CT62 ２次系のインパルス応答

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[P]　一般にインパルス応答を実験で求めようとすると大変そうだね。構造試験ではインパルス・ハンマーという道具が使用されるらしいけど、やはりインパルス応答が調べられているんだね。

[M]　インパルス応答の定義式(6.24)をよく見てみると、

\displaystyle{(6.24)\quad G(t)=C\exp(At)B=C\exp(At)\left[b_1 \cdots b_m\right] }

となっていて、これはx(0)=b_1,\cdots,b_mの場合の零入力応答を並べたものと言えるね。そうすると、数学的には、インパルス応答は初期値をBの各列ベクトルに設定したときの応答ということになるね。

[C]　この考え方は、非線形シミュレータで適当な初期値を与えたいときに役に立ちそうだね。

Flipped Classroom 6.2
[1] 　

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (\lambda I_2- \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right]) =\lambda(\lambda+2\zeta\omega_n)+\omega_n^2=\lambda^2+2\zeta\omega_n\lambda+\omega_n^2=0 \end{array} }

を解くと

\displaystyle{(2)\quad \lambda=\frac{1}{2}(-2\zeta\omega_n\pm \sqrt{(2\zeta\omega_n)^2-4\omega_n^2}) =-\zeta\omega_n\pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} }

これは次のように場合分けされます。

1^\circ \zeta>1のとき、\lambda_1=-\zeta\omega_n+ \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}, \lambda_2=-\zeta\omega_n- \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}

2^\circ \zeta=1のとき、\lambda_1=\lambda_2=-\omega_n

3^\circ \zeta<1のとき、\lambda_1=-\zeta\omega_n+ j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}, \lambda_2=-\zeta\omega_n- j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

[2]

1^\circ \zeta>1のとき

\displaystyle{(6.28.1)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_1& 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right]^{-1} }_{V^{-1}} }

\displaystyle{(3.27)\quad \exp(\Lambda t)= \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& 0\\ 0 & e^{\lambda_2t} \end{array}\right] }

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

(3)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{ =\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& 0\\ 0 & e^{\lambda_2t} \end{array}\right] \frac{1}{\lambda_2-\lambda_1} \left[\begin{array}{cc} \lambda_2 & -1\\ -\lambda_1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{ =\frac{\omega_n^2}{\lambda_2-\lambda_1} \left[\begin{array}{cc} e^{\lambda_1t}& e^{\lambda_2t} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -1\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{\lambda_2t}-e^{\lambda_1t})} \end{array}

2^\circ \zeta=1のとき、\lambda=-\omega_nとおいて

\displaystyle{(6.28.2)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right]^{-1} }_{V^{-1}}}

\displaystyle{(3.28)\quad \exp(\Lambda t)= e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right] }

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

(4)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ \lambda & \lambda+1 \end{array}\right] e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array}\right] \frac{1}{\lambda+1-\lambda} \left[\begin{array}{cc} \lambda+1 & -1\\ -\lambda & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{= \omega_n^2 e^{\lambda t} \left[\begin{array}{cc} 1 & t+1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -1\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\lambda^2te^{\lambda t}} \end{array}　

3^\circ \zeta<1のとき、\lambda_R=-\zeta\omega_n, \lambda_I=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}とおいて

\displaystyle{(6.28.3)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \lambda_R & \lambda_I \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array}\right] }_{\Lambda} \underbrace{ \frac{1}{\lambda_I} \left[\begin{array}{cc} \lambda_I & 0 \\ -\lambda_R & 1 \end{array}\right] }_{V^{-1}}}

\displaystyle{(3.29)\quad \exp(\Lambda t)= e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right]}

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{G(t)=C\exp(At)B=CV\exp(\Lambda t)V^{-1}B}\\ \displaystyle{=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ \lambda_R & \lambda_I \end{array}\right] e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right] \frac{1}{\lambda_I} \left[\begin{array}{cc} \lambda_I & 0\\ -\lambda_R & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} e^{\lambda_R t} \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \cos\lambda_I t & \sin\lambda_I t\\ \sin\lambda_I t & \cos\lambda_I t \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0\\ 1 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} e^{\lambda_R t}\sin\lambda_I t} \end{array}