3 状態フィードバックと可制御性

【本章のねらい】
・状態フィードバックを設計する。
・可制御性と可安定性を判定する。

3.1 状態フィードバック

いま制御対象は平衡状態にあるとし，何らかの要因でこれが乱されたとき，適当な手段を用いて，速やかに元の平衡状態に戻したい。そのような手段の一つとして， $m$ 入力 $p$ 出力 $n$ 次元線形系（ $n$ 次系）

$\displaystyle{(3.1)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)=Cx(t) \end{array}\right. }$

に対する状態フィードバック

$\displaystyle{(3.2)\quad u(t)=-Fx(t) }$

を考える。このとき，(3.2)式を(3.1)式に代入して，閉ループ系

$\displaystyle{(3.3)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{(A-BF)}_{A_F}x(t) \\ y(t)=Cx(t) \end{array}\right. }$

を得る。このブロック線図を次に示す。

上の制御目的が達成されるためには，閉ループ系の $A$ 行列，すなわち，行列 $A_F=A-BF$ が安定行列となるように，状態フィードバックのゲイン行列 $F$ を決めればよい。実際，

(3.4)「任意の $x(0)\ne0$ に対して， $x(t)=\exp(A-BF)x(0)\rightarrow 0\ (t\rightarrow\infty)$ 」

が成り立ち，これは平衡状態 $x=0$ に戻ることを意味するからである。

まず，１次系の状態フィードバックの例を考える。

例題3.1　時定数 $T$ と定常ゲイン $K$ をもつ１次系

$\displaystyle{ \dot{x}(t)=-\frac{1}{T}x(t)+\frac{K}{T}u(t) }$

に対して，新しい入力 $v(t)$ をもつ状態フィードバック

$\displaystyle{ u(t)=-\underbrace{\frac{T}{K}(\frac{1}{T'}-\frac{1}{T})}_fx(t)+\underbrace{\frac{T}{K}\frac{K'}{T'}}_gv(t) }$

を行うと閉ループ系の時定数は $T'$ ，定常ゲインは $K'$ となることを示せ。
解答　フィードバック式を状態方程式の $u(t)$ に代入すると，閉ループ系は

$\displaystyle{ \dot{x}(t)=-\frac{1}{T}x(t)+\frac{K}{T}(-\frac{T}{K}(\frac{1}{T'}-\frac{1}{T})x(t)+\frac{T}{K}\frac{K'}{T'}v(t))=-\frac{1}{T'}x(t)+\frac{K'}{T'}v(t) }$

となる。これは時定数 $T'$ と定常ゲイン $K'$ をもつ１次系を表している。

演習3.1　１次系 $\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)$ に対するフィードバック $u(t)=-fx(t)+gv(t)$ を，閉ループ系の時定数が $1/10$ ，定常ゲインが $1$ となるように
定めよ。

演習3.2　例題2.5で得た図上( $t$ – $x$ 平面)に，望ましい閉ループ系の時定数 $T'$ ，定常ゲイン $K'$ を表す点 $(T',K')$ を指定し，ginputを使って読み込み，これを達成するフィードバック $u(t)=-fx(t)+gv(t)$ を定めよ。

つぎに，２次系の状態フィードバックの例を考える。

例題3.2　減衰係数 $\zeta$ と固有角周波数 $\omega_n^2$ をもつ２次系

$\displaystyle{ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] }_{\dot x} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] }_{B} u(t) }$

に対して，新しい入力 $v(t)$ をもつ状態フィードバック

$\displaystyle{ u(t)=- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\omega_n^2}(\omega_n'\,^2-\omega_n^2) & \frac{2}{\omega_n^2}(\zeta'\omega_n'-\zeta\omega_n) \end{array}\right] }_{F} \left[\begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \end{array}\right] +\underbrace{\frac{\omega_n'\,^2}{\omega_n^2}}_Gv(t) }$

を行うと，閉ループ系の減衰係数は $\zeta'$ と固有角周波数は $\omega_n'\,^2$ となることを示せ。
解答　 $u(t)=-Fx(t)+Gv(t)$ を状態方程式 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ に代入すると，閉ループ系は $\dot{x}(t)=(A-BF)x(t)+BGv(t)$ となる。ここで

$\displaystyle{ \begin{array}{lll} &&A-BF= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] - \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]\\ && \times \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\omega_n^2}(\omega_n'\,^2-\omega_n^2) & \frac{2}{\omega_n^2}(\zeta'\omega_n'-\zeta\omega_n) \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n'\,^2 & -2\zeta'\omega_n' \end{array}\right] \end{array} }$

$\displaystyle{ BG= \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] \frac{\omega_n'\,^2}{\omega_n^2} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ \omega_n'\,^2 \end{array}\right] }$

これは減衰係数 $\zeta'$ と固有角周波数 $\omega_n'\,^2$ をもつ２次系を表している。

演習3.3　例題2.6で得た図上( $t$ – $y$ 平面)に，望ましい第１番目のオーバーシュートの頂点の座標 $(T_p',y(T_p'))$ を指定し，ginputを使って読み込み，対応する減衰係数 $\zeta'$ と固有角周波数 $\omega_n'\,^2$ を(2.22)式を使って求め，これを達成するフィードバック $u(t)=-f_1x_1(t)-f_2x_2(t)+gv(t)$ を定めよ。

さて， $n$ 次系に対する状態フィードバックの設計法を考える。まず，１入力系の場合を考え，つぎの条件を仮定する（１入力系の可制御性行列は $n$ 次の正方行列となり，本条件はその正則性を意味する。）。

$\displaystyle{(3.5)\quad {\rm rank} \underbrace{ \left[\begin{array}{cccc} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}\right] }_{controllability\ matrix} =n }$

また，行列 $A$ の固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ ，行列 $A_F=A-BF$ の固有値を $\lambda'_1,\cdots, \lambda'_n$ とするとき，，それぞれの特性多項式を次式で表す。

$\displaystyle{(3.6)\quad {\rm det}(\lambda I_n-A)&=&(\lambda-\lambda_1)\cdots(\lambda-\lambda_n) \nonumber\\ &=&\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n }$

$\displaystyle{(3.7)\quad {\rm det}(\lambda I_n-A_F)&=&(\lambda-\lambda'_1)\cdots(\lambda-\lambda'_n)\nonumber\\ &=&\lambda'\,^n+a'_1\lambda'\,^{n-1}+\cdots+a'_n }$

このとき，閉ループ系の $A$ 行列 $A_F=A-BF$ の固有値を，指定された安定固有値 $\lambda'_1,\cdots, \lambda'_n$ に設定する状態フィードバックのゲイン行列 $F$ は

$\displaystyle{(3.8)\quad \begin{array}{lll} F&=&\left[\begin{array}{cccc} a_n'-a_n & \cdots & a_2'-a_2 & a_1'-a_1 \end{array}\right] \nonumber\\ &\times& \left[\begin{array}{ccccc} a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_1 & 1 \\ a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ a_2 & a_1 & \cdots & 0 & 0 \\ a_1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]^{-1} \nonumber\\ &\times& \left[\begin{array}{cccc} B & AB &\cdots & A^{n-1}B \end{array}\right]^{-1} \end{array} }$

または

$\displaystyle{(3.9)\quad \begin{array}{lll} F&=& \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right] % \nonumber\\ % &\times& \left[\begin{array}{cccc} B & AB &\cdots & A^{n-1}B \end{array}\right]^{-1} \nonumber\\ &\times& (A^n+a'_1A^{n-1}+\cdots+a'_nI_n) \end{array} }$

で与えられる（テキスト「線形システム制御入門」の3.3節参照）。(3.8})式と(3.9})式を比較すると，前者は $A$ の特性多項式の係数の計算を，後者は $A$ のべき乗計算を必要とすることに注意する。

例題3.3　２次系

$\displaystyle{ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B} u(t) }$

に対する状態フィードバック $u=-Fx$ を，行列 $A-BF$ の固有値が，つぎのものとなるように求めよ。
(1) $\lambda'_1=-1,\ \lambda'_2=-2$
(2) $\lambda'_1=-1+j,\ \lambda'_2=-1-j$
解答　 $A$ 行列の特性多項式は

$\displaystyle{ {\rm det}(\lambda I_2-A)= {\rm det}\left[\begin{array}{cc} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right] =\lambda^2+\underbrace{0}_{a_1}\lambda+\underbrace{0}_{a_2} }$

(1) 行列 $A-BF$ の特性多項式は

$\displaystyle{ {\rm det}(\lambda I_2-A+BF)=(\lambda-(-1))(\lambda-(-2))= \lambda^2+\underbrace{3}_{a'_1}\lambda+\underbrace{2}_{a'_2} }$

したがって，ゲイン行列 $F$ は，つぎのように計算される。

$\displaystyle{ F= \left[\begin{array}{cc} 2-0 & 3-0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \end{array}\right] }$

(2) 行列 $A-BF$ の特性多項式は

$\displaystyle{ {\rm det}(\lambda I_2-A+BF)=(\lambda-(-1+j))(\lambda-(-1-j))= \lambda^2+\underbrace{2}_{a'_1}\lambda+\underbrace{2}_{a'_2} }$

したがって，ゲイン行列 $F$ は，つぎのように計算される。

$\displaystyle{ F= \left[\begin{array}{cc} 2-0 & 2-0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \end{array}\right] }$

演習3.4　つぎの２次系に対する状態フィードバック $u=-Fx$ を，閉ループ系の $A$ 行列の固有値が $\lambda'_1=\lambda'_2=-1$ となるように求めよ。
(1) $\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B} u(t)$

(2) $\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}+ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B} u(t)$

最後に多入力をもつ $n$ 次系に対して状態フィードバックのゲイン行列を求めることを考える。 $A-BF$ の固有値 $\lambda'_1,\cdots,\lambda'_n$ に対応する固有ベクトルを $v_1,\cdots,v_n$ とするとき，次式が成り立つ。

$\displaystyle{(3.10)\quad (A-BF)v_i=\lambda'_iv_i\quad (i=1,\cdots,n) }$

ここで

$\displaystyle{(3.11)\quad g_i=Fv_i\quad (i=1,\cdots,n) }$

とおくと

$\displaystyle{(3.12)\quad (A-\lambda'I_n)v_i=Bg_i\quad (i=1,\cdots,n) }$

これから， $F$ を次式で求めることが考えられる。

$\displaystyle{(3.13)\quad \begin{array}{lll} F&=& \left[\begin{array}{cccc} g_1 & \cdots & g_n \end{array}\right] \nonumber\\ &\times& \left[\begin{array}{cccc} (A-\lambda_1'I_n)^{-1}Bg_1 &\cdots & (A-\lambda_n'I_n)^{-1}Bg_n \end{array}\right]^{-1} \end{array} }$

ただし， $\lambda'_1,\cdots,\lambda'_n$ は $A$ の固有値に等しくないとし， $m$ 次元ベクトル $g_1,\cdots,g_n$ は，上の逆行列が存在する範囲で適切に指定するものとする。これから，多入力系の場合，状態フィードバックは，固有値を指定しただけでは，一意に定まらないことがわかる。

例題3.4　２入力２次系

$\displaystyle{ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}+ \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] }_{B} u(t) }$

に対するつぎの状態フィードバックによる閉ループ系おける行列 $A-BF$ の固有値を求めよ。

(1) $u(t)=- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] }_{F} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}$

(2) $u(t)=- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{array}\right] }_{F} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}_1(t) \\ {x}_2(t) \\ \end{array}\right] }_{{x}(t)}$
解答
(1) 閉ループ系における行列 $A-BF$ は

$A-BF=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right]$

この特性多項式は

${\rm det}( \lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -3 \end{array}\right] ) ={\rm det} \left[\begin{array}{cc} \lambda+2 & 0 \\ 0 & \lambda+3 \end{array}\right]=(\lambda+2)(\lambda+3)$

したがって，行列 $A-BF$ の固有値は， $-2,-3$ 。

(2) 閉ループ系の $A$ 行列は

$A-BF=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right]$

この特性多項式は

${\rm det}( \lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} -2 & 2 \\ 0 & -3 \end{array}\right] ) ={\rm det} \left[\begin{array}{cc} \lambda+2 & -2 \\ 0 & \lambda+3 \end{array}\right]=(\lambda+2)(\lambda+3)$

したがって，行列 $A-BF$ の固有値は， $-2,-3$ 。

演習3.5　例題3.4の２つの状態フィードバックは，公式(3.13})において

(1) $\left[\begin{array}{cc} g_1 & g_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array}\right]$

(2) $\left[\begin{array}{cc} g_1 & g_2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array}\right]$

と指定して得られることを，MATLABを用いて確かめよ。

3.2 可制御性と可安定性

どのような $n$ 次系に対しても，閉ループ系を安定化をする状態フィードバックが求まるわけではない。その条件を可安定性という。また，(3.6})は，可安定性の十分条件である可制御性の条件として知られている。これらの定義と等価な条件をまとめておく（テキスト「線形システム制御入門」の定理3.5，定理3.6参照）。

【可安定性の定義とその等価な条件】
定義S0:　状態フィードバックにより安定化可能
条件S1:　 ${\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n$ ( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)
条件S2:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ ( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

これらの条件の一つが成り立つとき $n$ 次系は可制御， $(A,B)$ は可制御対という。

【可制御性の定義とその等価な条件】
定義C0:　任意初期状態を，任意有限時間内に，任意状態に移動可能
条件C1:　 $\displaystyle{\int_0^t \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau>0 \quad (\forall t>0)}$
条件C2:　 ${\rm rank}\, \underbrace{ \left[\begin{array}{cccc} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}\right] }_{controllability\ matrix} =n$
条件C3:　 $F$ を選んで， $A-BF$ の固有値を任意に設定可能
条件C4:　 ${\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)
条件C5:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

これらの条件の一つが成り立つとき $n$ 次系は可制御， $(A,B)$ は可制御対という。

例題3.5　つぎの $A$ 行列と $B$ 行列をもつ２次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可制御性を，可制御性行列の階数を求めて判定せよ。

(1) $A= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] ,\ B= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]$

(2) $A= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] ,\ B= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right]$

(3) $A= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] ,\ B= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]$

解答
(1) 可制御性行列は， $\left[\begin{array}{cc} B & AB \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$ である。この階数は２で，システムの次数２と等しい。したがって，この２次系は可制御である。

(2) 可制御性行列は， $\left[\begin{array}{cc} B & AB \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$ である。この階数は１で，システムの次数２と等しくない。したがって，この２次系は可制御でない。

(3) 可制御性行列は， $\left[\begin{array}{cc} B & AB \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$ である。この階数は２で，システムの次数２と等しい。したがって，この２次系は可制御である。

演習3.6　つぎの $A$ 行列と $B$ 行列をもつ３次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可制御性を，可制御性行列の階数を求めて判定せよ。

(1) $A= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right] ,\ B= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]$

(2) $A= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] ,\ B= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

MATLABを用いて可制御性を判定するには，たとえば例題3.5(3)の $A$ 行列と $B$ 行列に対しては，つぎのコマンドを与えればよい（tolは零判定基準でデータの誤差を考慮して決める。省略すればデフォルト値が用いられる。）。

%controllability_check.m
A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; n=size(A,1); r=eig(A), tol=0.01;
for i=1:n, rank([B A-r(i)*eye(n)],tol)==n, end

ここで，４行目の結果がすべて真であれば，可制御である。

演習3.7　上のコマンドを用いて演習3.6の $A$ 行列と $B$ 行列をもつ３次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可制御性を判定せよ。

例題3.6　例題3.5の $A$ 行列と $B$ 行列をもつ２次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可安定性を判定せよ。
解答
(1) $A$ 行列の固有値は $\lambda_1=\lambda_2=0$ 。ともに不安定固有値。

${\rm rank} \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda_i I_2 \end{array}\right]= {\rm rank} \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right]= 2\ \ (i=1,2)$

したがって，この２次系は可安定である。

(2) $A$ 行列の固有値は $\lambda_1=\lambda_2=0$ 。ともに不安定固有値。

${\rm rank} \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda_i I_2 \end{array}\right]= {\rm rank} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]= 1\ \ (i=1,2)$

したがって，この２次系は可安定ではない。

(3) $A$ 行列の固有値は $\lambda_1=0,\ \lambda_2=-1$ 。 $\lambda_1$ のみ不安定固有値。

${\rm rank} \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda_1 I_2 \end{array}\right]= {\rm rank} \left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]= 2$

したがって，この２次系は可安定である。

演習3.8　演習3.6の $A$ 行列と $B$ 行列をもつ３次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可安定性を判定せよ。

MATLABを用いて可安定性を判定するには，たとえば例題3.5(3)の $A$ 行列と $B$ 行列に対しては，つぎのコマンドを与えればよい。

%stabilizability_check.m
A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; n=size(A,1); r=eig(A), tol=0.01;
for i=1:n
if real(r(i))>=0, rank([B A-r(i)*eye(n)],tol)==n, end
end

演習3.9　上のコマンドを用いて演習3.6の $A$ 行列と $B$ 行列をもつ３次系 $\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$ の可安定性を判定せよ。

演習問題の解答

演習3.1　 $T=1,K=1$ ， $T'=1/10,K'=1$ より， $f=\frac{1}{1}(\frac{1}{1/0.1}-\frac{1}{1})=9$ ， $g=\frac{1}{1}\frac{1}{0.1}=10$ 。

演習3.2　たとえば，つぎのMファイルを実行すればよい。

%sf1.m
T1=1; K1=1; a1=-1/T1; b1=K1/T1; sys1=ss(a1,b1,1,0);
t=0:0.1:5; step(sys1,t); x=ginput(1); T2=x(1); K2=x(2);
f=T1/K1*(1/T2-1/T1); g=T1/K1*K2/T2;
a2=a1-b1*f; b2=b1*g; sys2=ss(a2,b2,1,0);
hold on, step(sys2,t)

演習3.3　たとえば，つぎのMファイルを実行すればよい。

%sf2.m
w1=1; z1=0.01; A1=[0 1;-w1^2 -2*z1*w1],; B1=[0;w1^2]; C=[1 0];
sys1=ss(A1,B1,C,0);
t=0:0.05:10; step(sys1,t); x=ginput(1); Tp=x(1); p0=x(2)-1;
w2=sqrt(log(p0)^2+pi^2)/Tp; z2=sqrt(log(p0)^2/(log(p0)^2+pi^2));
Kp=(w2^2-w1^2)/w1^2, Kd=(2/w1^2)*(z2*w2-z1*w1)
F=[Kp Kd]; G=w2^2/w1^2;
A2=A1-B1*F; B2=B1*G; sys2=ss(A2,B2,C,0);
hold on, step(sys2,t)

演習3.4　行列 $A-BF$ の特性多項式は

${\rm det}(\lambda I_2-A+BF)=(\lambda-(-1))^2= \lambda^2+\underbrace{2}_{a'_1}\lambda+\underbrace{1}_{a'_2}$

(1) $A$ 行列の特性多項式は
${\rm det}(\lambda I_2-A)= {\rm det}\left[\begin{array}{cc} \lambda & -1 \\ 0 & \lambda+1 \end{array}\right] =\lambda(\lambda+1) =\lambda^2+\underbrace{1}_{a_1}\lambda+\underbrace{0}_{a_2}$

したがって，ゲイン行列 $F$ は，つぎのように計算される。

$F= \left[\begin{array}{cc} 1-0 & 2-1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \end{array}\right]$

(2) $A$ 行列の特性多項式は

${\rm det}(\lambda I_2-A)= {\rm det}\left[\begin{array}{cc} \lambda & -1 \\ 1 & \lambda \end{array}\right] =\lambda^2+1 =\lambda^2+\underbrace{0}_{a_1}\lambda+\underbrace{1}_{a_2}$

したがって，ゲイン行列 $F$ は，つぎのように計算される。

$F= \left[\begin{array}{cc} 1-1 & 2-0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} =\left[\begin{array}{cc} 0 & 2 \end{array}\right]$

演習3.5　たとえば，つぎのMファイルを実行すればよい。

%sf_minputs.m
A=[0 0;0 -1]; B=[1 1;1 -1]; r1=-2; r2=-3;
disp(‘(1)’), X1=[1 1;1 -1];
V1=[((A-r1*eye(2))\B)*X1(:,1) ((A-r2*eye(2))\B)*X1(:,2)];
F1=X1/V1, AF1=A-B*F1, ev1=eig(AF1)
disp(‘(2)’), X2=[1 1;1 2];
V2=[((A-r1*eye(2))\B)*X2(:,1) ((A-r2*eye(2))\B)*X2(:,2)];
F2=X2/V2, AF2=A-B*F2, ev2=eig(AF2)

演習3.6

(1) 可制御性行列は，
$\left[\begin{array}{ccc} B & AB & A^2B \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$ 。この階数は２で，システムの次数３より小さい。したがって，この３次系は不可制御である。

(2) 可制御性行列は，
$\left[\begin{array}{ccc} B & AB & A^2B \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 &-1 &-1 & 1\\ 1 &-1 &-1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right]$ 。この階数は３で，システムの次数３と等しい。
したがって，この３次系は可制御である。

演習3.7　Mファイル{\tt controllability\_check.m}のデータ{\tt A,B}の定義を次のように書き換える。

(1) A=[0 1 0;0 -1 1;0 0 -1]; B=[0;1;0];
(2) A=[0 1 0;-1 -1 0;0 0 2]; B=[0 0;1 -1;0 1];

演習3.8
(1) $A$ 行列の固有値は $\lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=-1$ 。 $\lambda_1$ のみ不安定固有値。

${\rm rank} \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda_1 I_3 \end{array}\right]= {\rm rank} \left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right]= 3$

したがって，この３次系は可安定である。

(2) $A$ 行列の固有値は $\lambda_1,\lambda_2=(-1\pm j\sqrt{3})/2,\ \lambda_3=2$ 。 $\lambda_3$ のみ不安定固有値。\\

${\rm rank} \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda_3 I_3 \end{array}\right]= {\rm rank} \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right]= 3$

したがって，この３次系は可安定である。

演習3.9　Mファイル{\tt stabilizability\_check.m}のデータ{\tt A,B}の定義を，次のように書き換える。

(1) A=[0 1 0;0 -1 1;0 0 -1]; B=[0;1;0];
(2) A=[0 1 0;-1 -1 0;0 0 2]; B=[0 0;1 -1;0 1];

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

3 状態フィードバックと可制御性