6. 定値外乱を抑制する

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これまで，安定性の定義，安定化の可能性とその方策を学んできた。その結果，私たちは，閉ループ系の零入力応答を適切に安定化する，すなわち，ある初期状態から出発して速やかに零状態(平衡状態)にもっていくことはできる。この零入力応答は，適当な強さのインパルス入力に対する零状態応答に等しいことを思い出してほしい。

例えば，一定速度で回転しているモータを考え，これに瞬間的な負荷がかかって，その速度が乱されたとする。このときは，状態フィードバックによってもとの速度に復帰させることができる。しかし，モータで何か対象物を回転させるときは，モータ軸への持続的な負荷が生じ，極端な場合はモータは回転することさえできないであろう。同様に，飛行機，船舶，車などのビークルに強い向い風が吹けば定速を維持することは困難となるであろう。

また，モータやビークルでは，速度の設定値を変えることが制御の大切な役割なのに，そのための手段はまったく学んでいない。

したがって，これまでの知識だけでは多くの現実問題を解くことはできない。実際の問題では，必ずといっていいほど，さまざまな「定値外乱」の影響を受ける状況のもとで，「設定値」の保持や，ときには変更を要求されるからである。このような問題を解決するためには，これまでの制御方式に加えて，まず「積分動作」の導入による構造的な改良が必要となる。本章では，定値外乱の影響の除去や，設定値の変更に対応できるように，積分動作を入れて安定化を行う方策について学ぶ。その安定化にLQ制御を適用するとき，その制御方式を簡潔に表すために「LQI制御」と呼ぶ。

6.1 1次系における定値外乱の影響を抑制する
6.1.1 定値外乱の影響

1章で述べた直流モータの状態方程式(1.11)すなわち

\displaystyle{(1)\quad \dot{\omega}(t)=-\frac{K_TK_E}{JR}\omega(t)+\frac{K_T}{JR}v(t)-\frac{1}{J}\tau_L(t) }

を思い出そう。これは，二つの入力変数v(t),\,\tau_L(t)をもち，印加電圧v(t)は操作できるが，負荷トルク\tau_L(t)は操作できない外乱入力であった。ここで，負荷トルクは時間によらずつねに一定とし，その値は測定できないとする。

以下では，この状況を一般化した次式で表される1次系を考える。

\displaystyle{(2)\quad \dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)+w }

ここで，u(t)は操作変数，wは定値外乱(constant disturbance)と呼ばれる。そのブロック線図を図6.1に示す。

図6.1 外乱入力をもつ1次系

いま，1次系(2)に対して，状態フィードバック

\displaystyle{(3)\quad u(t)=-fx(t) }

を行うと，閉ループ系

\displaystyle{(4)\quad \dot{x}(t)=(a-bf)x(t)+w }

を得る。ここで，a-bf<0とする。この時間応答は

\displaystyle{(5)\quad x(t)=e^{(a-bf)t}x(0)+\int_0^t e^{(a-bf)(t-\tau)}w\,d\tau }

となる。第2項は

\displaystyle{(6)\quad w\left[\frac{1}{-(a-bf)}e^{(a-bf)(t-\tau)}\right]_0^t =\frac{w}{-(a-bf)}(1-e^{(a-bf)t}) }

と計算できるので，a-bf<0を考慮すると次式を得る。

\displaystyle{(7)\quad x(t)\ \rightarrow\ \frac{w}{-(a-bf)} \quad (t\rightarrow\infty) }

すなわち，定値外乱が加わると

\displaystyle{(8)\quad x(t)\ \rightarrow\ 0 \quad (t\rightarrow\infty) }

とはならない。このことをシミュレーション例で確認しよう。

シミュレーション 6.1
1次系\dot{x}(t)=x(t)+u(t)+wの状態フィードバックu(t)=-2x(t)による閉ループ系において，x(0)=1.5，w=1が加わるときの時間応答を，定値外乱がない場合(破線)とともに図6.2に示す。


図6.2 定値外乱の影響

このような定値外乱の影響を取り除くために，式(3)の代わりに

\displaystyle{(9)\quad u(t)=-fx(t)+v(t) }

のような方策を用いる。このときの閉ループ系

\displaystyle{(10)\quad \dot{x}(t)=(a-bf)x(t)+bv(t)+w }

の時間応答は

\displaystyle{(11)\quad x(t)=e^{(a-bf)t}x(0)+\int_0^t e^{(a-bf)(t-\tau)} \underbrace{(bv(t)+w)}_{to be 0} \,d\tau }

となる。これより，外乱を打ち消すように

\displaystyle{(12)\quad v(t)=-\frac{1}{b}w }

と選べば，式(8)を達成できる。しかしながら，wの値は未知としているので，式(12)は実際には使用できない。そこで，どのようにして式(12)の右辺を近似的に作り出すかが問題となる。

図6.2の下に次の問を設定していましたが，紙幅の関係で省略しました。

図6.2で，x(\infty)=-\displaystyle{\frac{w}{a-bf}}であることを確かめなさい。

6.1.2 積分動作を加える

この方法の基礎となるアイデアは

\displaystyle{(13)\quad x_I(t)=\int_0^tx(\tau)\,d\tau \rightarrow constant \quad (t\rightarrow\infty) }

を達成できればx(t)\rightarrow 0 \ (t\rightarrow\infty)が成り立つ，すなわち，積分値が一定値に収束すれば，その被積分項は零に収束するというものである。このように何らかの変数を積分する仕組みのことを，積分動作(integral action)と呼んでいる。

そこで，式(13)を満足するx_I(t)をフィードバックして，定値外乱を打ち消すことが考えられる。すなわち，式(12)の代わりに，v(t)=-f_Ix_I(t)を用いて(f_Iはスケーリングファクタ)，結果的に

\displaystyle{(14)\quad v(t) \rightarrow -\frac{1}{b}w \quad (t\rightarrow\infty) \quad \Leftrightarrow \quad x_I(t) \rightarrow \frac{w}{f_Ib} \quad (t\rightarrow\infty) }

を達成することができないか検討しよう。

まず，式(2)と，式(13)のx_I(t)の定義から得られる積分器(integrator)

\displaystyle{(15)\quad \dot{x}_I(t)=x(t) \quad (x_I(0)=0) }

を合わせて

\displaystyle{(16)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] %}_{A_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} b \\ 0 \end{array}\right] %}_{B_E} u(t) + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ 0 \end{array}\right] }_{w_E} }

を構成する。式(16)に

\displaystyle{(17)\quad u(t)=-fx(t) %\underbrace{ -f_Ix_I(t) %}_{+v(t)} =- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] }_{F_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E(t)} }

を代入すると，閉ループ系は

\displaystyle{(18)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ 0 \end{array}\right] }_{w_E} }

となる。そのブロック線図を図6.3に示す。


図6.3 積分動作を入れる

さて，A_{EF}は安定行列であるとする。式(18)の解は

\displaystyle{(19)\quad x_E(t)=e^{A_{EF}t}{x_E}(0) +\int_0^t e^{A_{EF}(t-\tau)}{w_E}\,d\tau }

となる。ここで，A_{EF}が正則であることに注意して，第2項は

\displaystyle{(20)\quad \left[-e^{A_{EF}(t-\tau)}A_{EF}^{-1}\right]_0^t{w_E} =-(I-e^{A_{EF}t})A_{EF}^{-1}{w_E} }

と計算できるから

\displaystyle{(21)\quad x_E(t)=e^{A_{EF}t}{x_E}(0) -(I-e^{A_{EF}t})A_{EF}^{-1}{w_E} }

と表される。したがって

\displaystyle{(22)\quad x_E(t)\ \rightarrow\ -A_{EF}^{-1}{w_E}\quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。ここで A_{EF}^{-1}= \displaystyle{\frac{1}{bf_I}} \left[\begin{array}{cc} 0 & bf_I \\ -1 & a-bf \end{array}\right]だから

\displaystyle{(23)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \ \rightarrow\ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \displaystyle{\frac{w}{bf_I}} \end{array}\right] \quad (t\rightarrow\infty) }

となり，外乱の影響が抑制されていることと，式(14)が成り立つことが確認できる。また，式(17)からつぎが成り立つ。

\displaystyle{(24)\quad u(t) \ \rightarrow\ -\frac{w}{b} \quad (t\rightarrow\infty) }

シミュレーション6.2
1次系\dot{x}(t)=x(t)+u(t)+wの状態フィードバックu(t)=-3x(t)-x_I(t)による閉ループ系において，x(0)=1，w=1が加わるときの時間応答を図6.4に示す(破線はx_I(t))。


図6.4 定値外乱の抑制

図6.4の下に次の問を設定していましたが，紙幅の関係で省略しました。

図6.4で，x_I(\infty)=\displaystyle{\frac{w}{bf_I}}，u(\infty)=-\displaystyle{\frac{w}{b}}であることを確かめなさい。

また，(19),(20),(21)においe^{A_{EF}t}=\exp(A_{EF}t)であることに注意してください。

6.1.3 設定値を変更する

前節では，定値外乱の加わる1次系

\displaystyle{(25)\quad \dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)+w\quad (b\ne0) }

に対して，制御目的

\displaystyle{(26)\quad x(t)\ \rightarrow\ 0 \quad (t\rightarrow\infty) }

を達成する方法を学んだ。ここでは，任意の定数rに対して，制御目的

\displaystyle{(27)\quad x(t)\ \rightarrow\ r \quad (t\rightarrow\infty) }

を達成する問題を考える。このrを設定値(set value)と呼ぶ（参照(reference)値，目標(target)値，指令(command)値と呼ぶこともある）。


図6.5 外乱を抑制したうえで設定値を変更する

この問題の解決のためには，外乱を抑制するための図6.4を，図6.5に示すように変更すればよい。実際，式(27)をx(t)-r \ \rightarrow\ 0 \quad (t\rightarrow\infty)と書き直してみれば

\displaystyle{(28)\quad \dot{x}_I(t)=x(t)-r \qquad (x_I(0)=0) }

のような積分動作を導入すればよいことに気づくであろう。

式(25)と式(26)を合わせて

\displaystyle{(29)\quad %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] %}_{A_E} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} b \\ 0 \end{array}\right] %}_{B_E} u(t) + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] %}_{w_E} }

を構成する。いま，式(29)に

\displaystyle{(30)\quad u(t)=-fx(t)-f_Ix_I(t) =- %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] %}_{F_E} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} }

を代入すると

\displaystyle{(31)\quad %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] %}_{w_E} }

となる。A_{EF}が安定行列のとき，6.1.2項と同様にして

\displaystyle{(32)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \ \rightarrow\ \underbrace{ \displaystyle{\frac{1}{bf_I}} \left[\begin{array}{cc} 0 & bf_I \\ -1 & a-bf \end{array}\right] }_{A_{EF}^{-1}} \left[\begin{array}{c} -w \\ r \end{array}\right] \quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。この第1行は，x(t)\,\rightarrow\,r\ (t\rightarrow\infty)となっていて，制御目的(27)が成り立つ。また，第2行から

\displaystyle{(33)\quad -f_Ix_I(t)\ \rightarrow\ -\frac{1}{b}w -\frac{a-bf}{b}r \quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。ここで，設定値rは既知だから，第2項はあらかじめフィードフォワードすることができる。この場合の制御方式はつぎのように表される。

\displaystyle{(34)\quad u(t)=-fx(t)+f_I\underbrace{\int_0^t(r-x(\tau))\,d\tau}_{-x_I(t)} +\underbrace{\left(-\frac{a-bf}{b}\right)}_{f_r}r }

また，つぎが成り立つ。

\displaystyle{(35)\quad u(t) \ \rightarrow\ u_\infty=-\frac{1}{b}(w+ar) \quad (t\rightarrow\infty) }

それでは，フィードフォワード項による速応性改善の効果をシミュレーションによって確かめよう。

シミュレーション6.3
1次系\dot{x}(t)=x(t)+u(t)+wの状態フィードバックu(t)=-3x(t)-x_I(t)による閉ループ系において，x(0)=0，w=0のとき，設定値r=1へ追従する様子を図6.6，図6.7に示す(破線はx_I(t))。


図6.6 設定値への追従(フィードフォワードなし)


図6.7 設定値への追従(フィードフォワードあり)

問6.1
図6.6と図6.7で，x_I(\infty)=\displaystyle{\frac{w}{bf_I}+\frac{a-bf}{bf_I}r}，u(\infty)=\displaystyle{-\frac{1}{b}(w+ar)}であることを確かめなさい。

6.2 積分型コントローラ
6.2.1 積分動作を加えた状態フィードバック

次式で表される可制御かつ可観測で，m入力p出力をもつn次系を考える。

\displaystyle{(36)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+w }

\displaystyle{(37)\quad y(t)=C_Mx(t) }

ここで，状態方程式には，操作入力u(t)のほかに，定値外乱wが加わっていること，C行列をC_Mと書いたことに注意する。いま，出力変数の一部やそれらの組合せからなる新しいm個の被制御変数(controlled variables)を

\displaystyle{(38)\quad z(t)=C_Sy(t)=\underbrace{C_SC_M}_{C}x(t) }

のように選び((A,C)は可観測対とする)，定値外乱に無関係に，制御目的

\displaystyle{(39)\quad z(t)\ \rightarrow\ r \quad (t\rightarrow\infty) }

を達成したい。ここで，定数ベクトルrはm個の設定値からなる。もし制御目的(39)が物理的に可能とすると，ある状態x_\inftyと入力u_\inftyが確定し

\displaystyle{(40)\quad \left[\begin{array}{c} -w \\ r \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_\infty \\ u_\infty \end{array}\right] }

の関係を満足しているはずである。したがって，どのようなwとrに対しても，x_\inftyとu_\inftyが定まるように，被制御変数(38)を

\displaystyle{(41)\quad {\rm rank}\, \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S}=n+m }

が成り立つように選ぶものとする。


図6.8 積分動作を加えた状態フィードバックによる閉ループ系

さて，制御目的(39)を達成するために，図6.8に示すような，つぎの積分動作を加えた状態フィードバックを考える。

\displaystyle{(42)\quad u(t)=-Fx(t) -F_I\underbrace{\int_0^t(z(\tau)-r)\,d\tau}_{x_I(t)} }

ここで，第2項は積分動作を表している。このようにx_I(t)を定義すると

\displaystyle{(43)\quad \dot{x}_I(t)=z(t)-r \qquad (x_I(0)=0) }

を得る。式(36)と式(43)を合わせて

\displaystyle{(44)\quad %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] %}_{A_E} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] %}_{B_E} u(t) + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] %}_{w_E} }

を得る。式(44)に，式(42)すなわち

\displaystyle{(45)\quad u(t)=- %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right] %}_{F_E} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} }

を代入すると，閉ループ系は，つぎのように表される。

\displaystyle{(46)\quad %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A-BF & -BF_I \\ C & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] %}_{w_E} }

いま，A_{EF}は安定行列であるとする。このとき，A_{EF}は正則であり，つぎのように書ける。

\displaystyle{(47)\quad A_{EF} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} - \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} F & F_I+I_m \end{array}\right] }

よって，A_{EF}の逆行列は，公式

(P-XQ^{-1}Y)^{-1}=P^{-1}+P^{-1}X(Q-YP^{-1}X)^{-1}YP^{-1}

を用いて

\displaystyle{(48)\quad \begin{array}{ll} A_{EF}^{-1} =& S^{-1}+ S^{-1} \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] \left(I_m- \left[\begin{array}{cc} F & F_I+I_m \end{array}\right] S^{-1} \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] \right)^{-1} \\[5mm] &\times \left[\begin{array}{cc} F & F_I+I_m \end{array}\right] S^{-1} \end{array} }

ここで，\displaystyle{S^{-1} \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 \\ I_m \end{array}\right] } に注意して，整理すると

\displaystyle{(49)\quad A_{EF}^{-1} = \left[\begin{array}{cc} I_n & 0 \\ -F_I^{-1}F & -F_I^{-1} \end{array}\right] S^{-1} }

のように計算される。ところで，式(46)から

\displaystyle{(50)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \ \rightarrow\ A_{EF}^{-1} \left[\begin{array}{c} -w \\ r \end{array}\right] \quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。この第1ブロック行は，式(40)より

\displaystyle{(51)\quad x(t)\ \rightarrow\ \left[\begin{array}{cc} I_n & 0 \end{array}\right] S^{-1} \left[\begin{array}{c} -w \\ r \end{array}\right] =x_\infty \quad (t\rightarrow\infty) }

となって，式(40)の第2ブロック行から制御目的(39)が成り立つ。また，式(50)の第2ブロック行から

\displaystyle{(52)\quad -F_Ix_{I}(t)\ \rightarrow\ \left[\begin{array}{cc} F & I_m \end{array}\right] S^{-1} \left[\begin{array}{c} -w \\ r \end{array}\right] = Fx_\infty+u_\infty \quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。ここで，設定値rは既知だから，rに関係した項\left[\begin{array}{cc} F & I_m \end{array}\right] S^{-1} \left[\begin{array}{c} 0 \\ r \end{array}\right]をフィードフォワードして，速応性を改善できる。すなわち，制御目的(39)を達成する制御方式は

\displaystyle{(53)\quad u(t)=-Fx(t) +F_I\underbrace{\int_0^t(r-z(\tau))\,d\tau}_{-x_I(t)} +F_rr }

のように表され，ここで，F_rはつぎのように決定できる。

\displaystyle{(54)\quad F_r= \left[\begin{array}{cc} F & I_m \end{array}\right] S^{-1} \left[\begin{array}{c} 0 \\ I_m \end{array}\right] }

6.2.2 積分動作を加えたオブザーバベース\,コントローラ

式(42)の代わりに，実際には，状態オブザーバ

\displaystyle{(55)\quad \dot{\hat{x}}(t)=(A-HC_M)\hat{x}(t)+Hy(t)+Bu(t) }

の出力を用いて

\displaystyle{(56)\quad u(t)=-F\hat{x}(t)-F_Ix_I(t) }

を実施することになる。ここでの積分動作を加えたオブザーバベース\,コントローラは，式(56)を式(55)に代入した

\displaystyle{(57)\quad \dot{\hat{x}}(t)=(A-HC_M-BF)\hat{x}(t)-BF_Ix_I(t)+Hy(t) }

と，式(43)を合わせて，つぎのように表される。

\displaystyle{(58)\quad \begin{array}{rl} \left[\begin{array}{c} \dot{\hat{x}}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] =& \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A-HC_M-BF & -BF_I \\ 0(m\times n) & 0(m\times m) \end{array}\right] }_{A_K} \left[\begin{array}{c} \hat{x}(t) \\ x_I(t) \end{array}\right]\\[10mm] &+ \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} H & 0(n\times m)\\ C_S & -I_m \end{array}\right] }_{B_K} \left[\begin{array}{c} y(t) \\ r \end{array}\right] \end{array} }

\displaystyle{(59)\quad u(t)= \underbrace{- \left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right] }_{C_K} \left[\begin{array}{c} \hat{x}(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }

これによる閉ループ系は，式(56)を式(36)に代入した

\displaystyle{(60)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)-BF\hat{x}(t)-BF_Ix_I(t)+w(t) }

と，式(43)，(57)を合わせて

\displaystyle{(61)\quad \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \\ \dot{\hat{x}}(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} A & -BF_I & -BF \\ C & 0 & 0 \\ HC_M & -BF_I & A-HC_M-BF \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w \\ -r \\ 0 \end{array}\right] }

のように表される。そのブロック線図を図6.9に示す。


図6.9積分動作を加えたオブザーバベース\,コントローラによる閉ループ系

いま，閉ループ系(61)に，座標変換

\displaystyle{(62)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ e(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} I_n & 0 & 0 \\ 0 & I_m & 0 \\ -I_n & 0 & I_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] }

を行えば

\displaystyle{(63)\quad \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \\\hline \dot{e}(t) \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} A-BF & -BF_I & -BF \\ C & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & A-HC_M \end{array}\right] }_{ A_{EF}'= \left[\begin{array}{c|c} A_{EF} & - \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] F \\[5mm] \hline 0 & \widehat{A} \end{array}\right] } \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\\hline e(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w \\ -r \\\hline -w \end{array}\right] }

となり，閉ループ系の固有値は，積分動作を加えた状態フィードバックだけの閉ループ系の固有値と状態オブザーバの固有値からなる。

ここで，A_{EF}は安定行列であるとする。このとき，式(63)より

\displaystyle{(64)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\\hline e(t) \end{array}\right] \ \rightarrow\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c|c} A_{EF}^{-1} & -A_{EF}^{-1} \left[\begin{array}{cc} B \\ 0 \end{array}\right] F\widehat{A}^{-1} \\[5mm]\hline 0 & \widehat{A}^{-1} \end{array}\right] }_{A_{EF}'\,^{-1}} \left[\begin{array}{c} -w \\ r \\\hline w \end{array}\right] \quad (t\rightarrow\infty) }

すなわち

\displaystyle{(65)\quad x(t)\ \rightarrow\ x_\infty \quad (t\rightarrow\infty) }

\displaystyle{(66)\quad -F_Ix_{I}(t)\ \rightarrow\ F(x_\infty+e_\infty)+u_\infty \quad (t\rightarrow\infty) }

\displaystyle{(67)\quad e(t)\ \rightarrow\ e_\infty=\widehat{A}^{-1}w \quad (t\rightarrow\infty) }

を得る。したがって，定値外乱が存在するときは状態オブザーバに関して定常偏差が残るにもかかわらず，制御目的(39)が成り立つことがわかる。また，フィードフォーワードゲインF_rは，式(66)の導出過程から，式(54)と同様に決めてよい。


6.3 LQI設計

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これまで，閉ループ系(18)，(31)，(46)，(63)において，A_{EF}は安定行列であるとしていた。ここでは，これを満足させるための具体的手段として，前章で学んだLQ制御を使うことを考えたい。LQ制御の議論における閉ループ系は自励系(入力をもたない系)を前提にしていたが，本章における閉ループ系は入力をもつことに注意が必要である。この前提を満足させるために，定常状態との差をとって得られる偏差系(error system)が用いられる。

制御目的(39)が達成されたとき成り立つ式(40)より

\displaystyle{(68)\quad \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_\infty \\ x_{I\infty} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] u_\infty + \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] }

を得る(x_{I\infty}は定数ベクトル)。まず，(44)から式(68)を引いて，つぎの偏差系を得る。

偏差系E1：
\displaystyle{(69)\quad \frac{d}{dt} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] %}_{x_E(t)-x_{E\infty}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] }_{A_{E1}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] %}_{x_E(t)-x_{E\infty}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E1}} (u(t)-u_\infty) }

この両辺を微分すれば，状態変数の中の定数ベクトルを除くことができて

偏差系E2：
\displaystyle{(70)\quad \frac{d}{dt} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ z(t)-r \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] }_{A_{E2}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ z(t)-r \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E2}} {\dot u}(t) }

を得る。さらに，式(36)と(38)をまとめた

\displaystyle{(71)\quad \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t)-w \\ z(t) \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} \left[\begin{array}{c} x(t) \\ u(t) \end{array}\right] }

から式(40)を引いて，つぎの関係式が成り立つ。

\displaystyle{(72)\quad \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ z(t)-r \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }

これに基づいて，偏差系E2に座標変換を行えば

偏差系E3：
\displaystyle{(73)\quad \frac{d}{dt} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E3}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ I_m \end{array}\right] }_{B_{E3}} {\dot u}(t) }

を得る。ここで，つぎの関係式を用いた。

\displaystyle{(74)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] }_{A_{E2}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E3}} }

\displaystyle{(75)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E2}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ I_m \end{array}\right] }_{B_{E3}} }

\displaystyle{(76)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & I_m \end{array}\right] }_{C_{E2}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C & 0 \end{array}\right] }_{C_{E3}} }

問6.2
(A_{E3},B_{E3})は可制御対であることを示しなさい。

問6.3
(A_{E3},C_{E3})は可観測対であることを示しなさい。

例えば，偏差系E1に対して，状態フィードバック

\displaystyle{(77)\quad u(t)-u_\infty=- \left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }

を用いて，閉ループ系を安定化すれば，A_{EF}= \left[\begin{array}{cc} A-BF & -BF_I \\ C & 0 \end{array}\right]を安定行列とすることができる。これは，偏差系E2に対しても同様である。

以下に，偏差系E3をLQ制御により安定化して，積分動作を加えたオブザーバベース\,コントローラを構成する手順を示す。

アルゴリズム6.1　＜LQI設計＞

入力パラメータ1
A(n\times n),\,B(n\times m),\,C_M(p\times n)
ただし，m\le p，(A,B)は可制御対，(A,C_M)は可観測対

出力パラメータ
A_K(n+m\times n+m),\,B_K(n+m\times p+m),\,C_K(m\times n+m)

ステップ1　被制御変数の決定

\left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right]が正則となるように(C=C_SC_M)，セレクタ行列C_S(m\times p)を決める（一般に，多入力多出力系の場合，どの操作変数でどの被制御変数を制御するのかについて，物理的に実現可能な1対1対応を考えることが重要である。その際，被制御変数はフィードバックされるので観測量の中から選ばれなけばならない）。

ステップ2　偏差系の安定化

偏差系

\displaystyle{(78)\quad \frac{d}{dt} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ I_m \end{array}\right] }_{B_{E}} {\dot u}(t) }

を，状態フィードバック

\displaystyle{(79)\quad {\dot u}(t)=- \left[\begin{array}{cc} K & K_I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }

によるLQ制御で安定化する。その際，評価関数としては

\displaystyle{(80)\quad \int_0^\infty \left( \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right]^T Q_E \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] +{\dot u}^T(t)R_E{\dot u}(t)\right)\,dt }

を用いる。ただし，(A_E,Q_E^{\frac{1}{2}})は可観測対とする。

さらに，FとF_Iを，次式から計算する。

\displaystyle{(81)\quad \left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} K & K_I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right]^{-1} }

ステップ3　オブザーバゲインHの決定

例えば，アルゴリズム5.2のステップ2を用いる。
行列B'を，(A,B')が可制御対となるように選び，重み行列W>0とV>0を指定し

\displaystyle{(82)\quad \Gamma A^T+A\Gamma-\Gamma C_M^TV^{-1}C_M\Gamma+B'WB'^T=0 }

を解いて，\Gamma>0を求め，オブザーバゲインHをつぎのように定める。

\displaystyle{(83)\quad H=V^{-1}C_M\Gamma }

ステップ4　LQIコントローラの構成

C_S，F，F_I，Hから，つぎを構成する。

\displaystyle{(84)\quad \dot{x}_K(t)=A_Kx_K(t)+B_K \left[\begin{array}{c} y(t) \\ r \end{array}\right] }

\displaystyle{(85)\quad u(t)=C_Kx_K(t) }

ただし

\displaystyle{(86)\quad A_K= \left[\begin{array}{cc} A-HC_M-BF & -BF_I \\ 0\,(m\times n) & 0\,(m\times m) \end{array}\right] }

\displaystyle{(87)\quad B_K= \left[\begin{array}{cc} H & 0\,(n\times m)\\ C_S & -I_m \end{array}\right] }

\displaystyle{(88)\quad C_K=- \left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right] }

この積分動作を加えたオブザーバベース\,コントローラを簡潔にLQIコントローラ}(LQI controller)，これによる制御方式をLQI制御(LQ control with integral action)と呼ぶ。

問6.4
式(81)の妥当性について説明しなさい。