YMCPBのBS制御（暫定版）

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Case１：３次元モデルに基づくBS制御

●制御対象YMCPBのピッチに関する運動方程式として次式を考えます。

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} (I_y+J_y)\ddot{\theta}=D_b(H_{CG}-H_D)+T(H_T-H_{De}+H_e)\\ +D_eH_e+N_LL_L+N_eL_e+N_B(L_{CG}\cos\theta-L_B) -c_{\theta z}\dot{z}-c_{\theta\theta}\dot{\theta} \end{array} }

これは次の形をとると考えられます。

\displaystyle{(2)\quad J\ddot{\theta}(t)+D(\theta,\dot{\theta})\dot{\theta}+K(\theta)\theta(t)=B\theta_e(t)+w(t) }

ここで、減衰係数D、復元係数Kは、\theta、\dot{\theta}の非線形関数、wは外乱やモデル化誤差を表しています。また、\theta_eは船外機の取付角で、その動作は操作変数u_eを用いて、次式で表されます。

\displaystyle{(3)\quad \dot{\theta}_e(t)=\Omega_e u_e(t)\quad(u_e(t)=0,\pm 1) }

(2)と(3)を合わせた制御対象全体の非線形状態方程式を線形化すると次式となります。

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{c} \theta(t)-\theta^*\\ \dot{\theta}(t)\\ \theta_e(t)-\theta_e^* \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ a_{63} & a_{66} & b_{62}\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \theta(t)-\theta^*\\ \dot{\theta}(t)\\ \theta_e(t)-\theta_e^* \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 0 \\ \Omega_e \end{array}\right] }_{B} u_e(t)\\ +\underbrace{ \left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{62} & a_{64} & a_{65} & b_{61}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} z(t)-z^*\\ \dot{x}(t)-V^*\\ \dot{z}(t)\\ T(t)-T^* \end{array}\right] }_{w(t)} \end{array} }

ここで、^*は平衡状態を表しています。

●以上から、制御対象は次式でモデル化されているとします。

\displaystyle{(5)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{\theta}(t)=\omega(t)\\ \dot{\omega}(t)+a_{63}\theta(t)+a_{66}\omega(t)=b_{62}\theta_e(t)+w(t)\\ \dot{\theta}_e(t)=\Omega_e u_e(t) \end{array}\right. }

制御目的は、まず船外機の取付角を\theta_e^*に移動させること、その上で外乱に抗して船体のピッチ角の振動を抑え、平衡状態を保持することです。そのために、制御則には誤差

\displaystyle{(6)\quad e(t)=\theta_e(t)-\theta_e^* }

による積分動作

\displaystyle{(7)\quad \dot{e}_I(t)=e(t) }

を入れます。積分動作を入れて拡大した基礎式は次のようにまとめられます。

\displaystyle{(8)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{\theta}(t)=\omega(t)\\ \dot{\omega}(t)+a_{66}\omega(t)+a_{63}\theta(t)=b_{62}\theta_e(t)+w(t)\\ \dot{\theta}_e(t)=\Omega_e u_e(t)\quad(\dot{e}(t)=\Omega_e u_e(t))\\ \dot{e}_I(t)=e(t) \end{array}\right. }

ここで、第１式と第２式が非線形動作を、第３式がアクチュエータの動作を、第４式が積分動作を表しています。以下では、簡単のためw=0とします。

状態変数はx_1=\theta、x_2=\omega、x_3=\theta_e、x_4=e_Iの４つなので、BS制御系設計のために４回の変数変換を行います。

\displaystyle{(9)\quad \boxed{ \begin{array}{l} z=\phi(x)\\ \left\{\begin{array}{l} z_1=\phi_1(x_1)\\ z_2=\phi_2(x_1,x_2)\\ z_3=\phi_3(x_1,x_2,x_3)\\ z_4=\phi_4(x_1,x_2,x_3,x_4)\\ \end{array}\right. \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x=\phi^{-1}(z)\\ \left\{\begin{array}{l} x_1=\phi_1^{-1}(z_1)\\ x_2=\phi_2^{-1}(z_1,z_2)\\ x_3=\phi_3^{-1}(z_1,z_2,z_3)\\ x_4=\phi_4^{-1}(z_1,z_2,z_3,z_4)\\ \end{array}\right. \end{array}} }

以下では、変数変換後の状態変数z_1,z_2,z_3,z_4について２次安定性（したがって漸近安定性）を示し、逆変換により、元の状態変数x_1,x_2,x_3,x_4についての漸近安定性を示します。

●Step 1

まず第１番目の変数変換として、次式を考えます。

\displaystyle{(10)\quad \boxed{z_1=\theta}\quad\Rightarrow\quad\dot{z}_1=\omega }

また\omegaに対する仮想的な操作変数\alpha_1を導入して、第２番目の変数変換

\displaystyle{(11)\quad \omega=\alpha_1+z_2\quad\Rightarrow\quad \boxed{z_2=\omega-\alpha_1} }

を考えます。このときz_1の状態方程式は

\displaystyle{(12)\quad \dot{z}_1=\alpha_1+z_2 }

となります。いま

\displaystyle{(13)\quad \boxed{\alpha_1=-k_1z_1} }

と定義すると

\displaystyle{(12')\quad \dot{z}_1=-k_1z_1+z_2 }

となります。これに対するリャプノフ関数

\displaystyle{(14)\quad \boxed{V_1=\frac{1}{2}z_1^2} }

に対して、次式を得ます。

\displaystyle{(15)\quad \boxed{\dot{V}_1=z_1\dot{z}_1=-k_1z_1^2+z_1z_2} }

●Step 2

\theta_eに対して仮想的な操作変数\alpha_2を導入して、第３番目の変数変換

\displaystyle{(16)\quad \theta_e=\alpha_2+z_3\quad\Rightarrow\quad \boxed{z_3=\theta_e-\alpha_2} }

を考えます。このときz_2の状態方程式として

\displaystyle{(17)\quad \begin{array}{l} \dot{z}_2=\dot{\omega}-\dot{\alpha}_1\\ =b_{62}\theta_e-a_{63}\theta-a_{66}\omega-\dot{\alpha}_1\\ =b_{62}\alpha_2+b_{62}z_3-a_{63}z_1-a_{66}\alpha_1-a_{66}z_2-\dot{\alpha}_1\\ =b_{62}\alpha_2+b_{62}z_3-a_{63}z_1+a_{66}k_1z_1-a_{66}z_2+k_1\dot{z}_1\\ \end{array} }

を得ます。このフィードバック線形化を行うために

\displaystyle{(18)\quad \boxed{\alpha_2=\frac{1}{b_{62}}(a_{63}z_1-a_{66}k_1z_1+a_{66}z_2-k_1\dot{z}_1-z_1-k_2z_2)} }

と定義すると、次式を得ます。

\displaystyle{(17')\quad \dot{z}_2=-z_1-k_2z_2+b_{62}z_3 }

これに対するリャプノフ関数を

\displaystyle{(19)\quad \boxed{V_2=V_1+\frac{1}{2}z_2^2} }

と定義すると、次式を得ます。

\displaystyle{(20)\quad \begin{array}{l} \dot{V}_2=\dot{V}_1+z_2\dot{z}_2\\ =-k_1z_1^2+z_1z_2+(-z_1-k_2z_2+b_{62}z_3)z_2\\ =-k_1z_1^2-k_2z_2^2+b_{62}z_2z_3 \end{array} }

●Step 3

z_3の状態方程式として

\displaystyle{(22)\quad \begin{array}{l} \dot{z}_3=\dot{\theta}_e-\dot{\alpha}_2 =\Omega_e u_e-\dot{\alpha}_2 \end{array} }

このフィードバック線形化を行うために

\displaystyle{(23)\quad \boxed{u_e=\frac{1}{\Omega_e}(\dot{\alpha}_2-b_{62}z_2-k_3z_3) }

と定義すると、次式を得ます。

\displaystyle{(22')\quad \begin{array}{l} \dot{z}_3 =\Omega_e\frac{1}{\Omega_e}(\dot{\alpha}_2-b_{62}z_2-k_3z_3)-\dot{\alpha}_2\\ =\dot{\alpha}_2-b_{62}z_2-k_3z_3-\dot{\alpha}_2\\ =-b_{62}z_2-k_3z_3 \end{array} }

これに対するリャプノフ関数

\displaystyle{(24)\quad \boxed{V_3=V_2+\frac{1}{2}z_3^2} }

に対して、次式を得ます。

\displaystyle{(25)\quad \begin{array}{l} \dot{V}_3=\dot{V}_2+z_3\dot{z}_3\\ =-k_1z_1^2-k_2z_2^2+b_{62}z_2z_3+(-b_{62}z_2-k_3z_3)z_3\\ =-k_1z_1^2-k_2z_2^2-k_3z_3^2 \end{array} }

●Step 4

e_Iに対して仮想的な操作変数\alpha_3を導入して、第４番目の変数変換

\displaystyle{(26)\quad e_I=\alpha_3+z_4\quad\Rightarrow\quad \boxed{z_4=e_I-\alpha_3} }

を考えます。z_4の状態方程式は

\displaystyle{(27)\quad \dot{z}_4=\dot{e}_I-\dot{\alpha}_3=e-\dot{\alpha}_3 }

いま

\displaystyle{(28)\quad \boxed{\dot{\alpha}_3=e+k_4z_4} }

と定義すると

\displaystyle{(27')\quad \dot{z}_4=e-(e+k_4z_4)=-k_4z_4 }

これに対するリャプノフ関数

\displaystyle{(29)\quad \boxed{V_4=V_3+\frac{1}{2}z_4^2} }

に対して、次式を得ます。

\displaystyle{(30)\quad \begin{array}{l} \dot{V}_4=\dot{V}_3+z_4\dot{z}_4\\ =-k_1z_1^2-k_2z_2^2-k_3z_3^2-k_4z_4^2 \end{array} }

●以上の変数変換とその逆変換は、次式のように表すことができます。

\displaystyle{(31)\quad \left\{\begin{array}{l} z_1=\theta=x_1\\ z_2=\omega-\alpha_1=\omega+k_1z_1=x_2+k_1x_1\\ z_3=\theta_e-\alpha_2=x_3-\alpha_2\\ =x_3-\frac{1}{b_{62}}(a_{63}z_1-a_{66}k_1z_1+a_{66}z_2-k_1\dot{z}_1-z_1-k_2z_2)\\ z_4=e_I-\alpha_3=x_4-\int(e+k_4z_4)dt \end{array}}\right. %\quad\boxed{z=\phi(x)} }

\displaystyle{(32)\quad \left\{\begin{array}{l} x_1=z_1\\ x_2=z_2-k_1z_1\\ x_3=z_3+\frac{1}{b_{62}}(a_{63}z_1-a_{66}k_1z_1+a_{66}z_2-k_1\dot{z}_1-z_1-k_2z_2)\\ x_4=z_4+\int(e+k_4z_4)dt \end{array}}\right. %\quad\boxed{x=\phi^{-}(z)} }