パラメータ変動システム

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パラメータ変動システム…Homework

[1] 　次図のような回転体の運動を考えます。

図1　パラメータ変動システムの例

これは次の運動方程式で表されます。

\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{l} J_1\dot{\omega}_1(t)-\omega_2(t)\Omega(t)(J_2-J_3)=\tau_1(t) \\ J_2\dot{\omega}_2(t)-\omega_1(t)\Omega(t)(J_3-J_1)=\tau_2(t) \end{array}\right. }

ここで、次のパラメータ変動を想定します。

\displaystyle{(2)\quad \Omega_{min}<\Omega(t)<\Omega_{max} }

次の状態方程式を得ます。

\displaystyle{(3) \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\omega}_1(t) \\ \dot{\omega}_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & \Omega(t)\frac{J_2-J_3}{J_1} \\ \Omega(t)\frac{J_3-J_1}{J_2} & 0 \end{array}\right] }_{A(\Omega(t))} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \omega_1(t) \\ \omega_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{J_1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{J_2} \end{array}\right] }_{B} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tau_1(t) \\ \tau_2(t) \end{array}\right] }_{u(t)} }

●いま、\Omega_{min}=0,\Omega_{nom}=2\pi,\Omega_{max}=4\piとして

\displaystyle{(4)\quad \Omega(t)=\Omega_{nom}(1+\sin(2\pi t)) }

のようなパラメータ変動下での零入力応答をシミュレーションしてみます。

図2　パラメータ変動システムの応答シミュレーション例

もしパラメータ変動がない場合はきれいな正弦波となりますから、パラメータ変動がある場合はかなりの動特性の変動が表れています。

演習B01…Flipped Classroom
1^\circ 図2のグラフを描け。

MATLAB 
%lspin.m
%-----
 clear all close all
 J1=1; J2=1; J3=0.5;
 OMnom=2*pi; OMmin=0*OMnom; OMmax=2*OMnom;
 sim("SPIN0")
%-----
 A1=[0 (J2-J3)/J1;(J3-J1)/J2 0];
 B=diag([1/J1 1/J2]); C=eye(2); D=zeros(2,2);
 S0=[zeros(2,2) B;C D];
 S1=zeros(4,4); S1(1:2,1:2)=A1;
 sim("SPIN")
%-----
%eof

図3　SPIN0.slx

Note B01　パラメータ変動システムの応答シミュレーション

このSimulinkブロック線図は

\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=-(1+\sin\omega t)x(t)+u(t)\\ y(t)=x(t) \end{array}\right. }

を次式のように書き換えて、Productを利用したものです。

\displaystyle{(2) \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ y(t) \end{array}\right] = ((1+\sin\omega t)\left[\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]) \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }

それでは演習B01のSPIN.slxはどのように構成すればよいでしょうか？