問・演習問題の解答（１章）

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1. 物理法則から状態方程式を導く


問1.1 十分大きなkに対して，v(1)=0.3679，v(2)=0.0498，v(3)=0.0067

問1.2
#1：ドアは急に衝突音をともなって閉まる。
#2：ドアは速やかに静かに閉まる。
#3：ドアはなかなか閉まらない。

問1.3 答は図1.12。

問1.4 座標変換
\left[\begin{array}{c} x_a(t) \\ x(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & I_2 \\ 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_a(t) \end{array}\right]
を行うと
\left[\begin{array}{c} \dot{x}_a(t) \\ \dot{x}(t) \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c|cc} -\frac{1}{T_a} & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & 1\\ K\omega_n^2c_a & -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_a(t) \\ x(t) \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{cc} \frac{K_a}{T_a} \\\hline 0 \\ 0 \end{array}\right] u(t)

y(t)= \left[\begin{array}{c|cc} 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_a(t) \\ x(t) \end{array}\right]

【1】 回路方程式はつぎのように整理できる。

\begin{array}{ll} L\dot{i}(t)=-(\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4})i(t)-(\frac{R_1}{R_1+R_2}-\frac{R_3}{R_3+R_4})v(t) +u(t) \\[1mm] C\dot{v}(t)=-(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4})i(t) -(\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3+R_4})v(t)\\[1mm] \end{array}

R_1R_4=R_2R_3が成り立つとき

\begin{array}{ll} L\dot{i}(t)=-(\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\frac{R_3R_4}{R_3+R_4})i(t)+u(t) \\ C\dot{v}(t)=-(\frac{1}{R_1+R_2}+\frac{1}{R_3+R_4})v(t)　\\ \end{array}

ブロック線図は図3.4参照。

【2】 v_1(t)=\dot{x}_1(t)，v_2(t)=\dot{x}_2(t)とおくと

\begin{array}{ll} m_1\dot{v}_1(t)=-k(x_1(t)-x_2(t))+f_1(t)+w_1(t) \\ m_2\dot{v}_2(t)=-k(x_2(t)-x_1(t))+w_2(t)\\ \end{array}

【3】 状態方程式??を考えると，平衡状態では
つぎが成り立つ。

0=-\frac{K_TK_E}{JR}\omega^*+\frac{K_T}{JR}v^*-\frac{1}{J}\tau_L^*

式??からこれを辺々引いて，つぎの状態方程式を得る。

\frac{d}{dt}(\omega(t)-\omega^*) = -\frac{K_TK_E}{JR}(\omega(t)-\omega^*) +\frac{K_T}{JR}(v(t)-v^*)-\frac{1}{J}(\tau_L(t)-\tau_L^*)

【4】 シミュレーション結果はつぎのとおり。