行列の記法 | 制御系CAD

行列の記法

●実数の集合: ${\rm\bf R}$
●実ベクトル: $x\in{\rm\bf R}^n$
例) $\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x_1\\ x_2 \end{array}\right] }_{x} \in{\rm\bf R}^2$

●実行列: $A\in{\rm\bf R}^{m\times n}$
●サイズ $m\times n$ の行列: $A(m\times n)$
例1) $A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right](fat)$
例2) $A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right](tall)$

●サイズ $m\times n$ の零行列: $0_{m\times n}$
例) $0_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

● $n$ 次の正方行列: $A(n\times n)$
例) $A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]$

● $n$ 次の単位行列: $I_n$
例) $I_2:=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

● $n$ 次の対角行列
例) ${\rm diag}\{d_1,d_2\}:=\left[\begin{array}{cc} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{array}\right]$

以下では、次の行列 $A$ と $B$ を考えます。

$A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]$ ， $B=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]$

●行列の和と差
例) $A\pm B=\left[\begin{array}{cc} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} \\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} \end{array}\right]$

●行列の積
例) $AB=\left[\begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array}\right]$
●一般には、 $AB\ne BA$

●行列のスカラ倍
例) $\alpha A=\left[\begin{array}{cc} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} \end{array}\right]$

●正方行列の $n$ 乗
例) $A^2=A A$

●行列の転置: $A^T$
例) $A^T=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right]$
● $(AB)^T=B^TA^T$

●行列のクロネッカ積
例) $A\bigotimes B = \left[\begin{array}{cc} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array}\right]$

●正方行列のトレース: ${\rm tr} A$
例) ${\rm tr} A=a_{11}+a_{22}$

●正方行列の行列式: $\det A$
例) $\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
● $\det(AB)=\det A\det B$

●正則行列: $\det A\ne0$ を満足する正方行列 $A$
●特異行列: $\det A=0$ を満足する正方行列 $A$
●正則行列 $A$ の逆行列: $AX=XA=I_n$ を満足する正則行列 $X=A^{-1}$
例) $A^{-1}=\frac{1}{\det A} \left[\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right]\ (\det A\ne0)$
● $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

行列の階数

● $not(P\Rightarrow Q)\quad \Leftrightarrow\quad {P\ and\ not(Q)}$
● $P\Rightarrow Q\quad \Leftrightarrow\quad not(Q)\Rightarrow not(P)$

●ベクトル $v_1,v_2$ は線形独立（１次独立）:
$\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=0 \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=0$
●ベクトル $v_1,v_2$ は線形独立でない（１次独立でない）: $\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=0 \quad (\alpha_1\ne0\ or\ \alpha_2\ne0)$

●行列 $A$ の階数: ${\rm rank} A$
列（行）ベクトルのうち線形独立（１次独立）なベクトルの個数
例1) 横長(fat)行列が行フルランク(row full rank)
$\displaystyle{{\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] ={\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] \end{array}\right]}$
例2) 縦長(tall)行列が行フルランク(column full rank)
$\displaystyle{{\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right] ={\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{array}\right] \end{array}\right]}$

●線形方程式（連立１次方程式）: $A(n\times n)x(n\times 1)=b(n\times 1)$
例) $\left\{\begin{array}{cc} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] }_{x} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b_1 \\ b_2 \end{array}\right] }_{b}$
● $A$ が正則行列のとき、 $Ax=b$ の解は $x=A^{-1}b$ として一意に定まります。

●命題１： $\det A\ne0\Leftrightarrow {\rm rank}A=n\ (Ax=0 \Rightarrow x=0)$
この対偶をとって
●命題２： $\det A=0\Leftrightarrow {\rm rank}A<n\ (Ax=0, x\ne0)$

命題１⇒は、次から明らかです。
$\det A\ne0 \Rightarrow (Ax=0\Rightarrow x=A^{-1}0=0)\Rightarrow {\rm rank}A=n$
命題１⇒の逆は、命題２⇒が次のように示されることから出ます。
$\det A=0 \Rightarrow (Ax=0, x\ne0)\Rightarrow {\rm rank}A<n$

●シルベスターの不等式( $n$ は $A$ の列数＝ $B$ の行数)
${\rm rank}A+{\rm rank}B-n\le{\rm rank}AB\le{\rm min}\{{\rm rank}A,{\rm rank}B\}$