LPV制御（状態FB）

LPV制御（状態FB）…Homework

ここでは、主軸変動を伴う回転体の運動制御を例にとって、状態FB形式のGS制御について説明します。

[1] 次図のような回転体の運動を考えます。

図1 主軸変動を伴う回転体

これは次の運動方程式で表されます。

$\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{l} J_1\dot{\omega}_1(t)-\omega_2(t)\Omega(t)(J_2-J_3)=\tau_1(t) \\ J_2\dot{\omega}_2(t)-\omega_1(t)\Omega(t)(J_3-J_1)=\tau_2(t) \end{array}\right. }$

ここで、次のパラメータ変動を想定します。

$\displaystyle{(2)\quad \Omega_{min}<\Omega(t)<\Omega_{max} }$

次の状態方程式を得ます。

$\displaystyle{(3) \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\omega}_1(t) \\ \dot{\omega}_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & \Omega(t)\frac{J_2-J_3}{J_1} \\ -\Omega(t)\frac{J_3-J_1}{J_2} & 0 \end{array}\right] }_{A(\Omega(t))} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \omega_1(t) \\ \omega_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{J_1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{J_2} \end{array}\right] }_{B} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tau_1(t) \\ \tau_2(t) \end{array}\right] }_{u(t)} }$

●いま、 $A(\Omega(t))$ は次式で表されることに着目します。

$\displaystyle{(4)\quad A(\Omega(t))= \underbrace{\frac{\Omega_{max}-\Omega(t)}{\Omega_{max}-\Omega_{min}}}_{p_1(\Omega(t))} \underbrace{A(\Omega_{min})}_{A_1} + \underbrace{\frac{\Omega(t)-\Omega_{min}}{\Omega_{max}-\Omega_{min}}}_{p_2(\Omega(t))} \underbrace{A(\Omega_{max})}_{A_2} }$

ただし

$\displaystyle{(5)\quad p_1(\Omega(t))+p_2(\Omega(t))=1 }$

このとき上の状態方程式は、端点(vertex)モデルとよばれる

$\displaystyle{(6)\quad \dot{x}(t)=A_1x(t)+Bu(t),\ \dot{x}(t)=A_2x(t)+Bu(t) }$

を、係数 $p_1(\Omega),p_2(\Omega)$ によって重み付けて

$\displaystyle{(7)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))A_1+p_2(\Omega(t))A_2)}_{A(\Omega(t))}x(t)+Bu(t) }$

のように得られることが分かります。これをLPV(Linear Parameter Varying)モデルと呼びます。

●状態フィートバックによるパラメータ変動抑制について考えます。そのために端点モデルに対応した状態フィートバック（端点コントローラとよばれる）

$\displaystyle{(8)\quad u(t)=-F_1x(t),\ u(t)=-F_2x(t) }$

を、係数 $p_1(\Omega(t)),p_2(\Omega(t))$ によって重み付けた

$\displaystyle{(9)\quad u(t)=-\underbrace{(p_1(\Omega(t))F_1+p_2(\Omega(t))F_2)}_{F(\Omega(t))}x(t) }$

のようなLPV(Linear Parameter Varying)制御を考えます。この閉ループ系は次式で表されます。

$\displaystyle{(10)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2))}_{A_F(\Omega(t))}x(t) }$

ここで、端点コントローラによる閉ループ系

$\displaystyle{(11)\quad \dot{x}(t)=(A_1-BF_1)x(t),\ \dot{x}(t)=(A_2-BF_2)x(t) }$

はそれぞれ漸近安定となるように設計しますが、閉ループ系の時変系としての安定性が保証されるかの検討が必要になります（Note B51参照）。

[2] いま、次の２ポート表現かつポリトピック表現された $n$ 次系を考えます。

$\displaystyle{(12)\quad P: \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))A_1+p_2(\Omega(t))A_2)}_{A(\Omega(t))}x(t)+B_1u_1(t)+B_2u_2(t) \\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} y(t)\\ u(t) \end{array}\right] }_{y_1(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{c} C\\ 0 \end{array}\right] }_{C_1} x(t)+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right] }_{D_{11}}u_1(t)+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ I \end{array}\right] }_{D_{12}} u_2(t) \\ y_2(t)=x(t) \end{array}\right. }$

これに対する状態フィードバック

$\displaystyle{(13)\quad K: u_2(t)=-\underbrace{(p_1(\Omega(t))F_1+p_2(\Omega(t))F_2)}_{F(\Omega(t))}y_2(t) }$

による閉ループ系

$\displaystyle{(14)\quad P_{CL}: \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-B_2F_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-B_2F_2))}_{A_F(\Omega(t))}x(t)+B_1u_1(t) \\ y_1(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{c} C\\ -F \end{array}\right] }_{C_1-D_{12}F} x(t) \end{array}\right. }$

において、その ${\cal L}_2$ ゲインが $\gamma$ より小、すなわち

$\displaystyle{(15)\quad \sup_{u_1\in{\cal L}_2}\frac{||y_1(t)||_2}{||u_1(t)||_2}<\gamma }$

となるように状態フィードバックゲイン $F_1,F_2$ を求める問題を考えます。

●そのために、各端点における $H_\infty$ 制御（状態フィードバック）を共通のリャプノフ関数をもつように解きます。その際コントローラの実装上の立場から、各端点において

$\lambda(A_1-BF_1),\lambda(A_2-BF_2)\subset{\cal D}_1\cup{\cal D}_2\cup{\cal D}_3$

の制約を課すことがあります。この問題は次のように定式化されます。

Minimize $\gamma$ on $Y,Z_1,Z_2$ subject to

$\displaystyle{(16)\quad Y>0 }$

$\displaystyle{(17)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1Y-B_2Z_1)^T+A_1Y-B_2Z_1 & B_1 & (C_1Y-D_{12}Z_1)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ C_1Y-D_{12}Z_1 & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }$

$\displaystyle{(18)\quad \begin{array}{l} 2\alpha Y+A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T<0 \\ \left[\begin{array}{cc} -rY & A_1Y-B_2Z_1 \\ (A_1Y-B_2Z_1)^T & -rY \end{array}\right]<0 \\ \left[\begin{array}{cc} \sin\theta(A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T) & \\ -\cos\theta(A_1Y-B_2Z_1-(A_1Y-B_2Z_1)^T) & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{cc} & \cos\theta(A_1Y-B_2Z_1-(A_1Y-B_2Z_1)^T) \\ & \sin\theta(A_1Y-B_2Z_1+(A_1Y-B_2Z_1)^T) \end{array}\right]<0 \end{array} }$

$\displaystyle{(19)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_2Y-B_2Z_2)^T+A_2Y-B_2Z_2 & B_1 & (C_1Y-D_{12}Z_2)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ C_1Y-D_{12}Z_2 & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 \\ }$

$\displaystyle{(20)\quad \begin{array}{l} 2\alpha Y+A_1Y-B_2Z_2+(A_1Y-B_2Z_2)^T<0 \\ \left[\begin{array}{cc} -rY & A_1Y-B_2Z_2 \\ (A_1Y-B_2Z_2)^T & -rY \end{array}\right]<0 \\ \left[\begin{array}{cc} \sin\theta(A_2Y-B_2Z_2+(A_2Y-B_2Z_2)^T) & \\ -\cos\theta(A_2Y-B_2Z_2-(A_2Y-B_2Z_2)^T) & \end{array}\right. \\ \left.\begin{array}{cc} & \cos\theta(A_2Y-B_2Z_2-(A_2Y-B_2Z_2)^T) \\ & \sin\theta(A_2Y-B_2Z_2+(A_2Y-B_2Z_2)^T) \end{array}\right]<0 \end{array} }$

この最小化問題の解 $Y,Z_1,Z_2$ を用いて、次のように $F_1,F_2$ を定めます。

$\displaystyle{(21)\quad F_1=Z_1Y^{-1}}$
$\displaystyle{(22)\quad F_2=Z_2Y^{-1}}$

●この問題設定では

$\displaystyle{(23)\quad \left[\begin{array}{ccc} Y(A_1-B_2F)^T+(A_1-B_2F)Y & B_1 & Y(C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F)Y & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }$
$\displaystyle{(24)\quad \left[\begin{array}{ccc} Y(A_2-B_2F)^T+(A_2-B_2F)Y & B_1 & Y(C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^T & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F)Y & D_{11} & -\gamma I \end{array}\right]<0 }$

の共通解 $Y>0$ を求めています。 $X=Y^{-1}$ ととれば

$\displaystyle{(25)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB_1 & (C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^TX_1 & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F) & D_{11} & -\gamma　I \end{array}\right]<0 }$
$\displaystyle{(26)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB_1 & (C_1-D_{12}F)^T \\ B_1^TX & -\gamma I & D_{11}^T \\ (C_1-D_{12}F) & D_{11} & -\gamma　I \end{array}\right]<0 }$

の共通解となっています。これにより、閉ループ系の時変系としての安定性が保証されます（Note B51参照）。

演習B51…Flipped Classroom

$1^\circ$ 　回転体のパラメータ変動を状態FBによるLPV制御で抑制したシミュレーションプログラムを以下に示す。これを実行し効果を確かめよ。

MATLAB

%cSPIN_sf_gs.m
%-----
 clear all close all
 J1=1; J2=1; J3=0.5;
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1=[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); C=eye(2); D=zeros(2,2);
 S0=[zeros(2,2) B;C D];
 S1=zeros(4,4); S1(1:2,1:2)=A1;
%-----
 J1=1; J2=1; J3=0.5; 
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1= OMmin*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0]; 
 A2= OMmax*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); 
 B1=B; B2=B;
 C1=[eye(2,2);zeros(2,2)]; 
 D11=zeros(4,2); 
 D12=[zeros(2,2);eye(2,2)];
 alpha=1; r=3; th=pi/4; 
 LMIs=sf_synlmi7(A1,A2,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th);
 cobj=zeros(1,decnbr(LMIs)); 
 cobj(1)=1; 
 [cost,xopt]=mincx(LMIs,cobj); 
 Y=dec2mat(LMIs,xopt,2);  
 Z1=dec2mat(LMIs,xopt,3);
 Z2=dec2mat(LMIs,xopt,4); 
 F1=Z1/Y,pl1=eig(A1-B2*F1)
 F2=Z2/Y,pl2=eig(A2-B2*F2) 
%------
 figure(1) 
 subplot(121),dregion(alpha,0,r,th,7*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl1),imag(pl1),'*') 
 subplot(122), dregion(alpha,0,r,th,7*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl2),imag(pl2),'*')  
%------ 
 prange=OMmax-OMmin; pmax=OMmax; pmin=OMmin; 
 sim("SPIN_sf_gs") 
%-----
function LMIs=sf_synlmi7(A1,A2,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th)
 [n,m]=size(B2);  
 sth=sin(th); cth=cos(th);
 setlmis([]);
 gam=lmivar(1,[1 0]); 
 Y=lmivar(1,[n 1]); 
 Z1=lmivar(2,[m n]); 
 Z2=lmivar(2,[m n]); 
%
 lmi11=newlmi;
 lmiterm([lmi11,1,1,Y],A1,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi11,1,1,Z1],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi11,1,2,0],B1);            %#1:B1 
 lmiterm([lmi11,2,2,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmiterm([lmi11,3,1,Y],C1,1);          %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi11,3,1,Z1],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi11,3,2,0],D11);           %#1:D11 
 lmiterm([lmi11,3,3,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmi21=newlmi;  
 lmiterm([lmi21,1,1,Y],A1,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi21,1,1,Z1],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi21,1,1,Y],2*alpha,1);     %#2:2*alpha*Y   
 lmi31=newlmi;  
 lmiterm([lmi31,1,1,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi31,1,2,Y],A1,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi31,1,2,Z1],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi31,2,2,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmi41=newlmi;  
 lmiterm([lmi41,1,1,Y],sth*A1,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi41,1,1,Z1],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi41,1,2,Y],cth*A1,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi41,1,2,Y],1,-cth*A1');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi41,1,2,Z1],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi41,1,2,-Z1],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi41,2,2,Y],sth*A1,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi41,2,2,Z1],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
%
 lmi12=newlmi;
 lmiterm([lmi12,1,1,Y],A2,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi12,1,1,Z2],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi12,1,2,0],B1);            %#1:B1 
 lmiterm([lmi12,2,2,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmiterm([lmi12,3,1,Y],C1,1);          %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi12,3,1,Z2],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi12,3,2,0],D11);           %#1:D11 
 lmiterm([lmi12,3,3,gam],-1,1);        %#1:-gam 
 lmi22=newlmi;  
 lmiterm([lmi22,1,1,Y],A2,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi22,1,1,Z2],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi22,1,1,Y],2*alpha,1);     %#2:2*alpha*Y   
 lmi32=newlmi;  
 lmiterm([lmi32,1,1,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi32,1,2,Y],A2,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi32,1,2,Z2],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi32,2,2,Y],-r,1);          %#3:-r*Y  
 lmi42=newlmi;  
 lmiterm([lmi42,1,1,Y],sth*A2,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi42,1,1,Z2],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi42,1,2,Y],cth*A2,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi42,1,2,Y],1,-cth*A2');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi42,1,2,Z2],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi42,1,2,-Z2],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi42,2,2,Y],sth*A2,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi42,2,2,Z2],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
%
 lmi5=newlmi;
 lmiterm([-lmi5,1,1,Y],1,1);           %#5:Y   
 lmi6=newlmi;
 lmiterm([lmi6,1,1,gam],1,1);          %#6:gam 
 lmiterm([-lmi6,1,1,0],1e3);           %#6:1000    
 LMIs=getlmis; 
end
%-----
%eof

図2 回転体のLPV制御

$2^\circ$ 　回転体のパラメータ変動を状態FBによる $H^\infty$ 制御で抑制したシミュレーションプログラムを以下に示す。これを実行し $1^\circ$ と比較せよ。

MATLAB

%cSPIN_sf_hinf.m
%-----
 clear all close all
 J1=1; J2=1; J3=0.5;
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 A1=[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); C=eye(2); D=zeros(2,2);
 S0=[zeros(2,2) B;C D];
 S1=zeros(4,4); S1(1:2,1:2)=A1;
%-----
 A=OMnom*[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); 
 B1=B; B2=B;
 C1=[eye(2,2);zeros(2,2)]; 
 D11=zeros(4,2); 
 D12=[zeros(2,2);eye(2,2)];
 alpha=1; r=3; th=pi/4; 
 LMIs=sf_synlmi6(A,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th);
 cobj=zeros(1,decnbr(LMIs)); 
 cobj(1)=1; 
 [cost,xopt]=mincx(LMIs,cobj); 
 Y=dec2mat(LMIs,xopt,2);  
 Z=dec2mat(LMIs,xopt,3);  
 F=Z/Y;  
 pl=eig(A-B2*F)
 sim("SPIN_sf_hinf")
 close all,figure(1) 
 dregion(alpha,0,r,th,5*[-1,1,-1,1]) 
 plot(real(pl),imag(pl),'*') 
%-----
function LMIs=sf_synlmi6(A,B1,B2,C1,D11,D12,alpha,r,th)
 [n,m]=size(B2);  
 sth=sin(th); cth=cos(th);
 setlmis([]);
 gam=lmivar(1,[1 0]); 
 Y=lmivar(1,[n 1]); 
 Z=lmivar(2,[m n]); 
 lmi1=newlmi;
 lmiterm([lmi1,1,1,Y],A,1,'s');      %#1:A*Y+Y*A' 
 lmiterm([lmi1,1,1,Z],-B2,1,'s');    %#1:-(B2*Z+Z*B2') 
 lmiterm([lmi1,1,2,0],B1);           %#1:B1 
 lmiterm([lmi1,2,2,gam],-1,1);       %#1:-gam 
 lmiterm([lmi1,3,1,Y],C1,1);         %#1:C1*Y 
 lmiterm([lmi1,3,1,Z],-D12,1);       %#1:D12*Z 
 lmiterm([lmi1,3,2,0],D11);          %#1:D11 
 lmiterm([lmi1,3,3,gam],-1,1);       %#1:-gam 
 lmi2=newlmi;  
 lmiterm([lmi2,1,1,Y],A,1,'s');      %#2:A*Y+Y*A'   
 lmiterm([lmi2,1,1,Z],-B2,1,'s');    %#2:-(B2*Z+Z'*B2')   
 lmiterm([lmi2,1,1,Y],2*alpha,1);    %#2:2*alpha*Y   
 lmi3=newlmi;  
 lmiterm([lmi3,1,1,Y],-r,1);         %#3:-r*Y  
 lmiterm([lmi3,1,2,Y],A,1);          %#3:A*Y   
 lmiterm([lmi3,1,2,Z],-B2,1);        %#3:-B2*Z  
 lmiterm([lmi3,2,2,Y],-r,1);         %#3:-r*Y  
 lmi4=newlmi;  
 lmiterm([lmi4,1,1,Y],sth*A,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi4,1,1,Z],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmiterm([lmi4,1,2,Y],cth*A,1);      %#4:cth*A*Y  
 lmiterm([lmi4,1,2,Y],1,-cth*A');    %#4:-cth*Y*A'  
 lmiterm([lmi4,1,2,Z],-cth*B2,1);    %#4:-cth*B2*Z  
 lmiterm([lmi4,1,2,-Z],1,cth*B2');   %#4:cth*Z'*B2'  
 lmiterm([lmi4,2,2,Y],sth*A,1,'s');  %#4:sth*(A*Y+Y*A')  
 lmiterm([lmi4,2,2,Z],-sth*B2,1,'s');%#4:-sth*(B2*Z+Z'*B2')  
 lmi5=newlmi;
 lmiterm([-lmi5,1,1,Y],1,1);         %#5:Y   
 lmi6=newlmi;
 lmiterm([lmi6,1,1,gam],1,1);        %#6:gam 
 lmiterm([-lmi6,1,1,0],1e3);         %#6:1000    
 LMIs=getlmis; 
end
%-----
%eof

図3 回転体の $H_\infty$ 制御

$3^\circ$ 　 $1^\circ$ のLPV制御において、次のようにスケジューリングを止めた場合、これを実行し $1^\circ$ と $2^\circ$ と比較せよ。

図4 回転体のLPV制御<においてスケジューリングを止めた場合

Note B51　閉ループ系の時変系としての安定性

●次の時変自由系の漸近安定性を考えます。

$\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=A(t)x(t) }$

平衡状態 $x=0$ の近傍 ${\cal X}$ において、リャプノフ関数とよばれる

$\displaystyle{(2)\quad \left\{\begin{array}{ll} V(x)>0 & (x\in{\cal X}, x\ne0) \\ V(x)=0 & (x=0) \end{array}\right. }$

を構成して

$\displaystyle{(3)\quad \frac{d}{dt}V(x(t))<0 }$

を示すことができれば、平衡状態は漸近安定となることが知られています。

●LPVモデル

$\displaystyle{(4)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2))}_{A_F(t)}x(t) }$

において、 $A_1-BF_1$ と $A_2-BF_2$ を個別に安定行列としたとすると

$\displaystyle{(5)\quad \exists X_1>0:X_1(A_1-BF_1)+(A_1-BF_1)^TX_1<0 }$
$\displaystyle{(6)\quad \exists X_2>0:X_2(A_2-BF_2)+(A_2-BF_2)^TX_2<0 }$

から、個別にリャプノフ関数の候補

$\displaystyle{(7)\quad V_1(x(t))=x^T(t)X_1x(t)}$
$\displaystyle{(8)\quad V_2(x(t))=x^T(t)X_2x(t)}$

が得られますが、閉ループ系(4)のリャプノフ関数を構成したことにはなりません。一方

$\displaystyle{(9)\quad \exists X>0: \begin{array}{l} X(A_1-BF_1)+(A_1-BF_1)^TX<0\\ X(A_2-BF_2)+(A_2-BF_2)^TX<0 \end{array} }$

となる共通の $X>0$ を見つけることができれば

$\displaystyle{(10)\quad V(x(t))=x^T(t)Xx(t) }$

に対して

$\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \frac{d}{dt}V(x(t))=x^T(t)(A_F^T(\Omega(t))X+XA_F(\Omega(t)))x(t)\\\ =x^T(t)( ( ( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) )^TX\\ +X( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) ) )x(t)\\ =p_1(\Omega(t)) \underbrace{x^T(t)((A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1))x(t)}_{<0}\\ +p_2(\Omega(t)) \underbrace{x^T(t)((A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2))x(t)}_{<0}<0 \end{array} }$

となって、リャプノフ関数を構成したことになります。

●LPVモデル

$\displaystyle{(12)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2))}_{A_F(t)}x(t)+Bu(t) \\ y=Cx(t) \end{array}\right. }$

に対して、各端点モデルの閉ループ系において、 $H_\infty$ ノルムは $\gamma$ より小であるとすると

$\displaystyle{(13)\quad \exists X_1>0:\ \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX_1+X_1(A_1-BF_1) & X_1B & C^T \\ B^TX_1 & -\gamma I & D^T \\ C & D & -\gamma　I \end{array}\right]<0 }$
$\displaystyle{(14)\quad \exists X_2>0:\ \left[\begin{array}{ccc} (A_2-BF_2)^TX_2+X_2(A_2-BF_2) & X_2B & C^T \\ B^TX_2 & -\gamma I & D^T \\ C & D & -\gamma　I \end{array}\right]<0 }$

が成り立ちます。いま、共通解 $X_1=X_2=X>0$ が求まっているとしますと

$\displaystyle{(15)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D &-I \end{array}\right]<0 }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] < \left[\begin{array}{cc} C^T & 0 \\ D^T & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] }$
$\displaystyle{(16)\quad \left[\begin{array}{ccc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB & C^T \\ B^TX & -\gamma^2 I & D^T \\ C & D &-I \end{array}\right]<0 }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{cc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] < \left[\begin{array}{cc} C^T & 0 \\ D^T & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] }$

に注意して

$\displaystyle{(17)\quad \dot{V}(x(t))=\frac{d}{dt}(x^T(t)Xx(t))= }$
$\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{c} ( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) )^TX\\ +X( p_1(\Omega(t))(A_1-BF_1)+p_2(\Omega(t))(A_2-BF_2) ) \end{array} & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ =p_1(\Omega(t)) \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} (A_1-BF_1)^TX+X(A_1-BF_1) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ +p_2(\Omega(t)) \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} (A_2-BF_2)^TX+X(A_2-BF_2) & XB \\ B^TX & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ < \underbrace{(p_1(\Omega(t))+p_2(\Omega(t)))}_1 \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} - I & 0 \\ 0 & \gamma^2 I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} C & D \\ 0 & I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ =\gamma^2 u^T(t)u(t)-y^T(t)y(t) }$