LQ制御

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LQ制御…Homework

[1]　可制御な制御対象

\displaystyle{(1)\quad %\left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\quad (x(t)\in{\bf R}^n,u(t)\in{\bf R}^m)\\ %z(t)=Cx(t)&(z(t)\in{\bf R}^q) %\end{array}\right. }

を安定化する状態フィードバック

\displaystyle{(2)\quad u(t)=-Fx(t) }

の決定法を考えます。一つの方法は，閉ループ系

\displaystyle{(3)\quad %\left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=(A-BF)x(t) \\ %z(t)=Cx(t) %\end{array}\right. }

の時間応答に関する評価規範として，２次形式評価関数

(4)\quad \boxed{\begin{array}{l} \displaystyle{J=\int_0^\infty (z^T(t)Qz(t)+u^T(t)Ru(t))\,dt\quad (Q>0,R>0)}\\ \displaystyle{z(t)=Cx(t)\quad (z(t)\in{\bf R}^q)} \end{array}}

を設定し，これを最小化する問題を解くことです。ただし、(A,C)は可観測対とします。これによる状態フィードバックのゲイン行列Fは，リッカチ方程式

\displaystyle{(5)\quad {\boxed{\Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C^TQC=0}} }

の解\Pi>0を用いて，次式で与えられます。

\displaystyle{(6)\quad {\boxed{F=R^{-1}B^T\Pi}} }

この証明はNoteに示しています。

[2]　以下では、代表的な２次系に対して、評価関数を設定して、ゲイン行列Fを求めてみます。その際、リッカチ方程式は４つの解候補を持ちますが、\Pi>0の条件、すなわち

\displaystyle{(7)\quad \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]>0\Leftrightarrow \pi_1>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0 }

を用いて（\pi_2>0）、解を１つに絞ることに注意してください。

●いま２次系（２重積分器）

\displaystyle{(8)\quad \boxed{\left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] u(t)} }

を安定化する状態フィードバックu(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)を，評価関数

\displaystyle{(9)\quad J=\int_0^\infty (x_1^2(t)+x_2^2(t)+u^2(t))\,dt }

を最小にするように求めると

\displaystyle{(10)\quad \boxed{ f_1=1,\quad f_2=\sqrt{3}\right) }}

となります。実際、リッカチ方程式

\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array} }

を要素ごとに整理して

\displaystyle{(12)\quad \left\{ \begin{array}{l} -\pi_3^2+1=0\\ \pi_1-\pi_2\pi_3=0\\ 2\pi_3-\pi_2^2+1=0 \end{array} \right. }

を得る。これは，まず第1式より\pi_3が２つ，つぎに第3式より\pi_2が２つ，さらに第2式より\pi_1が１つ定まり，つぎのように４組の解をもつ。すなわち

\displaystyle{(13)\quad \left\{\begin{array}{llll} \pi_3= 1 & \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \pi_2= \sqrt{3}\\ \pi_2=-\sqrt{3} \end{array}\right. & \left.\begin{array}{l} \Rightarrow\pi_1= \sqrt{3}\\ \Rightarrow\pi_1=-\sqrt{3} \end{array}\right. & \left.\begin{array}{ll} (*) &○\\ (**) &× \end{array}\right. \\ \pi_3=-1 & \Rightarrow \left\{\begin{array}{llll} \pi_2= j \\ \pi_2=-j \end{array}\right. & \hspace{-3mm} \left.\begin{array}{l} \Rightarrow\pi_1=-j\\ \Rightarrow\pi_1=j \end{array}\right. & \left.\begin{array}{ll} (***) &×\\ (****) &× \end{array}\right. \end{array}\right. }

ここで，(*)だけが，\pi_1,\pi_2>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0を満たします。したがって

\displaystyle{(14)\quad \left[\begin{array}{cc} f_1 & f_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3} \end{array}\right] }

例題1　２次系（無定位系）

\displaystyle{(15)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{l} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] %}_{B} \\ y(t)= %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] %}_{C} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array}\right.} }

を安定化する状態フィードバックu(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)を，評価関数

\displaystyle{(16)\quad J=\int_0^\infty (q^2y^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }

を最小にするように求めると

\displaystyle{(17)\quad \boxed{ f_1=\frac{q}{r},\quad f_2=\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q}{r}}\right) }}

また

\displaystyle{(18)\quad J=\int_0^\infty (q_1^2x_1^2(t)+q_2^2x_2^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }

を最小にするように求めると

\displaystyle{(19)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{l} f_1=\frac{q_1}{r} \\ f_2=\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q_1}{r}+ \left(\frac{q_2}{r}\right)^2\left(\frac{\omega_n}{2}\right)^2 }\right) \end{array}\right.} }

例題2　２次系

\displaystyle{(20)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{l} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot x} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] %}_{B} u(t) \\ y(t)= %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] %}_{C} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array}\right.} }

を安定化する状態フィードバックu(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)を，評価関数

\displaystyle{(16)\quad J=\int_0^\infty (q^2y^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }

を最小にするように求めると

\displaystyle{(21)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{l} f_1=-1+\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2}\\ f_2=-\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2}}\right) \end{array}\right.} }

また

\displaystyle{(18)\quad J=\int_0^\infty (q_1^2x_1^2(t)+q_2^2x_2^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }

を最小にするように求めると

\displaystyle{(22)\quad \boxed{\left\{\begin{array}{l} f_1=-1+\sqrt{1+\left(\frac{q_1}{r}\right)^2}\\ f_2=-\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{q_1}{r}\right)^2}+\left(\frac{q_2}{r}\right)^2\left(\frac{\omega_n}{2}\right)^2}\right) \end{array}\right.} }

[3]　計算機でリッカチ方程式解くには、ハミルトン行列と呼ばれる

\displaystyle{(23)\quad \boxed{M=\left[\begin{array}{cc} A & -BR^{-1}B^T \\ C^TQC & -A^T \end{array}\right]} }

を考えます。このハミルトン行列の固有値は、実軸に対称ばかりでなく、虚軸にも対称となるという性質を持っています。これらのうち安定な固有値と対応する固有ベクトルを、次のように求めます。

\displaystyle{(24)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & -BR^{-1}B^T \\ -C^TQC & -A^T \end{array}\right]}_{M(2n\times 2n)} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array}\right]}_{V^-(2n\times n)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array}\right]}_{V^-(2n\times n)} \underbrace{ {\rm diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} }_{\Lambda^-(n\times n)} \end{array} }

これから

\displaystyle{(25)\quad \boxed{\Pi=V_2V_1^{-1}} }

のように求められます。

●ハミルトン行列を経由してリッカチ方程式解くためのコードは次のようになります。

MATLAB 
%opt.m
%---------------------------------------
 function [F,p]=opt(A,B,C,Q,R)
%---------------------------------------
 n=size(A,1);
 w2=R\B';
 [v,p]=eig([A -B*w2;-C'*Q*C -A']);
 p=diag(p);
 [dummy,index]=sort(real(p));
 p=p(index(1:n));
 x=v(1:n,index(1:n));
 y=v(n+1:n+n,index(1:n));
 X=real(y/x);
 F=w2*X;
%---------------------------------------
%eof
SCILAB 
function [F,p]=opt(A,B,C,Q,R)
 w2=R\B';
 [v,p]=spec([A -B*w2;-C'*Q*C -A']); p=diag(p);
 [dummy,index]=gsort(real(p));
 n=size(A,1); j=index(n+1:n+n);
 p=p(j); V1=v(1:n,j); V2=v(n+1:n+n,j);
 X=real(V2/V1); F=w2*X;
endfunction

MATLABでは、関数lqrがリッカチ方程式解くために準備されています。

演習A52…Flipped Classroom

\displaystyle{ (26)\ %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] %}_{B} u(t) }

\displaystyle{ (27)\ %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] %}_{B} u(t) }

Note A52-1 行列による微分　

いま、任意の行列Xの(i,j)要素をx_{ij}=[X]_{ij}で表すとき、スカラ関数fを行列変数Xの各要素で微分して得られる行列を\displaystyle{[\frac{\partial f}{\partial X}]_{ij}=\frac{\partial f}{\partial x_{ij}}}で定義します。このとき、行列のトレースについて、次が成り立ちます。

\displaystyle{(1)\ {\rm tr}AB={\rm tr}BA}
\displaystyle{(2)\ \frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AXB=A^TB^T}
\displaystyle{(3)\ \frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AX^TB=BA}
\displaystyle{(4)\ \frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AXBX^T=A^TXB^T+AXB}

実際、

\displaystyle{(1)\ \sum_{i}[AB]_{ii}=\sum_{i}\sum_{j}a_{ij}b_{ji} =\sum_{j}\sum_{i}b_{ji}a_{ij}=\sum_{j}[BA]_{jj}}

\displaystyle{(2)\ [\frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AXB]_{ij} =\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\sum_{k}[AXB]_{kk} =\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\sum_{k}\sum_{i,j}a_{ki}x_{ij}b_{jk}}
\displaystyle{=\sum_{k}b_{jk}a_{ki}=[BA]_{ji}=[A^TB^T]_{ij}}

\displaystyle{(3)\ [\frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AX^TB]_{ij} =\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\sum_{k}[AX^TB]_{kk} =\frac{\partial}{\partial x_{ij}}\sum_{k}\sum_{i,j}a_{ki}x_{ji}b_{jk}}
\displaystyle{=\sum_{k}b_{ik}a_{kj}=[BA]_{ij}}

\displaystyle{(4)\ \frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AXBX^T =\frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}(AXB)X^T +\frac{\partial}{\partial X}{\rm tr}AX(BX^T)}
\displaystyle{=AXB+A^TXB^T}

Note A52-2 LQ制御問題の解法　

可制御かつ可観測なn次系

\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\ y(t)=Cx(t) }

に対する状態フィードバック

\displaystyle{(2)\quad u(t)=-Fx(t) }

による閉ループ系

\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=(A-BF)x(t),\ z(t)=Cx(t)\\ A_F=A-BF:\ stable\ matrix \end{array} }

に対して、評価関数

\displaystyle{(4)\quad J=\int_0^\infty(z^T(t)Qz(t)+u^T(t)Ru(t))\,dt }

を最小化するようにFを決める問題を考えます。

閉ループ系における状態の振る舞いは次式で与えられます。

\displaystyle{(5)\quad x(t)=\exp({A_Ft})x(0) }

ここで、１次系の場合は初期状態はx(0)\ne0であればよかったのですが、一般の場合はインパルス応答となるようにBの列ベクトルB^{(i)}を考えます。各インパルス応答

\displaystyle{(6)\quad x^{(i)}(t)=\exp({A_Ft})B^{(i)} }

に対する評価関数Jの総和は

(7)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\sum\int_0^\infty x^{(i)}\,^T(t)(C^TQC+F^TRF)x^{(i)}(t)\,dt}\\ \displaystyle{=\sum B^{(i)}\,^T\underbrace{\int_0^\infty \exp(A_F^Tt)(C^TQC+F^TRF)\exp(A_Ft)\,dt}_{\Pi}B^{(i)}}\\ \displaystyle{=\sum B^{(i)}\,^T\Pi B^{(i)}={\rm tr}\ \Pi BB^T} \end{array} }

と書けます。いま\Gammaをラグランジュの未定定数として

\displaystyle{(8)\quad J'={\rm tr}\ \Pi x(0)x^T(0)+{\rm tr}\ ((\Pi A_F+A_F^T\Pi+C^TQC+F^TRF)\Gamma) }

を最小化する問題を考えます。ここで、制約条件は、リャプノフ方程式と呼ばれる

\displaystyle{(9)\quad \Pi A_F+A_F^T\Pi+C^TQC+F^TRF=0 }

ですが、\Pi>0はA_Fが安定行列を意味することに注意します。

そこで、必要条件として次を得ます。

\displaystyle{(11)\quad \frac{\partial J'}{\partial\Pi}&=&BB^T+\Gamma A_F^T+A_F\Gamma=0\Rightarrow \Gamma>0 }
\displaystyle{(12)\quad \frac{\partial J'}{\partial F}&=&2(RF-B^T\Pi)\Gamma=0\Rightarrow F=R^{-1}B^T\Pi }
\displaystyle{(13)\quad \frac{\partial J'}{\partial\Gamma}&=&\Pi A_F+A_F^T\Pi+C^TQC+F^TRF=0 }

ここで、第２式から得られるF=R^{-1}B^T\Piを第３式に代入して

\displaystyle{(14)\quad \begin{array}{l} \Pi (A-BR^{-1}B^T\Pi)+(A-BR^{-1}B^T\Pi)^T\Pi+C^TQ\nonumber\\ +(R^{-1}B^T\Pi)^TRR^{-1}B^T\Pi=0 \end{array} }

すなわち、リッカチ方程式と呼ばれる\Piの行列方程式

\displaystyle{(15)\quad \Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C^TQC=0 }

を得ます。これから\Pi>0を求めて、Fは

\displaystyle{(16)\quad F=R^{-1}B^T\Pi }

のように得られます。このような制御方式をLQ制御と呼びます。

一方、十分性の議論は次のように行われます。まず、被積分項は次のように表すことができます。

\displaystyle{(17)\quad \begin{array}{lll} &&y^TQy+u^TRu=(u+R^{-1}B^T\Pi x)^TR(u+R^{-1}B^T\Pi x)\nonumber\\ &&-\underbrace{\frac{d}{dt}x^T\Pi x}_{2x^T\Pi\dot{x}} \end{array} }

実際、右辺に\dot{x}=Ax+Buを代入し、リッカチ方程式を用いると

\displaystyle{(18)\quad \begin{array}{lll} &&{\rm RHS}=u^TRu+2x^T\Pi Bu+x^T\Pi BR^{-1}B^T\Pi x-2x^T\Pi(Ax+Bu)\nonumber\\ &&=u^TRu+x^T(\Pi A+A^T\Pi+C^TQC)x-2x^T\Pi Ax={\rm LHS} \end{array} }

したがって、上記の両辺を積分して

\displaystyle{(19)\quad J=\int_0^\infty (u+R^{-1}B^T\Pi x)^TR(u+R^{-1}B^T\Pi x)\,dt-\left[x^T\Pi x\right]_0^\infty }

を得ます。ここで、x(t)=\exp(A_Ft)x(0)\rightarrow 0\ (t\rightarrow\infty)を前提とするので

\displaystyle{(20)\quad J=\int_0^\infty (u+R^{-1}B^T\Pi x)^TR(u+R^{-1}B^T\Pi x)\,dt+x^T(0)\Pi x(0) }

を得ます。これからu=-R^{-1}B^T\Pi xが評価関数を最小化することが分かります。

Note A53-3a 例題１(17)の導出　
　
リッカチ方程式

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] q^{2} \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] % \left[\begin{array}{cc} % q_1^2 & 0 \\ % 0 & q_2^2 % \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}} }

を要素ごとに整理して

\displaystyle{(2)\quad \left\{ \begin{array}{l} -r^{-2}\omega_n^4\pi_3^2+q^2=0\\ \pi_1-2\zeta\omega_n\pi_3-r^{-2}\omega_n^4\pi_2\pi_3=0\\ 2\pi_3-4\zeta\omega_n\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2^2=0 \end{array}\right.} }

を得る。まず，第１式より\pi_3が

\displaystyle{(3)\quad \pi_3=\pm r\omega_n^{-2}q }

と求まる。つぎに，第３式より\pi_2は

\displaystyle{(4)\quad \pi_2= %\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a} r^2\omega_n^{-4}(-2\zeta\omega_n\pm\sqrt{(2\zeta\omega_n)^2\pm 2r^{-2}\omega_n^4r\omega_n^{-2}q}) }

となるが，\pi_2>0より

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2r^{-1}q})\\ \pi_3=r\omega_n^{-2}q \end{array} }

でなければならない。さらに，第２式より\pi_1は

\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{l} \pi_1=(2\zeta\omega_n+r^{-2}\omega_n^4r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2r^{-1}q}))r\omega_n^{-2}q\\ =r\omega_n^{-1}q\sqrt{4\zeta^2+ 2r^{-1}q \end{array} }

となる（\pi_1>0）。すなわち(1)の解として

\displaystyle{(7)\quad \left\{\begin{array}{l} \pi_1=r\omega_n^{-1}q\sqrt{2r^{-1}q+4\zeta^2}}\\ \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{2r^{-1}q+4\zeta^2})}\\ \pi_3=r\omega_n^{-2}q} \end{array}\right.} }

を得ます（このとき\pi_1\pi_2-\pi_3^2>0も満足されます）。したがって

\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} f_1 & f_2 \end{array}\right]=r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]=r^{-2}\omega_n^2 \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} \frac{q}{r} & \frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q}{r}}\right) \end{array}\right] \end{array}} }

Note A53-3b 例題１(19)の導出

リッカチ方程式

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{cc} q_1^2 & 0 \\ 0 & q_2^2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}} }

を要素ごとに整理して、上と同様にして導出されます。

Note A52-3c 例題２(21)の導出　

リッカチ方程式

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{ll} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & -\omega_n^2 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] q^2 \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}}

を要素ごとに整理して

\displaystyle{(2)\quad \left\{\begin{array}{l} -2\omega_n^2\pi_3-r^{-2}\omega_n^4\pi_3^2+q^2=0 \\ \pi_1-2\zeta\omega_n\pi_3-\omega_n^2\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2\pi_3=0 \\ 2\pi_3-4\zeta\omega_n\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2^2=0 \end{array}\right.

を得る。まず，第１式より\pi_3が

\displaystyle{(3)\quad \pi_3=r^2\omega_n^{-2}(-1\pm\sqrt{1+r^{-2}q^2}) }

と求まる。つぎに，第３式より\pi_2は

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \pi_2= %\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a} a=r^{-2}\omega_n^4, b=2\zeta\omega_n, c=-2\pi_3 r^2\omega_n^{-4}(-2\zeta\omega_n\pm\sqrt{(2\zeta\omega_n)^2\pm 2r^{-2}\omega_n^4r^2\omega_n^{-2}(-1\pm\sqrt{1+r^{-2}q^2})})\\ =r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta\pm\sqrt{4\zeta^2\pm 2(-1\pm\sqrt{1+r^{-2}q^2})}) \end{array}} }

となるが，\pi_2>0より

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})}\\ \pi_3=r^2\omega_n^{-2}(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2}) \end{array} }

でなければならない。さらに，第２式より\pi_1は

\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{l} \pi_1=(2\zeta\omega_n+r^{-2}\omega_n^4\pi_2)\pi_3+\omega_n^2\pi_2 \\ =(2\zeta\omega_n+r^{-2}\omega_n^4r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})})\\ \times r^2\omega_n^{-2}(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})\\ +\omega_n^2r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})}\\ =r^2\omega_n^{-1}(2\zeta+(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})})(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})\\ +r^2\omega_n^{-1}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})}\\ =r^2\omega_n^{-1}\sqrt{4\zeta^2+ 2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})}(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})\\ +r^2\omega_n^{-1}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2+2(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2})})}\\ =r^2\omega_n^{-1}(-2\zeta+\sqrt{1+r^{-2}q^2}\sqrt{4\zeta^2-2+2\sqrt{1+r^{-2}q^2}}) \end{array} }

となる（\pi_1>0）。すなわち(1)の解として

\displaystyle{(7)\quad \left\{\begin{array}{l} \pi_1=r^2\omega_n^{-1}(-2\zeta+\sqrt{1+r^{-2}q^2} \sqrt{4\zeta^2-2+2\sqrt{1+r^{-2}q^2}}) \\ \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2-2+2\sqrt{1+r^{-2}q^2}}) \\ \pi_3=r^2\omega_n^{-2}(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2}) \end{array}\right.}

を得ます（このとき\pi_1\pi_2-\pi_3^2>0も満足されます）。したがって

\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} f_1 & f_2 \end{array}\right]=r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]=r^{-2}\omega_n^2 \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} -1+\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2} & -\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2}}\right) \end{array}\right] \end{array}} }

Note A52-3d 例題２(22)の導出　

リッカチ方程式

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & -\omega_n^2 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{cc} q_1^2 & 0 \\ 0 & q_2^2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}} }

を要素ごとに整理して、上と同様にして導出されます。

補遺　上述の議論では、次についての検討が必要です。

検討事項１　(9)の妥当性