ラグランジュの運動方程式

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次のラグランジュの運動方程式を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i\quad(i=1,\cdots,N) }

ここで、運動エネルギーTとポテンシャルUを一般座標qと\dot{q}で表し、ラグランジュ関数をL(q,\dot{q})=T-Uとおいています。また、Q_iは一般化力と呼ばれます。

(1)のベクトル表示は次のように得られます。

\displaystyle{(2)\quad \frac{d}{dt} \underbrace{\left[\begin{array}{c} \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_N} \end{array}\right]}_{\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}} - \underbrace{\left[\begin{array}{c} \frac{\partial L}{\partial q_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial L}{\partial q_N} \end{array}\right]}_{\frac{\partial L}{\partial q}} = \underbrace{\left[\begin{array}{c} Q_1\\ \vdots\\ Q_N \end{array}\right]}_{Q} }

左辺第１項は、次のように計算できます。

\displaystyle{(3)\quad \underbrace{\left[\begin{array}{c} \frac{\partial\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}}{\partial\dot{q}_1}\ddot{q}_1+\cdots+\frac{\partial\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_1}}{\partial\dot{q}_N}\ddot{q}_N\\ \vdots\\ \frac{\partial\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_N}}{\partial\dot{q}_1}\ddot{q}_1+\cdots+\frac{\partial\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_N}}{\partial\dot{q}_N}\ddot{q}_N \end{array}\right]}_{\frac{\partial}{\partial\dot{q}}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}){\ddot{q}} } + \underbrace{\left[\begin{array}{c} \frac{\partial\frac{\partial L}{\partial q_1}}{\partial{q}_1}\dot{q}_1+\cdots+\frac{\partial\frac{\partial L}{\partial{q}_1}}{\partial q_N}\dot{q}_N\\ \vdots\\ \frac{\partial\frac{\partial L}{\partial q_N}}{\partial{q}_1}\dot{q}_1+\cdots+\frac{\partial\frac{\partial L}{\partial{q}_N}}{\partial q_N}\dot{q}_N \end{array}\right]}_{\frac{\partial}{\partial q}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}){\dot{q}} } - \underbrace{\left[\begin{array}{c} \frac{\partial L}{\partial q_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial L}{\partial q_N} \end{array}\right]}_{\frac{\partial L}{\partial q}} = \underbrace{\left[\begin{array}{c} Q_1\\ \vdots\\ Q_N \end{array}\right]}_{Q} }

すなわち

\displaystyle{(4)\quad \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})-\frac{\partial L}{\partial q}=Q }

から、次式を得ます。

\displaystyle{(5)\quad \frac{\partial}{\partial\dot{q}}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})\ddot{q} +\frac{\partial}{\partial{q}}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})\dot{q} -\frac{\partial L}{\partial q}=Q }

これより、

\displaystyle{(6)\quad \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{c} q\\ \dot{q} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} \dot{q}\\ (\frac{\partial}{\partial\dot{q}}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}))^{-1}(-\frac{\partial}{\partial{q}}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}})\dot{q} +\frac{\partial L}{\partial q}+Q) \end{array}\right] }