SMオブザーバ | 制御系CAD

Walcott-Zak’s observer…Homework

[1] 制御対象の状態空間表現として次式を考えます。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (1.1) & \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ (1.2) & y(t)=Cx(t)\\ & (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, y(t)\in{\rm\bf R}^p, 1\le m\le p < n) \end{array} }$

ただし、 $f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^n$ はモデル誤差、非線形要素、外乱などの影響を表し、次のマッチング条件を満たすとします。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (2.1) & \boxed{f(t,x,u)=B\xi(t,x,u)}\\ (2.2) & ||\xi(t,x,u)||<r_1||u||+\alpha(t,y)\\ & (f(t,x,y)\in{\rm\bf R}^n, \xi(t,x,u)\in{\rm\bf R}^m) \end{array} }$

●このとき、Walcott-Zakは次のSMオブザーバを提案しています（ $z(t)\in{\rm\bf R}^n$ ）。

$\displaystyle{(3)\quad \boxed{\begin{array}{l} \dot{z}(t)=Az(t)+Bu(t)-G \overbrace{C\underbrace{(z(t)-x(t))}_{e(t)}}^{e_y(t)=Cz(t)-y(t)}+B\nu\\ =\underbrace{(A-GC)}_{A_o}z(t)+Gy(t)+Bu(t)+B\nu \end{array}} }$

ここで、 $G$ は $A_0=A-GC$ が安定行列となるように選ばれているとします。また、

$\displaystyle{(4)\quad PA_0+A_o^TP=-Q\quad(Q>0) }$

を満足する $P>0$ と、ある $F\in{\bf R}^{m\times p}$ に対して

$\displaystyle{(5)\quad PB=C^TF^T }$

が満足されているものとします。このとき、 $\nu$ は

$\displaystyle{(6.1)\quad \boxed{\nu=-\rho(t,y,u)\frac{Fe_y(t)}{||Fe_y(t)||}} }$

ただし

$\displaystyle{(6.2)\quad \rho(t,y,u)\ge r_1||u||+\alpha(t,y)+\gamma_0 %\rho(t,y,u)\ge r_1||u||+\alpha(t,y)+\gamma_0 \ge ||\xi(t,x,u)||+\gamma_0 }$

のように与えます。

これは、通常のオブザーバと同様に、出力の推定誤差 $e_y(t)=C\hat{x}(t)-y(t)$ をフィードバックした上で、出力の推定誤差のスイッチング動作が加えられています。これにより、モデル誤差、非線形要素、外乱などの影響があるにも拘わらず、 $e_y(t)=0$ の超平面に載せることが考えられます。

[2] (3)から(1.1)を辺々引き算して、誤差方程式

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\dot{z}(t)-\dot{x}(t)}_{\dot{e}(t)} =Az(t)+Bu(t)-G Ce(t)+B\nu\\ -(Ax(t)+Bu(t)+B\xi(t,x,u))\\ =Ae(t)-GCe(t)+B\nu-B\xi(t,x,u)\\ =\underbrace{(A-GC)}_{A_o}e(t)+B(\nu-\xi(t,x,u)) \end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(7')\quad \boxed{\dot{e}(t)=A_oe(t)+B(\nu-\xi(t,x,u))} }$

を得ます。このとき、リャプノフ関数

$\displaystyle{(8)\quad V(e)=e^T(t)Pe(t) }$

に対して

$\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(e)=2e^T(t)P\dot{e}(t)\\ =2e^T(t)P(A_oe(t)-B\xi(t,x,u)+B\nu)\\ =e^T(t)(PA_o+A^T_oP)e(t)-2e^T(t)PB\xi(t,x,u)+2e^T(t)PB\nu\\ <-e^T(t)Qe(t)-2e^T(t)C^TF^T\xi(t,x,u)-2e^T(t)C^TF^T\rho(t,y,u)\frac{FCe(t)}{||FCe(t)||}\\ =-e^T(t)Qe(t)-2(-||FCe(t)||||\xi(t,x,u)||)-2\rho(t,y,u)||FCe(t)||\\ \le -e^T(t)Qe(t)-2||FCe(t)||(\rho(t,y,u)-||\xi(t,x,u)||)\\ \le -e^T(t)Qe(t)-2\eta||FCe(t)||\\ \le -e^T(t)Qe(t)<0 \end{array} }$

を得て、２次安定性が成り立ちます。したがって、ある有限時間で、次の超平面上でのスライディングモードが達成されます。

$\displaystyle{(10)\quad {\cal S}_{wz}=\{e\in{\bf R}^n: Fe_y=FCe=0\} }$

[3] 適当な座標変換を用いて、(1.1)の状態空間表現として次式が得られます。

$\displaystyle{(11.1)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}'(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{11} & {\bar A}_{12} \\ {\bar A}_{21} & {\bar A}_{22} \\ \end{array}\right] }_{{\bar A}=TAT^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} + \boxed{\underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0_{n-p\times p}\\ {\bar B}_{2} \end{array}\right] }_{{\bar B}=TB}} (u(t)+\xi(t))\\ \end{array} }$

$\displaystyle{(11.2)\quad y(t) = \boxed{\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & I_p \\ \end{array}\right] }_{{\bar C}=CT^{-1}}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} }$

ただし、 ${\bar A}_{11}$ は安定行列です。

●これは予備的検討における(3.1)と(3.2)と同じタイプですから、そこでの(18)に相当する

$\displaystyle{(12)\quad \begin{array}{l} \dot{\hat x}(t)=A\hat{x}(t)+Bu(t)-G_\ell Ce(t)+G_n\nu\\ G_\ell=T_o^{-1}\left[\begin{array}{c} {\cal A}_{12}\\ {\cal A}_{22}-{\cal A}_{22}^{s} \end{array}\right]\\ G_n=||{\cal D}_{2}||T_o^{-1}\left[\begin{array}{c} 0_{n-p\times p}\\ I_p \end{array}\right]\\ \displaystyle{\nu=-\rho(t,y,u)\frac{P_2e_y(t)}{||P_2e_y(t)||} \quad(P_2{\cal A}_{22}^{s}+{\cal A}_{22}^{s}^TP_2<0)} \end{array} }$

を設計できます。これから、(3)と(6.1)における $G$ と $F$ を、次のように定めることが提案されています。

$\displaystyle{(13)\quad \boxed{G=(T_LT_bT_c)^{-1}\left[\begin{array}{c} {\cal A}_{12}\\ {\cal A}_{22}-{\cal A}_{22}^{s} \end{array}\right]} }$

$\displaystyle{(14)\quad \boxed{F={\bar B}_{2}^T{P}_{2}} }$

ここまでの手順を、関数smobs2としてプログラムすることにします。

Note C-83: (11)への座標変換

いま

$\displaystyle{(1)\quad P=\left[\begin{array}{cc} {P}_{11} & {P}_{12} \\ {P}_{21} & {P}_{22} \end{array}\right]\quad({P}_{11}\in{\bf R}^{n-p\times n-p}) }$

と分割し、座標変換行列

$\displaystyle{(2)\quad T=\left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & {P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right] }$

を定義します。このとき

$\displaystyle{(3)\quad \bar{C}=CT^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 0 & I_p \end{array}\right] }$

を得ます、また

$\displaystyle{(4)\quad P^{-1}=\left[\begin{array}{cc} {\tilde P}_{11} & {\tilde P}_{12} \\ {\tilde P}_{21} & {\tilde P}_{22} \end{array}\right]\quad({P}_{11}{\tilde P}_{12} + {P}_{12}{\tilde P}_{22}=0)$

と表すと、 $B=P^{-1}C^TF^T$ に注意して

$\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \bar{B}=TB= \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & {P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\tilde P}_{11} & {\tilde P}_{12} \\ {\tilde P}_{21} & {\tilde P}_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ I_p \end{array}\right] F^T\\ =\left[\begin{array}{cc} {\tilde P}_{12} + {P}_{11}^{-1}{P}_{12}{\tilde P}_{22} \\ {\tilde P}_{22} \end{array}\right] F^T= \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 \\ {\tilde P}_{22}F^T \end{array}\right] }_{\left[\begin{array}{cc} 0 \\ {\bar B}_{2} \end{array}\right]} \end{array} }$

および

$\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{l} \bar{P}=T^{-T}PT^{-1}\\ = \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & 0 \\ -{P}_{12}^T{P}_{11}^{-1} & I_p \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {P}_{11} & {P}_{12} \\ {P}_{21} & {P}_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} {P}_{11} & {P}_{12} \\ 0 & {P}_{22}-{P}_{12}^T{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right]\\ =\underbrace{\left[\begin{array}{cc} {P}_{11} & 0 \\ 0 & {P}_{22}-{P}_{21}{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \end{array}\right] }_{\left[\begin{array}{cc} {\bar P}_{1} & 0 \\ 0 & {\bar P}_{2} \end{array}\right]} \end{array} }$

を得ます。また

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \bar{A}=TAT^{-1}\\ = \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & {P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {A}_{11} & {A}_{12} \\ {A}_{21} & {A}_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{cc} {A}_{11}+{P}_{11}^{-1}{P}_{12}{A}_{21} & {A}_{12}+ {P}_{11}^{-1}{P}_{12}{A}_{22}\\ {A}_{21} & {A}_{22} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \\ 0 & I_p \end{array}\right]\\ =\underbrace{\left[\begin{array}{cc} {A}_{11}+{P}_{11}^{-1}{P}_{12}{A}_{21} & * \\ {A}_{21} & {A}_{22}-{A}_{21}{P}_{11}^{-1}{P}_{12} \end{array}\right] }_{\left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{11} & {\bar A}_{12} \\ {\bar A}_{21} & {\bar A}_{22} \end{array}\right]} \end{array} }$

より

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \bar{A}_o=\underbrace{TA_oT^{-1} }_{\left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{o11} & {\bar A}_{o12} \\ {\bar A}_{o21} & {\bar A}_{o22} \end{array}\right]} =T(A-GC)T^{-1}\\ =\underbrace{TAT^{-1}}_{ \left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{11} & {\bar A}_{12} \\ {\bar A}_{21} & {\bar A}_{22} \end{array}\right]} -\underbrace{TGCT^{-1}} _{\left[\begin{array}{cc} 0 & TG \end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{11} & * \\ {\bar A}_{21} & * \end{array}\right] \end{array} }$

すなわち ${\bar A}_{o11}={\bar A}_{11}$ であることに注意します。

●本文(4)の左右から、 $T^{-T}$ と $T^{-1}$ をかけて

$\displaystyle{(9)\quad \underbrace{T^{-T}PT^{-1}}_{\bar P}\cdot \underbrace{TA_oT^{-1}}_{\bar{A}_o} +\underbrace{T^{-T}A_o^TT^T}_{\bar{A}_o^T}\cdot \underbrace{T^{-T}PT^{-1}}_{\bar P} =-\underbrace{T^{-T}QT^{-1}}_{\bar Q} }$

また本文(5)の左から、 $T^{-T}$ をかけて

$\displaystyle{(10)\quad \underbrace{T^{-T}C^T}_{\bar{C}^T}F^T=\underbrace{T^{-T}PT^{-1}}_{\bar P}\underbrace{TB}_{\bar B} }$

を得ます。したがって、座標変換後も、本文(4)と(5)は同様に成り立ちます。

(9)において(6)と(8)を考慮すると

$\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} {\bar P}_{1} & 0 \\ 0 & {\bar P}_{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{o11} & {\bar A}_{o12} \\ {\bar A}_{o21} & {\bar A}_{o22} \ \end{array}\right] +\left[\begin{array}{cc} {\bar A}_{o11} & {\bar A}_{o12} \\ {\bar A}_{o21} & {\bar A}_{o22} \ \end{array}\right]^T \left[\begin{array}{cc} {\bar P}_{1} & 0 \\ 0 & {\bar P}_{2} \end{array}\right]\\ =- \left[\begin{array}{cc} \bar{Q}_{11} & \bar{Q}_{12} \\ \bar{Q}_{12}^T & \bar{Q}_{22} \end{array}\right] \end{array} }$

すなわち

$\displaystyle{(12)\quad \bar{P}_{1}{\bar A}_{o11}+{\bar A}_{o11}^T\bar{P}_{1}=-\bar{Q}_{11} }$

したがって、 ${\bar A}_{11}={\bar A}_{o11}$ は安定行列となります。

また(10)において(3)と(5)を考慮すると

$\displaystyle{(13)\quad \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & I_p \end{array}\right]}_{\bar{C}^T}F^T=\underbrace{\left[\begin{array}{cc} {\bar P}_{1} & 0 \\ 0 & {\bar P}_{2} \end{array}\right]}_{\bar P}\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 \\ {\bar B}_{2} \end{array}\right]}_{\bar B} }$

すなわち

$\displaystyle{(14)\quad F={\bar B}_{2}^T{\bar P}_{2} }$