演習

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[1] 次の値を計算せよ。

1^\circ\ 1-\frac{1}{e}
2^\circ\ \cos^{-1}(-1)

[2] 次の関数のグラフを描け。

p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\quad(-3\le x\le 3)

[3] つぎの行列Mの逆行列M^{-1}を計算し、MM^{-1}=I_2を確認せよ。

M=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]

[4] 次のA行列の固有値を計算せよ。{\rm det}(sI_2-A)=0を解け。

A=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-\omega_n^2&-2\zeta\omega_n\end{array}\right]

[5] \dot{x}=Ax+Buにおいて、A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]、B=\left[\begin{array}{cc}5\\6\end{array}\right]のとき、A-BFの固有値が{-1,-2}となるように状態フィードバックu=-Fxを、次式によって定めよ。また、その妥当性をA-BFの固有値を計算して確かめよ。

    \[F=[a_2'-a_2,a_1'-a_1]\left[\begin{array}{cc}a_1&1\\1&0\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{cc}B&AB\end{array}\right]^{-1}\]

ヒント：多項式p(s)=s^2+a_1s+a_2の係数a_1とa_2はそれぞれcoeff(p,s,1)とcoeff(p,s,0)で与えられる。

[6] 次の倒立振子の運動方程式を導き、状態空間表現を導け。