CT23 線形状態方程式

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[M]　(2.22)がどのように出てくるのか、詳しく説明するね。その前に、(2.19)の $f$ はベクトル値関数で、おそらくほとんどの人は初めて出会うものだと思うよ。この場合の $f$ は２次元ベクトルなので、その要素を $f_1,f_2$ とすると

$\displaystyle{(1)\quad f=\left[\begin{array}{c} f_1\\ f_2 \end{array}\right] }$

と書けるね。さらに、 $f_1,f_2$ は $\theta,\omega,\tau$ の多変数関数なので

$\displaystyle{(2)\quad f(\theta,\omega,\tau)= \left[\begin{array}{ll} f_1(\theta,\omega,\tau)\\ f_2(\theta,\omega,\tau) \end{array}\right] }$

と書けるね。ここで、 $f_1$ を $\theta^*,\omega^*,\tau^*$ 周りでテーラー展開すると

$\displaystyle{(3)\quad %\left\{\begin{array}{ll} f_1(\theta,\omega,\tau)=f_1(\theta^*,\omega^*,\tau^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}(\theta-\theta^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\omega}(\omega-\omega^*)+ \frac{\partial f_1^*}{\partial\tau}(\tau-\tau^*)+\cdots %\end{array}\right.} }$

ただし、 $\frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}$ などの記法は

$\displaystyle{(4)\quad \frac{\partial f_1^*}{\partial\theta}=\frac{\partial f_1(\theta^*,\omega^*,\tau^*)}{\partial\theta}= \left.\frac{\partial f_1(\theta,\omega,\tau)}{\partial\theta}\right|_{\theta=\theta^*,\omega=\omega^*,\tau=\tau^*} }$

を表しているよ。 $f_2$ も同様に展開して

$\displaystyle{(5)\quad %\left\{\begin{array}{ll} f_2(\theta,\omega,\tau)=f_2(\theta^*,\omega^*,\tau^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\theta}(\theta-\theta^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\omega}(\omega-\omega^*)+ \frac{\partial f_2^*}{\partial\tau}(\tau-\tau^*)+\cdots %\end{array}\right.} }$