モデル規範・追従SM-OBS制御

モデル規範・SMオブザーバベース・追従SM制御…Homework

[1]　次の状態方程式で表される制御対象を考えます。

$\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u)\quad(x(t)\in{\rm\bf R}^n) }$

この状態が理想的なモデル

$\displaystyle{(2)\quad \boxed{\dot{w}(t)=A_mw(t)+B_mr(t)}\quad(w(t)\in{\rm\bf R}^n) }$

の状態を追従するように、すなわち

$\displaystyle{(3)\quad e_x(t)=x(t)-w(t)\rightarrow 0 \quad(t\rightarrow\infty) }$

となるように制御則を決定したいとします。

以下では、(2)は適当な安定化状態フィードバックと入力変換を行って

$\displaystyle{(4)\quad \boxed{\begin{array}{l} A_m=A+BL_x\\ B_m=BL_r \end{array}} }$

のように得られていると仮定します。

●モデル間の誤差は、(1)と(2)を辺々引き算して

$\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\dot{x}(t)-\dot{w}(t)}_{\dot{e}_x(t)} =Ax(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u)-(A_mw(t)+B_mr(t))\\ =Ax(t)-A_mx(t)+A_mx(t)-A_mw(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u)-B_mr(t)\\ =A_me_x(t)+(A-A_m)x(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u)-B_mr(t) \end{array} }$

に従います。これは(4)を用いて次式となります。

$\displaystyle{(6)\quad \dot{e}_x(t)=A_me_x(t)+B(u(t)-L_xx(t)-L_rr(t)+\xi(t,x,u)) }$

●出力方程式は次式で与えられるとします。

$\displaystyle{(7)\quad y(t)=Cx(t) }$

状態フィードバックは使えないので、次のSMオブザーバを考えます。

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \dot{z}(t)=Az(t)+Bu(t)-G \overbrace{C\underbrace{(z(t)-x(t))}_{e(t)}}^{e_y(t)=Cz(t)-y(t)}+B\nu_o\quad(z(t)\in{\rm\bf R}^n)\\ =\underbrace{(A-GC)}_{A_o}z(t)+Gy(t)+Bu(t)+B\nu_o \end{array} }$

ここで、 $G$ は $A_o=A-GC$ が安定行列となるように選ばれているとします。

SMオブザーバの誤差方程式は、(1)と(7)を辺々引き算して

$\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\dot{z}(t)-\dot{x}(t)}_{\dot{e}(t)} =Az(t)+Bu(t)-G Ce(t)+B\nu_o\\ -(Ax(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u))\\ =Ae(t)-GCe(t)+B\nu_o-B\xi(t,x,u)\\ =\underbrace{(A-GC)}_{A_o}e(t)+B(\nu_o-\xi(t,x,u)) \end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(9')\quad \boxed{\dot{e}(t)=A_oe(t)+B(\nu_o-\xi(t,x,u))} }$

となります。いま

$\displaystyle{(10)\quad PA_o+A_o^TP<0 }$

を満足する $P>0$ と、ある $F\in{\bf R}^{m\times p}$ に対して

$\displaystyle{(11)\quad PB=C^TF^T }$

が満足されているものとします。このとき、 $\nu_o$ は次式で与えます。

$\displaystyle{(12)\quad \boxed{\nu_o=-\rho_o(u_\ell,y)\frac{Fe_y(t)}{||Fe_y(t)||} }$

ただし

$\displaystyle{(12')\quad Fe_y(t)=FCe(t)=B^TPe(t)\quad(Ce(t)=Cz(t)-y(t)) }$

[2]　SMオブザーバ(8)の状態（(1)の状態の推定値）をモデル(2)の状態を追従させることを考えます。そのために次の制御則を考えます。

$\displaystyle{(13)\quad u(t)=L_xz(t)+L_rr(t)+\bar{u}(t) }$

このとき、この場合のモデル間の誤差は、(8)と(2)を辺々引き算して

$\displaystyle{(14)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\dot{z}(t)-\dot{w}(t)}_{\dot{e}_z(t)} =Az(t)+Bu(t)-G Ce(t)+B\nu_o-(A_mw(t)+B_mr(t))\\ =Az(t)-A_mz(t)+A_mz(t)-A_mw(t)-G Ce(t)+B\nu_o\\ +Bu(t)+B\xi(t,x,u)-B_mr(t)\\ =A_me_z(t)+\underbrace{(A-A_m)}_{-BL_x}z(t)-G Ce(t)+B\nu_o\\ +B(L_xz(t)+L_rr(t)+\bar{u}(t))+B\xi(t,x,u)-\underbrace{B_m}_{BL_r}r(t)\\ =A_me_z(t)+B\bar{u}(t)-G Ce(t)+B(\xi(t,x,u)+\nu_o) \end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(14')\quad \dot{e}_z(t)=A_me_z(t)-G Ce(t)+B(\bar{u}+\xi(t,x,u)+\nu_o) }$

に従います。これに対して、スライディングモード制御

$\displaystyle{(15)\quad \bar{u}(t)=u_\ell(t)+\nu_c }$

を適用することを考えます。スイッチング関数は

$\displaystyle{(16)\quad s(t)=Se_z(t) }$

とします。これはスイッチング関数(1)またはスイッチング関数(2)の方法で選定します。

●線形制御部を、次式のように決めます。

$\displaystyle{(17)\quad \boxed{u_\ell(t)=-\underbrace{(SB)^{-1}(SA_m-\Phi S)}_{L}e_z(t)} }$

また、スイッチング部を、次式のように決めます。

$\displaystyle{(18)\quad \boxed{\nu_c=-\underbrace{(SB)^{-1}\rho_c(u_\ell,y)}_{L_n} \frac{\bar{P}_2s(t)}{||\bar{P}_2s(t)||} }$

ここで、 $P_2>0$ は適当な安定行列 $\Phi$ を与えて

$\displaystyle{(19)\quad \bar{P}_2\Phi+\Phi^T\bar{P}_2<0 }$

の解として求め、また、次の関係を満たすものとします。

$\displaystyle{(20)\quad \boxed{\rho_c(u_\ell,y)=||SB||\rho_o(u_\ell,y)+\gamma_c} }$

●(15),(18)を(14′)に代入して、モデル間の誤差は

$\displaystyle{(21)\quad \begin{array}{l} \dot{e}_z(t)=A_me_z(t)-G Ce(t)+B(u_\ell(t)+\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ =A_me_z(t)-G Ce(t)+B(-Le_z(t)+\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ =\underbrace{(A_m-BL)}_{A_c}e_z(t)-G Ce(t)+B(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o) \end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(21')\quad \boxed{\dot{e}_z(t)=A_ce_z(t)-G Ce(t)+B(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o) }$

に従います。

[3]　以下では、状態方程式は次のSM標準形をとるように座標変換されているとします。

$\displaystyle{(22)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot x_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} (u(t)+\xi(t,x,u)) }$

これに応じて、スイッチング関数(16)を

$\displaystyle{(23)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ e_{z2}(t) \end{array}\right] }_{x(t)} = \underbrace{S_2 \left[\begin{array}{cc} M & I_m \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ e_{z2}(t) \end{array}\right] }_{x(t)} \ (M=S_2^{-1}S_1) }$

と分割します。

(21)は、 $A_m=A+BL_x$ と $L=(SB)^{-1}(SA_m-\Phi S)$ に注意して

$\displaystyle{(24)\quad \begin{array}{l} \dot{e}_z(t)=(A+BL_x-B(SB)^{-1}(S(A+BL_x)-\Phi S))e_z(t)\\ -G Ce(t)+B(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ =(A-B(SB)^{-1}SA+BL_x-B(SB)^{-1}(SB)L_x+B(SB)^{-1}\Phi S)e_z(t)\\ -G Ce(t)+B(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ =\underbrace{(A-B(SB)^{-1}(SA-\Phi S))}_{A_c}e_z(t) -G Ce(t)+B(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ \end{array} }$

となります。これに対して座標変換

$\displaystyle{(25)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right]}_{\bar{e}_z(t)}= \underbrace{\left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0_{n\times m} \\ S_1 & S_2 \\ \end{array}\right]}_{\bar T} \underbrace{\left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ e_{z2}(t) \end{array}\right]}_{e_z(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{\left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ e_{z2}(t) \end{array}\right]}_{e_z(t)}= \underbrace{\left[\begin{array}{cc} I_{n} & 0_{n\times m} \\ -M & S_2^{-1} \\ \end{array}\right]}_{\bar{T}^{-1}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right]}_{\bar{e}_z(t)}\quad(M=S_2^{-1}S_1) \end{array} }$

を行うと、まず(25)を(24)に代入して

$\displaystyle{(26)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -M & S_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{\bar{T}^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot e_{z1}(t)\\ \dot s(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{e}}_z(t)}\\ = (\left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] - \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] (\left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right])^{-1}\\ \times(\left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] -\Phi \left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \\ \end{array}\right]) ) \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -M & S_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{\bar{T}^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{e}_z(t)}\\ -G Ce(t)+\left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right](\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o) \end{array} }$

左から $\bar{T}$ をかけて

$\displaystyle{(27)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot e_{z1}(t)\\ \dot s(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{e}}_z(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ S_1 & S_2 \\ \end{array}\right] }_{\bar{T}} (\left[\begin{array}{cc} A_{11}-A_{12}M & A_{12}S_2^{-1} \\ A_{21}-A_{22}M & A_{22}S_2^{-1} \\ \end{array}\right] -\left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right](S_2B_2)^{-1}\\ \times(\left[\begin{array}{cc} S_1 & S_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} A_{11}-A_{12}M & A_{12}S_2^{-1} \\ A_{21}-A_{22}M & A_{22}S_2^{-1} \\ \end{array}\right] -\Phi \left[\begin{array}{cc} 0 & I_m \\ \end{array}\right]) ) \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{e}_z(t)}\\ -\underbrace{\bar{T}G}_{\bar{G}} Ce(t) +\underbrace{\left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ S_1 & S_2 \\ \end{array}\right]}_{\bar{T}} \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right](\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ = (\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22}\\ \end{array}\right] -\left[\begin{array}{c} 0\\ S_2B_2 \end{array}\right](S_2B_2)^{-1}\\ \times(\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22}\\ \end{array}\right] -\Phi \left[\begin{array}{cc} 0 & I_m \\ \end{array}\right]) ) \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{e}_z(t)}\\ -\bar{G} Ce(t)+\bar{B}(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o)\\ =\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ 0 & \Phi\\ \end{array}\right]}_{A_c} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{e}_z(t)} -\bar{G} Ce(t) +\underbrace{\left[\begin{array}{c} 0\\ S_2B_2 \end{array}\right]}_{\bar{B}}(\nu_c+\xi(t,x,u)+\nu_o) \end{array} }$

ただし

$\displaystyle{(27')\quad \left\{\begin{array}{l} \bar{A}_{11}=A_{11}-A_{12}M\quad(M=S_2^{-1}S_1)\\ \bar{A}_{12}=A_{12}S_2^{-1}\\ \bar{A}_{21}=S_2(M\bar{A}_{11}+A_{21}-A_{22}M)\\ \bar{A}_{22}=S_2(M{A}_{12}+A_{22})S_2^{-1} \end{array}\right. }$

を得ます。ここで、 $\bar{A}_{11}$ が安定行列となるように行列 $M$ が選ばれているとします。

これを誤差方程式(9′)と合わせて、閉ループ系は次式で表されます。

$\displaystyle{(28)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{e}(t)\\ \dot{\bar{e}}_z(t) \end{array}\right]= \underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_o & 0\\ -\bar{G}C & A_c \end{array}\right]}_{A_G} \left[\begin{array}{c} e(t)\\ \bar{e}_z(t) \end{array}\right]\\ + \left[\begin{array}{c} 0\\ \bar{B} \end{array}\right]{\nu}_c + \left[\begin{array}{c} B\\ \bar{B} \end{array}\right]\nu_o + \left[\begin{array}{c} -B\\ \bar{B} \end{array}\right]\xi(t,x,\hat{u}) \end{array} }$

●以上に基づく設計手順を、数値例で示します。

MATLAB

%ex9_ob_smm.m
%-----
 clear all, close all
%(A,B,C)
 A=[0 0 1 0 0;
    0 -0.1540 -0.0042  1.5400 0;
    0  0.2490 -1.0000 -5.2000 0;
    0.0386 -0.9960 -0.0003 -0.1170 0;
    0 0.5 0 0 -0.5];
 pl=eig(A)
 B=[0 0;
    -0.7440 -0.0320;
    0.3370 -1.1200;
    0.0200 0;
    0 0];
 CM=[0 1 0 0 -1;
     0 0 1 0  0;
     0 0 0 1  0;
     1 0 0 0  0];
 C=[1 0 0 0 0;
    0 0 0 1 0]; 
 [nn,mm]=size(B);
 [pp,nn]=size(CM); 
%-----
%  p1=[-0.05 -2 1.5 -1.5 1.5]
%  p1=[-0.05 -2+1.5*i -2-1.5*i -1.5+1.5*i -1.5-1.5*i]
 Lx=[-0.3131 3.3211 -0.1386 -0.7379 4.1180;
      3.9524 5.6616  2.2906 -65.6425 -90.7262];
 pCL=eig(A+B*Lx)
 Am=A+B*Lx;
 Lr=-inv(C*(Am\B));
 Bm=B*Lr;
 Cm=C;
%-----
 Q=diag([5,1,1,5,5]);
 S=swflqr(A,B,Q) 
%-----
 p1=-3
 [Acal,Bcal,Ccal,TL,Ta,Tb,Tc,D2]=ca_form2(A,B,CM,p1)
%-----
 p2=[-4,-4.425,-4.5,-5]
 [F,G]=smobs2(Acal,p2,nn,pp,TL,Ta,Tb,Tc,D2) 
 Ao=A-G*CM;
%-----
 p3=[-3,-3]
 Phi=diag(p3)
 Lambda=S*B
 L=inv(Lambda)*(S*Am-Phi*S)
 Ac=Am-B*L
 pl=eig(Ac)
%-----
 rhoo=1
 rhoc=norm(Lambda)*rhoo+1
 Ln=rhoc*inv(Lambda)
 P2=lyap(Phi',eye(mm))
%-----
%eof

図1 モデル規範・SMオブザーバベース・追従SM制御系のシミュレーション例

Note C93 閉ループ系の安定性

●閉ループ系のダイナミックスは次式で表されます。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (1.1) & \dot{w}(t)=A_mw(t)+B_mr(t)\\ (1.2) & \dot{e}(t)=A_oe(t)+B(\nu_o-\xi(t,x,u))\\ (1.3) & \dot{\bar e}_z(t)=A_c\bar{e}_z(t)-\bar{G}Ce(t)+\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\\ & (e(t)=z(t)-x(t), \bar{e}_z(t)={\bar T}(z(t)-w(t)) ) \end{array} }$

ただし

$\displaystyle{(1.4)\quad \begin{array}{l} A_m=A+BL_x,\ B_m=BL_r\\ A_o=A-GC\\ A_c=\bar{T}(A_m-BL)\bar{T}^{-1}\\ L=(SB)^{-1}(SA_m-\Phi S)\\ \bar{B}=\left[\begin{array}{c} 0\\ S_2B_2 \end{array}\right],\ \bar{G}=\bar{T}G \end{array} }$

これに対して次のリャプノフ関数を考えます。

$\displaystyle{(2)\quad \boxed{\begin{array}{l} V(e,\bar{e}_z) =e^T(t)Pe(t)+\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{e}_z(t) \end{array}} }$

ここで、正定行列 $P$ 、 $\bar{P}$ は、それぞれ安定行列 $A_o$ 、 $A_c$ のリャプノフ行列とし、次のリャプノフ方程式の解とします。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (3.1) & PA_o+A_o^TP=-Q\\ (3.2) & \bar{P}A_c+A_c^T\bar{P}=-\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}-\underline{\bar{P}\bar{Q}\bar{P}} \end{array} }$

● $\bar{P}$ は、リャプノフ方程式

$\displaystyle{(4)\quad \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{P}_1 & 0\\ 0 & \bar{P}_2 \end{array}\right]}_{\bar P} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12}\\ 0 & \Phi \end{array}\right]}_{A_c} +\underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12}\\ 0 & \Phi \end{array}\right]^T}_{A_c^T} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{P}_1 & 0\\ 0 & \bar{P}_2 \end{array}\right]}_{\bar P}<0 }$

を満足するブロック対角行列とします。ここで、正定行列 $\bar{P}_1$ 、 $\bar{P}_2$ は、それぞれ安定行列 $\bar{A}_{11}$ 、 $\Phi$ に対する次のリャプノフ不等式の解です。

$\displaystyle{(5)\quad \bar{P}_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^T\bar{P}_1<0 \Leftrightarrow \bar{A}_{11}\bar{P}_1^{-1}+\bar{P}_1^{-1}\bar{A}_{11}^T<0 }$
$\displaystyle{(6)\quad \bar{P}_2\Phi+\Phi^T\bar{P}_2<0 \Leftrightarrow \Phi\bar{P}_2^{-1}+\bar{P}_2^{-1}\Phi^T<0 }$

このとき、 $P$ と $\bar P$ は、次のリャプノフ不等式の解を構成するとします。

$\displaystyle{(7)\quad \underbrace{\left[\begin{array}{cc} P & 0\\ 0 & \bar{P} \end{array}\right]}_{P_G} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_o & 0\\ -\bar{G}C & A_c \end{array}\right]}_{A_G} +\underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_o & 0\\ -\bar{G}C & A_c \end{array}\right]^T}_{A_G^T} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} P & 0\\ 0 & \bar{P} \end{array}\right]}_{P_G}<0 }$

これは次式と等価です。

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} PA_o & 0\\ -\bar{P}\bar{G}C & \bar{P}A_c \end{array}\right]}_{P_GA_G}+ \underbrace{\left[\begin{array}{cc} PA_o & 0\\ -\bar{P}\bar{G}C & \bar{P}A_c \end{array}\right]^T}_{(P_GA_G)^T} =\left[\begin{array}{cc} -Q & -C^T\bar{G}^T\bar{P}\\ -\bar{P}\bar{G}C & \bar{P}A_c+A_c^T\bar{P} \end{array}\right]<0\\ \Leftrightarrow \bar{P}A_c+A_c^T\bar{P}+\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}<0\\ \Leftrightarrow A_c\bar{P}^{-1}+\bar{P}^{-1}A_c^T+\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T<0\\ \Leftrightarrow A_c\bar{P}^{-1}+\bar{P}^{-1}A_c^T+\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T=-\bar{Q}\quad(\bar{Q}>0) \end{array} }$

ここで、新しいパラメータ $\bar{Q}$ を導入し、次の公式を用いています。

$\displaystyle{ \begin{array}{lll} && \left[\begin{array}{cc} P & M \\ M^T & Q \end{array}\right]<0\\ &\Leftrightarrow& P-MQ^{-1}M^T<0,\ Q<0\\ &\Leftrightarrow& P<0,\ Q-M^TP^{-1}M<0 \end{array} }$

いま適当な $\hat{Q}_1$ と $\hat{Q}_2$ を与えて、

$\displaystyle{(9)\quad \bar{A}_{11}\bar{P}_1^{-1}+\bar{P}_1^{-1}\bar{A}_{11}^T=-\hat{Q}_1 \quad(\hat{Q}_1>0)}$
$\displaystyle{(10)\quad \Phi\bar{P}_2^{-1}+\bar{P}_2^{-1}\Phi^T=-\hat{Q}_2\quad(\hat{Q}_2>0) }$

を解いて、 $\bar{P}_1$ と $\bar{P}_2$ を定めるものとします。このとき(7)は

$\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12}\\ 0 & \Phi \end{array}\right]}_{A_c} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{P}_1^{-1} & 0\\ 0 & \bar{P}_2^{-1} \end{array}\right]}_{\bar{P}^{-1}} + \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{P}_1^{-1} & 0\\ 0 & \bar{P}_2^{-1} \end{array}\right]}_{\bar{P}^{-1}} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12}\\ 0 & \Phi \end{array}\right]^T}_{A_c^T}\\ +\underbrace{\left[\begin{array}{c} \bar{G}_1\\ \bar{G}_2 \end{array}\right]}_{\bar{G}} \underbrace{CQ^{-1}C^T}_{Q_{22}} \underbrace{\left[\begin{array}{c} \bar{G}_1\\ \bar{G}_2 \end{array}\right]^T}_{\bar{G}^T}\\ = \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11}\bar{P}_1^{-1} & \bar{A}_{12}\bar{P}_2^{-1}\\ 0 & \Phi \bar{P}_2^{-1} \end{array}\right]}_{A_c\bar{P}^{-1}} + \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11}\bar{P}_1^{-1} & \bar{A}_{12}\bar{P}_2^{-1}\\ 0 & \Phi \bar{P}_2^{-1} \end{array}\right]^T}_{(A_c\bar{P}^{-1})^T}\\ +\underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_1^T &\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_2^T\\ \bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_1^T &\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_2^T \end{array}\right]}_{\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T}\\ = \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11}\bar{P}_1^{-1}+\bar{P}_1^{-1}\bar{A}_{11}^T+\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_1^T & \bar{A}_{12}\bar{P}_2^{-1}+\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_2^T\\ \bar{P}_2^{-1}\bar{A}_{12}^T+\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_1^T & \Phi\bar{P}_2^{-1}+\bar{P}_2^{-1}\Phi^T+\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_2^T \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} -\hat{Q}_1+\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_1^T & \bar{A}_{12}\bar{P}_2^{-1}+\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_2^T\\ \bar{P}_2^{-1}\bar{A}_{12}^T+\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_1^T & -\hat{Q}_2+\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_2^T \end{array}\right]<0\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_1^T +(\bar{A}_{12}\bar{P}_2^{-1}+\bar{G}_1Q_{22}\bar{G}_2^T)\\ \times(\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_2^T -\hat{Q}_2)^{-1}(\bar{P}_2^{-1}\bar{A}_{12}^T+\bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_1^T) <\hat{Q}_1\\ \bar{G}_2Q_{22}\bar{G}_2^T <\hat{Q}_2 \end{array}\right. \end{array} }$

となります。したがって、この制約を(8)の $\hat{Q}_1$ 、(9)の $\hat{Q}_2$ に付けておきます。

●以上の準備の下で次式が示され、閉ループ系のリャプノフ安定性が成り立ちます。

$\displaystyle{(12)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(e,\zeta,e_r)=2e^T(t)P\dot{e}(t) +2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\dot{\bar{e}}_z(t)\\\\ =2e^T(t)P(A_oe(t)+B(\nu_o-\xi(t,x,u))\\ +2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}(A_c\bar{e}_z(t)-\bar{G}Ce(t)+\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u)))\\\\ =e^T(t)\underbrace{(PA_o+A_o^TP)}_{-Q}e(t)+2e^T(t)PB(\nu_o-\xi(t,x,u))\\ +\bar{e}_z^T(t)\underbrace{(\bar{P}A_c+A_c^T\bar{P})}_{-\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}-\bar{P}\bar{Q}\bar{P}}\bar{e}_z(t)\\ -2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}Ce(t)+2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\\\\ =-e^T(t)Qe(t)+2e^T(t)PB(\nu_o-\xi(t,x,u))\\ -\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t)-\underline{\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{Q}\bar{P}\bar{e}_z(t)}\\ -2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}Ce(t)+2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\\\\ =\underbrace{2e^T(t)PB(\nu_o-\xi(t,x,u))}_{\le -2\gamma_o||FCe(t)||}+\underbrace{2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))}_{\le -2\gamma_c||\bar{P}_2s(t)||}\\ -\underbrace{(e^T(t)Qe(t)+2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}Ce(t)+\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))}_{(e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))^TQ(e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))}\\ -\underline{\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{Q}\bar{P}\bar{e}_z(t)}\\\\ \le -2\gamma_o||FCe(t)||-2\gamma_c||\bar{P}_2s(t)||\\ -(e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))^TQ(e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))\\ -\bar{e}_z^T(t) \bar{P}\bar{Q}\bar{P} \bar{e}_z(t)<0 \end{array} }$

ここで、次の平方完成を行っています。

$\displaystyle{(13)\quad \begin{array}{l} (e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))^TQ(e(t)+Q^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t))\\ =e^T(t)Qe(t)+2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}Ce(t)+\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{G}CQ^{-1}C^T\bar{G}^T\bar{P}\bar{e}_z(t) \end{array} }$

また、次が成り立つことを用いています。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (14.1) &e^T(t)PB(\nu_o-\xi(t,x,u))\le -\gamma_o||FCe(t)||\\ (14.2) &\bar{z}_e^T(t)\bar{P}\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\le -\gamma_c||\bar{P}_2s(t)|| \end{array} }$

まず、(14.1)は

$\displaystyle{(15)\quad \boxed{\rho_o(u_\ell,y)=\frac{k_1||u_\ell||+\alpha(t,y)+k_1\gamma_c||(SB)^{-1}||+\gamma_o}_{1-k_1\kappa(SB)}} }$

を仮定すると、これを変形して得られる

$\displaystyle{(16)\quad \begin{array}{l} \rho_o(u_\ell,y)= k_1||u_\ell||+\alpha(t,y)+k_1\gamma_c||(SB)^{-1}||+\gamma_o\\+k_1\underbrace{||SB||||(SB)^{-1}||}_{\kappa(SB)}\rho_o(u_\ell,y)\\ =k_1(||u_\ell||+||(SB)^{-1}||\underbrace{(\rho_o(u_\ell,y)||SB|| +\gamma_c)}_{\rho_c(u_\ell,y)})+\alpha(t,y)+\gamma_o\\ >k_1(||u_\ell||+||\nu_c||)+\alpha(t,y)+\gamma_o\\ \ge k_1(||u_\ell+\nu_c||)+\alpha(t,y)+\gamma_o\\ = k_1||u||+\alpha(t,y)+\gamma_o \end{array} }$

を用いて

$\displaystyle{(17)\quad \begin{array}{l} 2e^T(t)PB(\nu_o-\xi(t,x,u))\\ =2e^T(t)C^TF^T(-\rho_o(u_\ell,y)\frac{FCe(t)}{||FCe(t)||}-\xi(t,x,u))\\ =-2||FCe(t)||\rho_o(u_\ell,y)-2e^T(t)C^TF^T\xi(t,x,u)\\ \le -2||FCe(t)||\rho_o(u_\ell,y)+2||FCe(t)||||\xi(t,x,u)||\\ \le 2||FCe(t)||(k_1||u||+\alpha(t,y)-\rho_o(u_\ell,y))\\ \le 2||FCe(t)||(\rho_o(u_\ell,y)-\gamma_o-\rho_o(u_\ell,y))\\ \le -2\gamma_o||FCe(t)|| \end{array} }$

次に、(14.2)は

$\displaystyle{(18)\quad \begin{array}{l} 2\bar{e}_z^T(t)\bar{P}\bar{B}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\\ =2\underbrace{\left[\begin{array}{c} e_{z1}(t)\\ s(t) \end{array}\right]^T}_{\zeta^T(t)} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{P}_1 & 0\\ 0 & \bar{P}_2 \end{array}\right]}_{\bar P} \underbrace{\left[\begin{array}{c} 0\\ S_2B_2 \end{array}\right]}_{\bar{B}}(\nu_c+\nu_o+\xi(t,x,u))\\ =-2s^T(t)\bar{P}_2(S_2B_2)\rho_o(u_\ell,y)\frac{FCe(t)}{||FCe(t)||}\\ -2s^T(t)\bar{P}_2(S_2B_2)(S_2B_2)^{-1}\rho_c(u_\ell,y) \frac{\bar{P}_2s(t)}{||\bar{P}_2s(t)||}+2s^T(t)\bar{P}_2(S_2B_2)\xi(t,x,u)\\ =-2s^T(t)\bar{P}_2(S_2B_2)\rho_o(u_\ell,y)\frac{B^TPe(t)}{||B^TPe(t)||}\\ -2s^T(t)\bar{P}_2\rho_c(u_\ell,y)\frac{\bar{P}_2s(t)}{||\bar{P}_2s(t)||}+2s^T(t)\bar{P}_2(S_2B_2)\xi(t,x,u)\\ \le 2||\bar{P}_2s(t)||||S_2B_2||\rho_o(u_\ell,y)-2\rho_c(u_\ell,y)||\bar{P}_2s(t)||\\ +2||\bar{P}_2s(t)||||S_2B_2||||\xi(t,x,u)||\\ \le 2||\bar{P}_2s(t)||(\rho_o(u_\ell,y)||S_2B_2||-\rho_c(u_\ell,y))\\ +2||\bar{P}_2s(t)||||S_2B_2||(k_1||u||+\alpha(t,y))\\ \le 2||\bar{P}_2s(t)||(\rho_c(u_\ell,y)-\gamma_c-\rho_c(u_\ell,y))\\ +2||\bar{P}_2s(t)||||S_2B_2||(\rho_o(u_\ell,y)-\gamma_o)\\ =-2\underbrace{(\gamma_c-||S_2B_2||(\rho_o(u_\ell,y)-\gamma_o))}_{\gamma_c'}||\bar{P}_2s(t)|| \end{array} }$

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

モデル規範・追従SM-OBS制御