5 LQG制御 | 制御系CAD

【本章のねらい】
・１次系，２次系の状態フィードバックの最適設計を，リッカチ方程式を解いて行う。
・リッカチ方程式を解くMファイルを理解し，これを用いて高次系の状態フィードバックの最適設計を行なう。
・オブザーバベースト・コントローラの最適設計を，リッカチ方程式CAREを解いて状態フィードバックを，またリッカチ方程式FAREを解いてオブザーバゲインを求めて行う。

5.1 状態フィードバックの最適設計

可制御な $m$ 入力 $p$ 出力 $n$ 次線形系（ $n$ 次系）

$\displaystyle{(5.1)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)=Cx(t) \end{array}\right. }$

を安定化する状態フィードバック

$\displaystyle{(5.2)\quad u(t)=-Fx(t) }$

の決定法を改めて考える。一つの方法は，閉ループ系

$\displaystyle{(5.3)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=(A-BF)x(t) \\ y(t)=Cx(t) \end{array}\right. }$

の時間応答に関する評価規範として，２次形式評価関数

$\displaystyle{(5.4)\quad \int_0^\infty (x^T(t)C^TQCx(t)+u^T(t)Ru(t))\,dt }$

を設定し，これを最小化する問題を解くことである。ただし， $Q>0$ ， $R>0$ （ $Q$ ， $R$ は正定行列。テキスト「線形システム制御入門」の2.2.3節を参照。），
また， $(A,C)$ は可観測対とする。これによる状態フィードバックのゲイン行列は，リッカチ方程式

$\displaystyle{(5.5)\quad \Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C^TQC=0 }$

の解 $\Pi>0$ を用いて，次式で与えられる。

$\displaystyle{(5.6)\quad F=R^{-1}B^T\Pi }$

まず，１次系の場合を考える。

例題5.1 時定数 $T$ と定常ゲイン $K$ をもつ１次系

$\displaystyle{ \dot{x}(t)=-\frac{1}{T}x(t)+\frac{K}{T}u(t) }$

に対して，評価関数

$\displaystyle{ J=\int_0^\infty(q^2x^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }$

を最小にするように，状態フィードバック $u=-fx$ を決定せよ。
解答　リッカチ方程式

$\displaystyle{ \frac{1}{r^2}(\frac{K}{T})^2\Pi^2-2(-\frac{1}{T})\Pi-q^2=0 }$

の解 $\Pi$ を求めると

$\displaystyle{ \Pi=\frac{(-\frac{1}{T})\pm\sqrt{(-\frac{1}{T})^2-\frac{1}{r^2}(\frac{K}{T})^2(-q^2)}}{\frac{1}{r^2}(\frac{K}{T})^2} =\frac{r^2}{K^2}T\left(-1\pm\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2K^2}\right) }$

$\Pi>0$ より，求めるゲイン $f$ は

$\displaystyle{ f=\frac{1}{r^2}\frac{K}{T}\Pi=\frac{1}{K}\left(-1+\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2K^2}\right) }$

演習5.1　例題5.1において， $T=1$ ， $K=1$ とする。このとき，つぎの重み係数をもつ評価関数を最小にする $f$ を決定せよ。
(1) $q=1, r=1$ ，
(2) $q=1, r=0.5$ ，
(3) $q=1, r=0.1$
また， $x(0)=1$ のとき，閉ループ系の時間応答をMATLABでシミュレーションせよ。

つぎに，２次系の場合を考える。

例題5.2　２次系

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] u(t) }$

を安定化する状態フィードバック $u(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)$ を，評価関数

$\displaystyle{ \int_0^\infty (x_1^2(t)+x_2^2(t)+u^2(t))\,dt }$

を最小にするように求めよ。
解答　リッカチ方程式

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array} }$

を要素ごとに整理して

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} -\pi_3^2+1=0\\ \pi_1-\pi_2\pi_3=0\\ 2\pi_3-\pi_2^2+1=0 \end{array} \right. }$

を得る。これは，まず第1式より $\pi_3$ が２つ，つぎに第3式より $\pi_2$ が２つ，さらに第2式より $\pi_1$ が１つ定まり，つぎのように４組の解をもつ。すなわち

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{llll} \pi_3= 1 & \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \pi_2= \sqrt{3}\\ \pi_2=-\sqrt{3} \end{array}\right. & \left.\begin{array}{l} \Rightarrow\pi_1= \sqrt{3}\\ \Rightarrow\pi_1=-\sqrt{3} \end{array}\right. & \left.\begin{array}{ll} (1) &○\\ (2) &× \end{array}\right. \\ \pi_3=-1 & \Rightarrow \left\{\begin{array}{llll} \pi_2= j \\ \pi_2=-j \end{array}\right. & \hspace{-3mm} \left.\begin{array}{l} \Rightarrow\pi_1=-j\\ \Rightarrow\pi_1=j \end{array}\right. & \left.\begin{array}{ll} (3) &×\\ (4) &× \end{array}\right. \end{array}\right. }$

ここで，(1)だけが， $\pi_1,\pi_2>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ を満たす
（ $\left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]>0\Leftrightarrow \pi_1>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ 。このとき， $\pi_2>0$ 。）。したがって

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} f_1 & f_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3} \end{array}\right] }$

演習5.2　つぎの２次系について，例題5.2と同じ問題設定で解け。

$\displaystyle{ (1)\ %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] %}_{B} u(t) }$

$\displaystyle{ (2)\ %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] %}_{B} u(t) }$

例題5.3　２次系

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] %}_{B} \\ y(t)= %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] %}_{C} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array}\right. }$

を安定化する状態フィードバック $u(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)$ を，評価関数

$\displaystyle{ \int_0^\infty (q^2y^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }$

を最小にするように求めると

$\displaystyle{ f_1=\frac{q}{r},\quad f_2=\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q}{r}}\right) }$

となることを示せ。
解答　リッカチ方程式

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] q^{2} \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right]\\ % \left[\begin{array}{cc} % q_1^2 & 0 \\ % 0 & q_2^2 % \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \nonumber \end{array} }$

を要素ごとに整理して

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} -r^{-2}\omega_n^4\pi_3^2+q^2=0\\ \pi_1-2\zeta\omega_n\pi_3-r^{-2}\omega_n^4\pi_2\pi_3=0\\ 2\pi_3-4\zeta\omega_n\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2^2=0 \end{array}\right. }$

を得る。まず，第１式より $\pi_3$ が

$\displaystyle{ \pi_3=\pm r\omega_n^{-2}q }$

と求まる。つぎに，第３式より $\pi_2$ は

$\displaystyle{ \pi_2= %\frac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a} r^2\omega_n^{-4} (-2\zeta\omega_n\pm\sqrt{(2\zeta\omega_n)^2\pm 2r^{-2}\omega_n^4r\omega_n^{-2}q}) }$

となるが， $\pi_2>0$ より

$\displaystyle{ \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2\pm 2r^{-1}q}) }$

でなければならない。さらに，第２式より $\pi_1$ は

$\displaystyle{ \begin{array}{lll} \pi_1&=&(2\zeta\omega_n+r^{-2}\omega_n^4r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2\pm 2r^{-1}q})) (\pm r\omega_n^{-2}q)\\ &=&\pm r\omega_n^{-2}q\sqrt{4\zeta^2\pm 2r^{-1}q} \end{array} }$

となるが， $\pi_1>0$ より，

$\displaystyle{ \pi_1=r\omega_n^{-1}q\sqrt{2r^{-1}q+4\zeta^2} }$
$\displaystyle{ \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{2r^{-1}q+4\zeta^2}) }$
$\displaystyle{ \pi_3=r\omega_n^{-2}q }$

でなければならない。このとき $\pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ も満足される。したがって

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} f_1 & f_2 \end{array}\right]=r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]=r^{-2}\omega_n^2 \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} \frac{q}{r} & \frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q}{r}}\right) \end{array}\right] \end{array} }$

演習5.3　２次系

$\displaystyle{ %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] %}_{\dot x} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] %}_{A} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] %}_{x} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] %}_{B} u(t) }$

について，例題5.3と同じ問題設定で解くと

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} f_1=-1+\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2}\\ f_2=-\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{q}{r}\right)^2}}\right) \end{array}\right. }$

のように与えられることを示せ。

ちなみに，例題5.3において，評価関数

$\displaystyle{(5.7)\quad \int_0^\infty (q_1^2x_1^2(t)+q_2^2x_2^2(t)+r^2u^2(t))\,dt }$

を最小にするように求めると

$\displaystyle{(5.8)\quad \left\{\begin{array}{l} f_1=\frac{q_1}{r} \\ f_2=\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2+\frac{1}{2}\frac{q_1}{r}+ \left(\frac{q_2}{r}\right)^2\left(\frac{\omega_n}{2}\right)^2 }\right) \end{array}\right. }$

となる。演習5.3においては

$\displaystyle{(5.9)\quad \left\{\begin{array}{l} f_1=-1+\sqrt{1+\left(\frac{q_1}{r}\right)^2}\\ f_2=-\frac{2}{\omega_n}\left(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\left(\frac{q_1}{r}\right)^2}+\left(\frac{q_2}{r}\right)^2\left(\frac{\omega_n}{2}\right)^2}\right) \end{array}\right. }$

となる。これらから重み係数 $q_1$ と $q_2$ の与え方の指針を得ることができる（テキスト「線形システム制御入門」の第５章演習問題【1】参照。また(??)，(??)の導出についてはそれぞれ第５章例題5.1と演習問題【2】参照。）。

さて，リッカチ方程式を計算機を用いて解くときは，ハミルトン行列 $M$ の安定固有値と対応する固有ベクトルを

$\displaystyle{(5.10)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & -BR^{-1}B^T \\ -C^TQC & -A^T \end{array}\right]}_{M(2n\times 2n)} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array}\right]}_{V^-(2n\times n)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \end{array}\right]}_{V^-(2n\times n)} \underbrace{ {\rm diag}\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} }_{\Lambda^-(n\times n)} }$

のように求めて，状態フィードバックゲインを

$\displaystyle{(5.11)\quad F=R^{-1}B^T\underbrace{V_2V_1^{-1}}_{\Pi} }$

によって得る。

例題5.4　リッカチ方程式 $\Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C^TQC=0$ を解き，状態フィードバックゲイン $F=R^{-1}B^T\Pi$ と閉ループ系の固有値 $\lambda(A-BF)$ を求めるMファイル

[F,p]=opt(A,B,C,Q,R)

を準備し，例題5.2を解け。
解答 Mファイル opt.m の作成例をつぎに示す。

%opt.m
function [F,p]=opt(A,B,C,Q,R)
n=size(A,1); w2=R\B’;
[v,p]=eig([A -B*w2;-C’*Q*C -A’]);
p=diag(p); [dummy,index]=sort(real(p)); p=p(index(1:n));
x=v(1:n,index(1:n)); y=v(n+1:n+n,index(1:n));
X=real(y/x);
F=w2*X;

ここで，４行目でハミルトン行列の固有値問題を解き，安定固有値の添字を５行目の index に得て，リッカチ方程式の解 X を得ている。

例題5.2を解くには，MATLABにつぎのコマンドを与えればよい。

%lqr.m
A=[0 1;0 0]; B=[0; 1]; C=[1 0]; Q=1; R=1;
[F,p]=opt(A,B,C,Q,R);

また， p が閉ループ系の固有値 $\lambda(A-BF)$ に等しいことは，

eig(A-B*F)

としてみれば確認できる。

演習5.4　演習5.2を，例題5.4にならって，MATLABで解け。

演習5.5　３次系

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \dot{x}_3(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right] %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} u_1(t) \\ u_2(t) \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c} y_1(t) \\ y_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} \end{array}\right. }$

を安定化する状態フィードバック $u(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)-f_3x_3(t)$ を，つぎの評価関数を最小にするように求めよ。

$\displaystyle{ J=\int_0^\infty(y_1^2(t)+y_2^2(t)+u_1^2(t)+u_2^2(t))\,dt }$

演習5.6　４次系

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \dot{x}_3(t) \\ \dot{x}_4(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}(t)} = \left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right] %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} + \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] u(t) \\ y(t) = \left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \end{array}\right] %}_{x(t)} \end{array}\right. }$

を安定化する状態フィードバック $u(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)-f_3x_3(t)-f_4x_4(t)$ を，つぎの評価関数を最小にするように求めよ。

$\displaystyle{ J=\int_0^\infty(y^2(t)+u^2(t))\,dt }$

5.2 オブザーバベースト・コントローラの最適設計

オブザーバベースト・コントローラによる閉ループ系の時間応答に関する評価するために，つぎのブロック線図を考える。

オブザーバベースト・コントローラによる閉ループ系の評価

ここで，新しい入力 $w$ と $v$ がそれぞれ $W>0$ と $V>0$ の平方根行列（ $X>0(\ge0)$ に対し $YY=X$ を満足する行列 $Y>0(\ge0)$ を $X^{\frac{1}{2}}$ で表す。）
により重み付けられて， $n$ 次系の入力側（ $B'$ を介して）と出力側に設置されている。また新しい出力 $z=C'x$ と入力 $u$ が取り出されており，
それぞれ $Q>0$ と $R>0$ の平方根行列により重み付けられている。

この $n$ 次系

$\displaystyle{(5.12)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+B'W^{\frac{1}{2}}w(t) \\ y(t)=Cx(t)+V^{\frac{1}{2}}v(t)\\ z(t)=C'x(t) \end{array}\right. }$

に対して，オブザーバベースト・コントローラ

$\displaystyle{(5.13)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{x}}(t)=(A-HC-BF)\hat{x}(t)+Hy(t) \\ u(t)=-F\hat{x}(t) \end{array}\right. }$

による閉ループ系は，次式で表される。

$\displaystyle{(5.14)\quad \left\{\begin{array}{rcl} \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ \dot{\hat{x}}(t) \end{array}\right]&=& \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & -BF \\ HC&A-HC-BF \end{array}\right] }_{A_{CL}} \left[\begin{array}{cc} {x}(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] \\ &&+ \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} B'W^{\frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & HV^{\frac{1}{2}} \end{array}\right] }_{B_{CL}} \left[\begin{array}{cc} {w}(t) \\ {v}(t) \end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc} {z'}(t) \\ {u'}(t) \end{array}\right] &=& \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} Q^{\frac{1}{2}}C' & 0 \\ 0 & -R^{\frac{1}{2}}F \end{array}\right] }_{C_{CL}} \left[\begin{array}{cc} {x}(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] \end{array}\right. }$

このインパルス応答行列

$\displaystyle{(5.15)\quad G_{CL}(t)=C_{CL}\exp(A_{CL}t)B_{CL} }$

に関する評価規範として

$\displaystyle{(5.16)\quad J=\int_0^\infty{\rm tr}(G_{CL}^T(t)G_{CL}(t))\,dt }$

を設定し，これを最小化する問題を解くことができる（ ${\rm tr}$ は行列のトレース）。その詳細は割愛するが，
状態フィードバックのゲイン行列 $F$ と状態オブザーバのゲイン行列 $H$ がつぎの手順で決定できる
（この手順はＬＱＧ(Linear Quadratic Gaussian)制御問題の解法と同等である。）。

Step 1　行列方程式

$\displaystyle{(5.17)\quad {\bf CARE}:\ \Pi A+A^T\Pi-\Pi BR^{-1}B^T\Pi+C'^TQC'=0 }$

の解 $\Pi>0$ を求めて，つぎの状態フィードバックのゲイン行列 $F$ を定める。

$\displaystyle{(5.18)\quad F=R^{-1}B^T\Pi }$

Step 2　行列方程式

$\displaystyle{(5.19)\quad {\bf FARE}:\ \Gamma A^T+A\Gamma-\Gamma C^TV^{-1}C\Gamma+B'WB'^T=0 }$

の解 $\Gamma>0$ を求めて，つぎの状態オブザーバのゲイン行列 $H$ を定める。

$\displaystyle{(5.20)\quad H=V^{-1}C\Gamma }$

例題5.5　１次系 $\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)\,(a=0,b=1)$ に対するオブザーバベースト・コントローラを，

$\displaystyle{ {\bf CARE}:\ -r^{-2}b^2\Pi^2+2a\Pi+q^2=0 }$
$\displaystyle{ {\bf FARE}:\ -\rho^{-2}c^2\Gamma^2+2a\Gamma+\sigma^2=0 }$

において $q=1$ ， $r=1$ ， $\sigma=1$ ， $\rho=1$ と選んで構成せよ。
解答　CAREに， $a=0$ ， $b=1$ ， $q=1$ ， $r=1$ を代入して， $\Pi^2=1$ 。 $\Pi>0$ より， $\Pi=1$ 。
したがって，状態フィードバックゲインは， $f=\frac{1}{r^2}b\Pi=1$ 。FAREに， $a=0$ ， $c=1$ ， $\sigma=1$ ， $\rho=1$ を代入して，
$\Gamma^2=1$ 。 $\Gamma>0$ より， $\Gamma=1$ 。したがって，オブザーバゲインは， $h=\frac{1}{\rho^2}c\Gamma=1$ 。
以上から，オブザーバベースト・コントローラが，つぎのように得られる。

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{x}}(t)=(a-hc-bf)\hat{x}(t)+hy(t)=-2\hat{x}(t)+y(t) \\ u(t)=-f\hat{x}(t) =-\hat{x}(t) \end{array}\right. }$

演習5.7　１次系 $\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)\,(a=-1,b=1)$ に対するオブザーバベースト・コントローラを，
例題5.5のCAREにおいて $q=1$ ， $r=1$ ，FAREにおいて $\sigma=1$ ， $\rho=0.2$ と選んで構成せよ。

例題5.6　ＬＱＧ制御則を設計するためのMファイルを作成せよ。

[AK,BK,CK,pK,pcare,pfare] = optobc(A,B,C,CC,Q,R,BB,W,V)

解答　例題5.4で作成したMファイル opt.m を用いる。

%optobc.m
function [AK,BK,CK,pK,pcare,pfare] = optobc(A,B,C,CC,Q,R,BB,W,V)
[F,pcare]=opt(A,B,CC,Q,R);
[H,pfare]=opt(A’,C’,BB’,W,V); H=H’;
AK=A-H*C-B*F; BK=H; CK=F; pK=eig(AK);

演習5.8　演習5.7を，例題5.6で作成したMファイル optobc.m を用いて解け。

演習問題の解答

【演習5.1】
(1) $f=-1+\sqrt{2}$ ，
(2) $f=-1+\sqrt{3}$ ，
(3) $f=-1+\sqrt{11}$ 。

MATLABによるシミュレーションはつぎのように行えばよい。

%lqr1.m
T=1; K=1; a=-1/T; b=K/T; c=1; t=0:0.1:5; x0=1;
s0=ss(a,b,c,0); y0=initial(s0,x0,t);
f1=-1+sqrt(2); s1=ss(a-b*f1,b,c,0); y1=initial(s1,x0,t); u1=-f1*y1;
f2=-1+sqrt(3); s2=ss(a-b*f2,b,c,0); y2=initial(s2,x0,t); u2=-f2*y2;
f3=-1+sqrt(11); s3=ss(a-b*f3,b,c,0); y3=initial(s3,x0,t); u3=-f3*y3;
figure(1),subplot(121),plot(t,y0,t,y1,t,y2,t,y3),grid,title(‘y’)
figure(1),subplot(122),plot(t,u1,t,u2,t,u3),grid,title(‘u’)

【演習5.2】
(1)リッカチ方程式

$\begin{array}{ll} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \\ \times \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$

を要素ごとに整理して

$\left\{ \begin{array}{l} -\pi_3^2+1=0\\ \pi_1-\pi_3-\pi_2\pi_3=0\\ 2(\pi_3-\pi_2)-\pi_2^2=0 \end{array} \right.$

を得る。 $\pi_1>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ を満たす解は， $\pi_1= \sqrt{3},\,\pi_2=-1+\sqrt{3},\,\pi_3=1$ 。
したがって

$F= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & -1+\sqrt{3} \end{array}\right]$
%[f,p]=opt([0 1;0 -1],[0;1],[1 0],1,1)

(2)リッカチ方程式

$\begin{array}{ll} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \\ \times \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$

を要素ごとに整理して

$\left\{ \begin{array}{l} -2\pi_3-\pi_3^2+1=0\\ \pi_1-\pi_2-\pi_2\pi_3=0\\ 2\pi_3-\pi_2^2=0 \end{array} \right.$

を得る。 $\pi_1>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ を満たす解は， $\pi_1= \sqrt{-4+2\sqrt{2}},\,\pi_2=\sqrt{-2+\sqrt{2}},\,\pi_3=-1+\sqrt{2}$ 。したがって

$F= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} -1+\sqrt{2} & \sqrt{-2+\sqrt{2}} \end{array}\right]$
%[f,p]=opt([0 1;-1 0],[0;1],[1 0],1,1)

【演習5.3】
リッカチ方程式

$\begin{array}{ll} \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 & -\omega_n^2 \\ 1 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] \\ \times \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] r^{-2} \left[\begin{array}{cc} 0 & \omega_n^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \pi_1 & \pi_3 \\ \pi_3 & \pi_2 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right] q^2 \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}$

を要素ごとに整理して

$\left\{\begin{array}{l} -2\omega_n^2\pi_3-r^{-2}\omega_n^4\pi_3^2+q^2=0 \\ \pi_1-2\zeta\omega_n\pi_3-\omega_n^2\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2\pi_3=0 \\ 2\pi_3-4\zeta\omega_n\pi_2-r^{-2}\omega_n^4\pi_2^2=0 \end{array}\right.$

を得る。 $\pi_1>0,\ \pi_1\pi_2-\pi_3^2>0$ を満たすものを選ぶと

$\left\{\begin{array}{l} \pi_1=r^2\omega_n^{-1}(-2\zeta+\sqrt{1+r^{-2}q^2} \sqrt{4\zeta^2-2+2\sqrt{1+r^{-2}q^2}}) \\ \pi_2=r^2\omega_n^{-3}(-2\zeta+\sqrt{4\zeta^2-2+2\sqrt{1+r^{-2}q^2}}) \\ \pi_3=r^2\omega_n^{-2}(-1+\sqrt{1+r^{-2}q^2}) \end{array}\right.$

を得る。これらを用いて， $f_1$ と $f_2$ の表現式が，例題??と同様にして得られる。

【演習5.4】
%lqr2.m
A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; C=[1 0]; Q=1; R=1;
[F,p]=opt(A,B,C,Q,R);
sys=ss(A-B*F,B,eye(2,2),0); x0=[1;0];
t=0:0.1:10; x=initial(sys,x0,t)’; y=C*x; u=-F*x;
figure(2),subplot(121),plot(t,y),grid,title(‘y’)
figure(2),subplot(122),plot(t,u),grid,title(‘u’)
(2)の場合，A=[0 1;-1 0] と書き換える。

【演習5.5】
%lqr3.m
A=[0 1 0;0 0 0;0 0 -1]; B=[0 0;1 -1;0 1]; C=[1 0 0;0 0 1];
[F,p]=opt(A,B,C,1,1)

【演習5.6】
%lqr4.m
A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-1 1 0 0;1 -1 0 0]; B=[0;0;1;0]; C=[0 1 0 0];
[F,p]=opt(A,B,C,1,1)

【演習5.7】
CARE: $-\frac{1}{r^2}b^2\Pi^2+2a\Pi+q^2=0$ に， $a=-1$ ， $b=1$ ， $q=1$ ， $r=1$ を代入して， $\Pi^2+2\Pi-1=0$ 。 $\Pi>0$ より $\Pi=-1+\sqrt{2}$ 。
したがって，状態フィードバックゲインは， $f=\frac{1}{r^2}b\Pi=-1+\sqrt{2}$ 。

FARE: $-\frac{1}{\rho^2}c^2\Gamma^2+2a\Gamma+\sigma^2=0$ に， $a=-1$ ， $c=1$ ， $\sigma=1$ ， $\rho=0.2$ を代入して， $25\Gamma^2+2\Gamma-1=0$ 。 $\Gamma>0$ より， $\Gamma=\frac{1}{25}(-1+\sqrt{26})$ 。
したがって，オブザーバゲインは， $h=\frac{1}{\rho^2}c\Gamma=-1+\sqrt{26}$ 。

以上から，オブザーバベースト・コントローラが，つぎのように得られる。

$\left\{\begin{array}{l} \dot{\hat{x}}(t)=(a-hc-bf)\hat{x}(t)+hy(t)=(1-\sqrt{2}-\sqrt{26})\hat{x}(t)+(-1+\sqrt{26})y \\ u(t)=-f\hat{x}(t)=-(-1+\sqrt{2})\hat{x}(t) \end{array}\right.$

【演習5.8】
%lqr5.m
[A