D制約LMI | 制御系CAD

D制約LMI

[1] 次の命題が成り立ちます。

$\displaystyle{ \begin{array}{lll} &&\lambda(A)\subset {\cal D}=\{s\in{\rm\bf C}: L+sM+s^*M^T<0\ (L=L^T)\}\\ &\Leftrightarrow& \exists X>0:\ L\otimes X+M\otimes(XA)+M^T\otimes(A^TX)<0\\ &\Leftrightarrow& \exists Y>0:\ L\otimes Y+M\otimes(AY)+M^T\otimes(YA^T)<0 \end{array} }$

●十分性（ $\Leftarrow$ ）は、クロネッカ積の公式 $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC\otimes BD)$ を用いて、 $Av=\lambda v$ （ $v^HA^T=\lambda^*v^H$ ）のとき

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (I_n\otimes v^H)(L\otimes X+M\otimes(XA)+M^T\otimes(A^TX))(I_n\otimes v)\\ =(I_n\otimes v^H)(L\otimes Xv+M\otimes(XAv)+M^T\otimes(A^TXv))\\ =L\otimes v^HXv+M\otimes(v^HXAv)+M^T\otimes(v^HA^TXv)\\ =L\otimes v^HXv+M\otimes(v^HX\lambda v)+M^T\otimes(\lambda^*v^HXv)\\ =\underbrace{v^HXv}_{>0}\underbrace{(L +\lambda M+\lambda^*M^T)}_{<0}<0 \end{array} }$

が成り立つことから出ます。

●必要性（ $\Rightarrow$ ）を示すために、まず $A$ は対角化可能とします。このとき

$\displaystyle{(2)\quad L+\lambda_i M+\lambda_i^*M^T<0\quad (i=1,\cdots,n) }$

ならば、明らかにこれらをブロック対角にもたせた次式が成り立ちます。

$\displaystyle{(3)\quad L\otimes I_n+M\otimes {\rm diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}+M^T\otimes {\rm diag}\{\lambda_1^*,\cdots,\lambda_n^*\}<0 }$

一般に、 $A$ が対角化可能ではないときは、そのジョルダン分解を

$\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} A=TJT^{-1}\\ J={\rm diag}\{J_1,\cdots,J_r\}\\ J_i={\rm diag}\{J(\lambda_i,s_{i1}),\cdots,J(\lambda_i,s_{ir_i})\}\in{\rm\bf R}^{m_i\times m_i}\\ (m_1+\cdots+m_r=n;\ s_{i1}+\cdots+s_{ir_i}=m_i) \end{array} }$

ただし、ジョルダン細胞を

$\displaystyle{(5)\quad J(\lambda,k)=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & 0\\ 0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right]\in{\rm\bf R}^{k\times k} }$

とします。いま

$\displaystyle{(6)\quad T_\epsilon=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \frac{1}{\epsilon} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{\epsilon^{k-1}} \end{array}\right],\ T_\epsilon^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & {\epsilon} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & {\epsilon^{k-1}} \end{array}\right] }$

を用いて

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} T_\epsilon J(\lambda,k)T_\epsilon^{-1}\\ =T_\epsilon \left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & 0\\ 0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & {\epsilon} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & {\epsilon^{k-1}} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \frac{1}{\epsilon} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{\epsilon^{k-1}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} \lambda & \epsilon & & 0\\ 0 & \lambda\epsilon & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \epsilon^{k-1} \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda\epsilon^{k-1} \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc} \lambda & \epsilon & & 0\\ 0 & \lambda & \ddots & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \epsilon \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{array}\right] \end{array} }$

を得ます。したがって、 $A$ の各ジョルダン細胞に対する $T_\epsilon$ をブロック対角に持たせた $\hat{T}_\epsilon$ を用いて

$\displaystyle{(8)\quad \Lambda_\epsilon = \underbrace{\hat{T}_\epsilon T}_{S}A\underbrace{T^{-1}\hat{T}_\epsilon^{-1}}_{S^{-1}} }$

は十分小さな $\epsilon$ に対して対角行列となります。したがって、(3)と同様に次式を得ます。

$\displaystyle{(9)\quad \left.L\otimes I_n+M\otimes \Lambda_\epsilon+M^T\otimes \Lambda_\epsilon^*\right|_{\epsilon\rightarrow0}<0 }$

これから、 $S=\left.\hat{T}_\epsilon T|_{\epsilon\rightarrow0}$ とおき、 $\Lambda_\epsilon=SAS^{-1}$ （ $\Lambda_\epsilon^*=S^{-H}A^TS^H$ ）を用いて

$\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} (I_n\otimes S^H)(L\otimes I_n+M\otimes(SAS^{-1})+M^T\otimes(S^{-T}A^TS^T)(I_n\otimes S)\\ =(I_n\otimes S^H)(L\otimes S+M\otimes(SA)+M^T\otimes(S^{-H}A^TS^HS))\\ =L\otimes \underbrace{S^HS}_{X}+M\otimes(\underbrace{S^HS}_{X}A)+M^T\otimes(A^T\underbrace{S^HS}_{X})<0 \end{array} }$

が成り立ち、必要性が示されたことになります。