\ddot{\xi}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & \dots &0 \\ \hline 0 & \Omega_1^2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & & \Omega_N^2 \\ \end{array}\right] }_{K=\left[\begin{array}{cc} K_{11} & K_{12} \\ K_{21} & M_{22} \end{array}\right]} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \theta \\ \hline r_1 \\ \vdots \\ r_N \end{array}\right] }_{\xi} = \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 1 \\ \hline 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right] }_{B_2} u' }
\displaystyle{(31b)\quad \eta(\xi)= \underbrace{ \left[\begin{array}{c|ccc} 0 & \phi_1(\xi) & \dots &\phi_N(\xi) \end{array}\right] }_{C_1} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \theta \\ \hline r_1 \\ \vdots \\ r_N \end{array}\right] }_{\xi} }

ただし

\displaystyle{(32a)\quad T=L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}},\ \tau=\frac{t}{T}}
\displaystyle{(32b)\quad \xi=\frac{x}{L},\ \eta=\frac{y}{L},\ u'=\frac{u}{\frac{EI}{L}}}
\displaystyle{(32c)\quad \alpha=\frac{J}{\rho AL^3},\ J=J_0+\frac{1}{3}\rho AL^3+M_eL^2 }
\displaystyle{(32d)\quad \beta=\frac{M_e}{\rho AL}}
\displaystyle{(32e)\quad m_i=\int_0^1 \xi\phi_jd\xi+\beta\phi_j(1)}
\displaystyle{(32f)\quad \Omega_i^2=\omega_i^4}
\displaystyle{(32g)\quad \beta\omega_i(C^h_{\omega_i}S_{\omega_i}-S^h_{\omega_i}C_{\omega_i})-(1+C^h_{\omega_i}C_{\omega_i})=0}

これから次の状態空間表現を得ます。

\displaystyle{(33a)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\xi} \\ \ddot{\xi} \end{array}\right] }_{\dot{x}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{N+1\times N+1} & I_{N+1} \\ M^{-1}K & 0_{N+1\times N+1} \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \xi \\ \dot{\xi} \end{array}\right] }_{x} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{N+1\times 1} \\ M^{-1}B_2 \end{array}\right] }_{B} u'}
\displaystyle{(33b)\quad \eta(\xi)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C_1 & 0_{1\times N} \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \xi \\ \dot{\xi} \end{array}\right] }_{x} }

Note B64　モード関数

●ビーム（梁）の境界条件を、自由支持・ピン支持・固定支持と変えた場合のモード関数と振動数方程式を示します。ここで、Ax=0 が解 x\ne0 を持つための条件 {\rm det}A=0 が使われていることに注意してください。


（藤田勝久：振動工学、森北出版より）

\displaystyle{(1a)\quad M=-EI\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} }
\displaystyle{(1b)\quad S=\frac{\partial M}{\partial x}=-EI\frac{\partial^3 y}{\partial x^3} }
\displaystyle{(1c)\quad \frac{\partial S}{\partial x}=-EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} }

\displaystyle{(2a)\quad \rho A\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{\partial S}{\partial x} }, \displaystyle{m\frac{\partial^2 y(L)}{\partial t^2}=-S(L) }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow }
\displaystyle{(2b)\quad {\rho A}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+{EI}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0 }, \displaystyle{m\frac{\partial^2 y(L)}{\partial t^2}-EI\frac{\partial^3 y(L)}{\partial x^3}=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow \times \frac{L^3}{EI}, \times \frac{L^2}{EI} }
\displaystyle{(2c)\quad \frac{\partial^2 \frac{y}{L}}{\partial (\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}+\frac{\partial^4 \frac{y}{L}}{\partial (\frac{x}{L})^4}=0 }, \displaystyle{\frac{m}{\rho AL}\frac{\partial^2 \frac{y(L)}{L}}{\partial (\frac{t}{L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}}})^2}-\frac{\partial^3 \frac{y(L)}{L}}{\partial (\frac{x}{L})^3}=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow T=L^2\sqrt{\frac{\rho A}{EI}},\ \tau=\frac{t}{T},\ \xi=\frac{x}{L},\ \eta=\frac{y}{L},\ \beta=\frac{m}{\rho AL} }
\displaystyle{(2d)\quad \frac{\partial^2 \eta}{\partial \tau^2}+\frac{\partial^4 \eta}{\partial \xi^4}=0 }, \displaystyle{\beta\frac{\partial^2 \eta(1)}{\partial \tau^2}-\frac{\partial^3 \eta(1)}{\partial \xi^3}=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow \eta(\xi,\tau)=\phi(\xi)r(\tau) }
\displaystyle{(2e)\quad \phi(\xi)\ddot{r}(\tau)+\frac{\partial^4 \phi(\xi)}{\partial \xi^4}r(\tau)=0 }, \displaystyle{\beta\phi(1)\ddot{r}(\tau)-\frac{\partial^3 \phi(1)}{\partial \xi^3}r(\tau)=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow \ddot{r}(\tau)=-\Omega^2r(\tau) }
\displaystyle{(2f)\quad -\phi(\xi)\Omega^2r(\tau)+\frac{\partial^4 \phi(\xi)}{\partial \xi^4}r(\tau)=0 }, \displaystyle{-\phi(1)\Omega^2r(\tau)-\frac{\partial^3 \phi(1)}{\partial \xi^3}r(\tau)=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(2g)\quad \frac{\partial^4 \phi}{\partial \xi^4}-\Omega^2\phi(\xi)=0 }, \displaystyle{\frac{\partial^3 \phi(1)}{\partial \xi^3}+\beta\Omega^2\phi(1)=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow \omega^4=\Omega^2}
\displaystyle{(2h)\quad \phi''''(\xi)-\omega^4\phi(\xi)=0 }, \displaystyle{\phi'''(1)+\beta\omega^4\phi(1)=0 }
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(2i)\quad \phi(\xi)=c_1C_{\omega\xi}+c_2S_{\omega\xi}+c_3C^h_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\phi'(\xi)=\omega(-c_1S_{\omega\xi}+c_2C_{\omega\xi}+c_3S^h_{\omega\xi}+c_4C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_1C_{\omega\xi}-c_2S_{\omega\xi}+c_3C^h_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(c_1S_{\omega\xi}-c_2C_{\omega\xi}+c_3S^h_{\omega\xi}+c_4C^h_{\omega\xi})}

\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline & free & pinned & fixed \\\hline free & 1^\circ & & \\\hline pinned & 3^\circ,3'^\circ & 2^\circ & \\\hline fixed & 6^\circ,6'^\circ & 5^\circ & 4^\circ \\\hline \end{array} }

1^\circ 自由・自由支持の場合 （\beta=0）

\displaystyle{\phi''(0)=\phi'''(0)=0, \phi''(1)=\phi'''(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{-c_1+c_3=0, -c_2+c_4=0 \Rightarrow c_3=c_1, c_4=c_2}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_1C_{\omega\xi}-c_2S_{\omega\xi}+c_1C^h_{\omega\xi}+c_2S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(c_1S_{\omega\xi}-c_2C_{\omega\xi}+c_1S^h_{\omega\xi}+c_2C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}-C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}-S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{c_1(S_{\omega}+S^h_{\omega})-c_2(C_{\omega}-C^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(C_{\omega}-C^h_{\omega})^2+(S^2_{\omega}-S^{h2}_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{1-C_{\omega}C^h_{\omega}=0}}

2^\circ ピン・ピン支持の場合

\displaystyle{\phi(0)=\phi''(0)=0,\ \phi(1)=\phi''(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, -c_1+c_3=0 \Rightarrow c_1=c_3=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi(\xi)=c_2S_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_2S_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_2S_{\omega}+c_4S^h_{\omega}=0, -c_2S_{\omega}+c_4S^h_{\omega}=0 \Rightarrow c_4=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{S_{\omega}=0}}

3^\circ ピン・自由支持の場合 （\beta=0）

\displaystyle{\phi(0)=\phi''(0)=0, \phi''(1)=\phi'''(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, -c_1+c_3=0 \Rightarrow c_1=c_3=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_2S_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(-c_2C_{\omega\xi}+c_4C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{-c_2S_{\omega}+c_4S^h_{\omega}=0}
\displaystyle{-c_2C_{\omega}+c_4C^h_{\omega}=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{S_{\omega}C^h_{\omega}-C_{\omega}S^h_{\omega}=0}}

3'^\circ ピン・質点付自由支持の場合

\displaystyle{\phi(0)=\phi''(0)=0, \phi''(1) =0,\ \phi'''(1) =-\beta\omega^4\phi(1)}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, -c_1+c_3=0 \Rightarrow c_1=c_3=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_2S_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(-c_2C_{\omega\xi}+c_4C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi(\xi)=c_2S_{\omega\xi}+c_4S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{-c_2S_{\omega}+c_4S^h_{\omega}=0}
\displaystyle{c_2(-C_{\omega}+\beta\omega S_{\omega})+c_4(C^h_{\omega}+\beta\omega S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\Downarrow}
\displaystyle{-S_{\omega}C^h_{\omega}-\beta\omega S_{\omega}S^h_{\omega}+C_{\omega}S^h_{\omega}-\beta\omega S_{\omega}S^h_{\omega}=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{(S_{\omega}C^h_{\omega}-C_{\omega}S^h_{\omega})+2\beta\omega S_{\omega}S^h_{\omega}=0}}

4^\circ 固定・固定支持の場合

\displaystyle{\phi(0)=\phi'(0)=0,\ \phi(1)=\phi'(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, c_2+c_4=0 \Rightarrow c_3=-c_1, c_4=-c_2}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi(\xi)=c_1C_{\omega\xi}+c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\phi'(\xi)=\omega(-c_1S_{\omega\xi}+c_2C_{\omega\xi}-c_1S^h_{\omega\xi}-c_2C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}-C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}-S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{-c_1(S_{\omega}+S^h_{\omega})+c_2(C_{\omega}-C^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(C_{\omega}-C^h_{\omega})^2+(S^2_{\omega}-S^{h2}_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{1-C_{\omega}C^h_{\omega}=0}}

5^\circ 固定・ピン支持の場合

\displaystyle{\phi(0)=\phi'(0)=0,\ \phi(1)=\phi''(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, c_2+c_4=0 \Rightarrow c_3=-c_1, c_4=-c_2}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi(\xi)=c_1C_{\omega\xi}+c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_1C_{\omega\xi}-c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}-C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}-S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}+C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}+S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(C_{\omega}-C^h_{\omega})(S_{\omega}+S^h_{\omega})-(C_{\omega}+C^h_{\omega})(S_{\omega}-S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{S_{\omega}C^h_{\omega}-C_{\omega}S^h_{\omega}=0}}

6^\circ 固定・自由支持の場合 （\beta=0）

\displaystyle{\phi(0)=\phi'(0)=0,\ \phi''(1) =\phi'''(1) =0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, c_2+c_4=0 \Rightarrow c_3=-c_1, c_4=-c_2}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_1C_{\omega\xi}-c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(c_1S_{\omega\xi}-c_2C_{\omega\xi}-c_1S^h_{\omega\xi}-c_2C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}+C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}+S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{c_1(S_{\omega}-S^h_{\omega})-c_2(C_{\omega}+C^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(C_{\omega}+C^h_{\omega})^2+(S^2_{\omega}-S^{h2}_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{1+C^h_{\omega}C_{\omega}=0}}

6'^\circ 固定・質点付自由支持の場合

\displaystyle{\phi(0)=\phi'(0)=0,\ \phi''(1) =0,\ \phi'''(1) =-\beta\omega^4\phi(1)}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1+c_3=0, c_2+c_4=0 \Rightarrow c_3=-c_1, c_4=-c_2}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\phi''(\xi)=\omega^2(-c_1C_{\omega\xi}-c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi'''(\xi)=\omega^3(c_1S_{\omega\xi}-c_2C_{\omega\xi}-c_1S^h_{\omega\xi}-c_2C^h_{\omega\xi})}
\displaystyle{\phi(\xi)=c_1C_{\omega\xi}+c_2S_{\omega\xi}-c_1C^h_{\omega\xi}-c_2S^h_{\omega\xi}}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{c_1(C_{\omega}+C^h_{\omega})+c_2(S_{\omega}+S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{c_1((S_{\omega}-S^h_{\omega})+\beta\omega(C_{\omega}-C^h_{\omega}))+c_2(-(C_{\omega}+C^h_{\omega})+\beta\omega(S_{\omega}-S^h_{\omega}))=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{(C_{\omega}+C^h_{\omega})^2+(S^2_{\omega}-S^{h2}_{\omega})-\beta\omega(C_{\omega}+C^h_{\omega})(S_{\omega}-S^h_{\omega})+\beta\omega(C_{\omega}-C^h_{\omega})(S_{\omega}+S^h_{\omega})=0}
\displaystyle{\cdot\qquad\Downarrow}
\displaystyle{\boxed{(1+C^h_{\omega}C_{\omega})+\beta\omega(C_{\omega}S^h_{\omega}-S_{\omega}C^h_{\omega})=0}}