スイッチング関数(2)

スイッチング関数(2)

[1] 状態方程式とスイッチング関数は次の標準形をとるように座標変換されていると仮定します。

$\displaystyle{(1)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot x_2(t) \end{array}\right] }_{\dot x(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} u(t) }$

$\displaystyle{(2)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} = \underbrace{S_2 \left[\begin{array}{cc} M & I \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} \ (M=S_2^{-1}S_1) }$

このとき、等価制御

$\displaystyle{(3)\quad u_{eq}(t)=-(SB)^{-1}SAx(t) }$

による閉ループ系は次式で表されました。

$\displaystyle{(4)\quad \dot{x}(t)=\underbrace{(I_n-B(SB)^{-1}S)A}_{A_{eq}}x(t)\quad(t\ge t_s) }$

ここで $A$ 、 $B$ 、 $S$ は、(1)と(2)で与えられるとすると

$\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} A_{eq}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -M & 0 \\ \end{array}\right] }_{I_n-B(SB)^{-1}S} \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ -MA_{11} & -MA_{12} \\ \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -M & I \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & A_{12} \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -M & I \\ \end{array}\right]^{-1} \end{array} }$

となって、 $\bar{A}_{11}$ が安定行列なので、 $A_{eq}$ は $m$ 個の零固有値を持ちます。一方、 $A_{eq}$ の非零固有値 $\lambda_i\ (i=1,\cdots,n-m)$ に対応する固有ベクトルを $v_i$ とすると、

$\displaystyle{(6)\quad SA_{eq}=0\Rightarrow SA_{eq}v_i=0\Rightarrow \lambda_iSv_i=0 \Rightarrow Sv_i=0 }$

すなわち

$\displaystyle{(7)\quad { \boxed{S[v_1\cdots v_{n-m}]=0 %　\Rightarrow [v_1\cdots v_{n-m}]^TS^T=0}} }$

が成り立ちます。したがって、まず等価制御による閉ループ系の $A_{eq}$ が望ましい固有値・固有ベクトルをもつように設計して、(7)から $S$ を決定することが考えられます。

● １入力系の場合は固有ベクトル設定の自由度はありませんが、多入力系の場合は固有ベクトルの向きを設定する必要があり、これは元の状態方程式(状態変数の並び)に対して与えます。そこで(7)が元の状態方程式ではどう変わるかを調べておきます。

元の状態方程式

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^n) \end{array} }$

に対する標準形(1)は、適当な直交行列 $T_r$ 座標による座標変換

$\displaystyle{(9)\quad x_{r}(t)=T_rx(t) \Leftrightarrow x(t)=T_r^Tx_r(t) }$

を行って（ $T_r^{-1}=T_r^T$ に注意）

$\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_{r1}(t)\\ \dot{x}_{r2}(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_r(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{r11} & A_{r12} \\ A_{r21} & A_{r22} \\ \end{array}\right] }_{A_r=T_rAT_r^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{r1}(t)\\ x_{r2}(t) \end{array}\right] }_{x_r(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \Sigma_1V^T \end{array}\right] }_{B_r=T_rB} u(t)\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{l} f_{ru}(t,x)\\ f_{rm}(t,x,u) \end{array}\right] }_{f_r(t,x,u)=T_rf(t,x,u)} \end{array} }$

のように得られたものでした。また(2)は次式に

$\displaystyle{(11)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_{r1} & S_{r2} \\ \end{array}\right] }_{S_r=ST_r^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_{r1}(t)\\ x_{r2}(t) \end{array}\right] }_{x_r(t)=T_rx(t)} }$

に、(7)は次式に相当します。

$\displaystyle{(12)\quad S_r[v_{r1}\cdots v_{r,n-m}]=0 }$

いま、元の状態空間での固有ベクトル $v_1\cdots v_{n-m}$ は、座標変換後には

$\displaystyle{(13)\quad Av_i=\lambda_iv_i\Rightarrow T_rAT_r^TT_rv_i=\lambda_iT_rv_i\Rightarrow v_{ri}=T_rv_i }$

に変わることに注意します。(12)から

$\displaystyle{(14)\quad S_rT_rT_r^T[v_{r1}\cdots v_{r,n-m}]=S[v_1\cdots v_{n-m}]=0 }$

を得ます。これから元の状態方程式に対するスイッチング関数と固有ベクトルについても、(12)と同様の関係が成り立つと言えます。すなわち固有ベクトル $v_1\cdots v_{n-m}$ は元の状態空間で与えておいて、(14)から $S$ を決定してよいことがわかります。

演習C41…Flipped Classroom

$1^\circ$ スイッチング関数決定プログラムswfvplを用いて、図1の台車駆動型倒立振子を安定化する次のSMC則を求めよ。

$\displaystyle{{ \boxed{\begin{array}{l} u(t)=\underbrace{u_\ell(t)}_{linear\ control}+\underbrace{u_n(t)}_{switching\ component}\\ u_\ell(t)=-\underbrace{(SB)^{-1}(SA-\Phi S)}_{L=L_{eq}+L_{phi}}x(t) \quad(\Phi:stable\ matrix)\\ u_n(t)=-\underbrace{(SB)^{-1}\rho(t,x)}_{L_n}\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||}\quad(P_2\Phi+\Phi^TP_2=-I) \end{array}}} }$

図1 台車駆動型倒立振子

MATLAB

%cCIP_smc2.m
%-----
 clear all, close all
 global mc m ell g th0
 mc=1; m=0.1; ell=0.2; g=9.8;
 ths=0; %input('ths   = <0,180> ')/180*pi;
 th0=3/180*pi; %input('th(0) = <0,180> ')/180*pi;
%-----
 A=[zeros(2,2) eye(2);zeros(2,4)];
 A(3,1)=0; 
 A(3,2)=-3*m*g/(m+4*mc); 
 A(4,1)=0; 
 A(4,2)=3*(m+mc)*g/((m+4*mc)*ell);  
 B=zeros(4,1);
 B(3)=4/(m+4*mc);
 B(4)=-3/((m+4*mc)*ell); 
 C=diag([100 180/pi])*eye(2,4); 
%-----
 lambda=[-0.8 0.5 -3];
 nocomp=1;
 specpos=rand(4,3)
 specent=rand(4,3)
 S=swfvpl(A,B,lambda,nocomp,specpos,specent)
%-----
 Phi=-0.1;
 P2=0.5*inv(-Phi);
 Check=P2*Phi+Phi*P2
 P2S=P2*S;
 Leq=inv(S*B)*S*A;
 LPhi=-inv(S*B)*Phi*S;
 L=Leq+LPhi;
 rho=0.6;
 Ln=inv(S*B)*rho;
%-----
 x0=[0;th0;0;0];
 sim('CIP_smc_2015a.mdl')
%-----
%eof

Note C41 スイッチング関数決定プログラム２
Edwards and Spurgeon によって、(26)から、スイッチング関数の行列 $S$ を求めるプログラムswfvplが開発されています。

MATLAB

%test_swfvpl.m
%-----
 clear all, close all
 A=[0 1 0;
    0 0 1;
    0 0 0];
 B=[0;
    0;
    1];
%-----
 lambda=[-2 -3];
 nocomp=0;
%固有ベクトルの要素の指定の有無 (１：指定、０：任意)
 specpos=rand(3,3)
%固有ベクトルの要素の値 (０：零指定、１：非零指定、－１：非零任意)       
 specent=rand(3,3) 
 S=swfvpl(A,B,lambda,nocomp,specpos,specent) 
 Leq=inv(S*B)*S*A;
 [V,pl]=eig(A-B*Leq) 
%-----
 lambda=[-1 1];
 nocomp=1;
%固有ベクトルの要素の指定の有無 (１：指定、０：任意)
 specpos=rand(3,3)
%固有ベクトルの要素の値 (０：零指定、１：非零指定、－１：非零任意)       
 specent=rand(3,3) 
 S=swfvpl(A,B,lambda,nocomp,specpos,specent) 
 Leq=inv(S*B)*S*A;
 [V,pl]=eig(A-B*Leq) 
%-----
%eof

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

スイッチング関数(2)