出力FB型SM制御(p>m)

出力数>入力数の場合…Homework

[0] 制御対象の状態空間表現として次式を考えます。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (1.1) & \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ (1.2) & y(t)=Cx(t)\\ & (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, y(t)\in{\rm\bf R}^p, 1\le m\le p < n) \end{array} }$

ただし、 $f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^n$ はモデル誤差、非線形要素、外乱などの影響を表し、次のマッチング条件を満たすとします。

$\displaystyle{ \begin{array}{ll} (2.1) & f(t,x,u)=B\xi(t,x,u)\\ (2.2) & ||\xi(t,x,u)||<k_1||u||+\alpha(t,y)\quad(k_1<1)\\ & (f(t,x,y)\in{\rm\bf R}^n, \xi(t,x,u)\in{\rm\bf R}^m) \end{array} }$

これに対し、次のスイッチング関数を定義します。

$\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} s(t)=Fy(t)=\underbrace{FC}_{S}x(t)\\ (s(t)\in{\rm\bf R}^m, F\in{\rm\bf R}^{m\times p}) \end{array} }$

[1] 行列 $C$ を $\left[\begin{array}{cc} 0 & I_p \end{array}\right]$ の形にするために、座標変換

$\displaystyle{(4)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} N_c^T \\ C \\ \end{array}\right] }_{T_c} x(t) \Leftrightarrow x(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} N_c^T \\ C \\ \end{array}\right]^{-1} }_{T_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} }$

を行うと（ $N_c$ は $T_c$ を正則とする適当な行列）、次式を得ます。

$\displaystyle{(5.1)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}'(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{c11} & A_{c12} \\ A_{c21} & A_{c22} \\ \end{array}\right] }_{T_cAT_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} B_{c1}\\ B_{c2} \end{array}\right] }_{T_cB} \underbrace{(u(t)+\xi(t,x,u))}_{u'(t)}\\ (B_{c2}\in{\rm\bf R}^{p\times m}) \end{array} }$

$\displaystyle{(5.2)\quad y(t) = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & I_p \\ \end{array}\right] }_{CT_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} }$

$\displaystyle{(5.3)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{m\times n-p} & F \\ \end{array}\right] }_{FCT_c^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)} }$

● $B_{c2}\in{\rm\bf R}^{p\times m}$ を

$\displaystyle{(6)\quad T^TB_{c2}=\left[\begin{array}{c} 0_{p-m\times m}\\ B_2 \end{array}\right]\quad(B_{2}\in{\rm\bf R}^{m\times m}) }$

のように変換する直交行列 $T\in{\rm\bf R}^{p\times p}$ を用いて（ $B_2$ は正則行列）、座標変換

$\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & -B_{c1}(B_{c2}^TB_{c2})^{-1}B_{c2}^T \\ 0_{p\times n-p} & T^T \end{array}\right] }_{T_b} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{x'(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-p} & B_{c1}(B_{c2}^TB_{c2})^{-1}B_{c2}^T \\ 0_{p\times n-p} & T \end{array}\right] }_{T_b^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)}\\ (x''_1(t)\in{\rm\bf R}^{n-p},x''_2(t)\in{\rm\bf R}^{p},T\in{\rm\bf R}^{p\times p}) \end{array} }$

を行うと、次式を得ます。

$\displaystyle{(8.1)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x''_1(t)\\ \dot x''_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right] }_{(T_bT_c)A(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0_{n-p\times m}\\ B_2 \end{array}\right] }_ {(T_bT_c)B} u'(t)\\ }$

$\displaystyle{(8.2)\quad y(t) = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & T \\ \end{array}\right] }_{C(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)} }$

$\displaystyle{(8.3)\quad \begin{array}{l} s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{m\times n-p} & FT \\ \end{array}\right] }_{FC(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} 0_{m\times n-p} & F_1 & F_2 \\ \end{array}\right] }_{FC(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x''_1(t)\\ x''_2(t)\\ \end{array}\right] }_{x''(t)}\\ (FT=\left[\begin{array}{cc} F_1 & F_2 \end{array}\right], F_1\in{\rm\bf R}^{m\times p-m}, F_2\in{\rm\bf R}^{m\times m}) \end{array} }$

ここで、等価制御が存在する条件 ${\rm rank}\,SB=m$ は

$\displaystyle{(9)\quad {\rm rank}\,\underbrace{FCB}_{SB}={\rm rank}\,F\cdot C(T_bT_c)^{-1}\cdot (T_bT_c)B=F_2B_{2}=m }$

となります。以下では ${\rm rank}\,CB=m$ を仮定します。このとき $B_{2}$ の正則性から、正方行列 $F_2$ も正則となります。

[2] (7)では、 $x''(t)$ を $x_1(t)\in{\rm\bf R}^{n-p}$ と $x_2(t)\in{\rm\bf R}^p$ に分割していますが、(8.1)と(8.3)に対するSM標準形を得るために、 $x''(t)$ を $\tilde{x}''_1(t)\in{\rm\bf R}^{n-m}$ と $\tilde{x}''_2(t)\in{\rm\bf R}^{m}$ に分割し直して、座標変換

$\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tilde{x}''_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\tilde{x}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ F_1C' & F_2 \\ \end{array}\right] }_{T_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tilde{x}''_1(t)\\ \tilde{x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tilde{x}''_1(t)\\ \tilde{x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -F_2^{-1}F_1C' & F_2^{-1} \end{array}\right] }_{T_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tilde{x}''_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\tilde{x}''(t)}\\ (C'=\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p} & I_{p-m} \end{array}\right]) \end{array} }$

を行うと、次式を得ます。

$\displaystyle{(11)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\tilde{x}}''_1(t)\\ \dot{s}(t) \end{array}\right] }_{\dot{\tilde{x}}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \tilde{A}_{11} & \tilde{A}_{12} \\ \tilde{A}_{21} & \tilde{A}_{22} \end{array}\right] }_{\tilde{A}=(T_sT_bT_c)A(T_sT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \tilde{x}''_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\tilde{x}''(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \tilde{B}_2 \end{array}\right] }_{\tilde{B}=T_sT_bT_cB} u'(t) }$

ただし

$\displaystyle{(11')\quad \left\{\begin{array}{l} \tilde{A}_{11}=A_{11}-A_{12}M\quad(M=F_2^{-1}F_1C')\\ \tilde{A}_{12}=A_{12}F_2^{-1}\\ \tilde{A}_{21}=F_2(M\tilde{A}_{11}+A_{21}-A_{22}M)\\ \tilde{A}_{22}=F_2(M{A}_{12}+A_{22})F_2^{-1}\\ \tilde{B}_{2}=F_2B_2 \end{array}\right. }$

ここで、 $\tilde{A}_{11}$ を安定行列とすることができるかが問題となります。 $\tilde{A}_{11}$ は

$\displaystyle{(12)\quad \boxed{\tilde{A}_{11}=\underbrace{A_{11}}_{A'}-\underbrace{A_{12}}_{B'} \underbrace{F_2^{-1}F_1}_{K} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p} & I_{p-m} \end{array}\right]}_{C'}} }$

と書けるので、仮想システム

$\displaystyle{(13)\quad \begin{array}{l} \dot{w}(t)=A'w(t)+B'v(t)\\ z(t)=C'w(t)\\ (w(t)\in{\rm\bf R}^{n-m}, v(t)\in{\rm\bf R}^m, z(t)\in{\rm\bf R}^{p-m}) \end{array} }$

を出力フィードバック

$\displaystyle{(14)\quad v(t)=-Kz(t) }$

によって安定化する問題となります。そのためには(13)が可制御かつ可観測で、Kimura-Davisonの条件が成り立つことが必要です。

●(13)の可制御性については

$\displaystyle{(15)\quad \begin{array}{l} {\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-A & B \end{array}\right]& ={\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-(T_bT_c)A(T_bT_c)^{-1} & (T_bT_c)B \end{array}\right]\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{ccc} sI-A_{11} & -A_{12} & 0\\ -A_{21} & sI-A_{22} & B_2 \end{array}\right]\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-A_{11} & -A_{12} \end{array}\right]+m\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-A' & B' \end{array}\right]+m \end{array} }$

より、(1.1)が可制御であれば(13)も可制御となります。

●(13)の可観測性については、次式に基づいて検討します。

$\displaystyle{(16)\quad \begin{array}{l} {\rm rank} \left[\begin{array}{c} sI-A' \\ C' \end{array}\right]\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-A_{1111} & -A_{1112} \\ -A_{1121} & sI-A_{1122} \\ 0 & I_{p-m} \end{array}\right]\ (A'=A_{11}= \left[\begin{array}{cc} A_{1111} & A_{1112} \\ A_{1121} & A_{1122} \end{array}\right])\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{c} sI-A_{1111} \\ A_{1121} \end{array}\right]+p-m\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{c} sI-T_{obs}A_{1111}T_{obs}^{-1} \\ A_{1121} T_{obs}^{-1} \end{array}\right]+p-m\\ (T_{obs}A_{1111}T_{obs}^{-1}= \left[\begin{array}{cc} A_{11}^o & A_{12}^o \\ 0_{n-p-r\times r} & A_{22}^o \end{array}\right], A_{1121} T_{obs}^{-1}= \left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times r} & A_{21}^o \end{array}\right] )\\ ={\rm rank} \left[\begin{array}{cc} sI-A_{11}^o & -A_{12}^o \\ 0_{n-p-r\times r} & sI-A_{22}^o\\ 0_{p-m\times r} & A_{21}^o \end{array}\right]+p-m\\ ={\rm rank}(sI-A_{11}^o)+ \underbrace{{\rm rank}\left[\begin{array}{cc} sI-A_{22}^o\\ A_{21}^o \end{array}\right]}_{n-p-r}+p-m \end{array} }$

ここで、 $T_{obs}\in{\rm\bf R}^{n-p\times n-p}$ は、可観測標準形への変換行列です。このとき適当な $r>0$ に対して最終式の第２項が成り立ちます。したがって、一般には(13)の可観測性は成り立つとは言えないのですが、要は $\tilde{A}_{11}=A'-B'KC'$ を安定行列とできればよいので、この観点から調べていきます。

[3] 上の $T_{obs}$ を用いて、(8.1)に対して、座標変換

$\displaystyle{(17)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x'''_1(t)\\ x'''_2(t) \end{array}\right] }_{x'''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} T_{obs} & 0 & 0\\ 0 & I_{p-m} & 0 \\\hline 0 & 0 & I_m \end{array}\right] }_{T_a} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}''_1(t)\\ {x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}''_1(t)\\ {x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)}= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} T_{obs}^{-1} & 0 & 0\\ 0 & I_{p-m} & 0 \\\hline 0 & 0 & I_m \end{array}\right] }_{T_a^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x'''_1(t)\\ x'''_2(t) \end{array}\right] }_{x'''(t)}\\ (x'''_1(t)\in{\rm\bf R}^{n-m},x'''_2(t)\in{\rm\bf R}^{m}) \end{array} }$

を行うと、次式を得ます。

$\displaystyle{(18.1)\quad \boxed{\begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x'''_1(t)\\ \dot x'''_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}'''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc|c} A_{11}^o & A_{12}^o & A_{121}^m & A_{121}\\ 0_{n-p-r\times r} & A_{22}^o & A_{122}^m & A_{1221}\\ 0_{p-m\times r} & A_{21}^o & A_{22}^m & A_{1222}\\\hline A_{2120} & A_{2121} & A_{2122} & A_{22} \end{array}\right] }_{(T_aT_bT_c)A(T_aT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x'''_1(t)\\ x'''_2(t) \end{array}\right] }_{x'''(t)}\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0_{r\times m} \\ 0_{n-p-r\times m} \\ 0_{p-m\times m} \\\hline B_2 \end{array}\right] }_ {(T_aT_bT_c)B} u(t)\\ (A_{11}^o\in{\rm\bf R}^{r\times r},A_{22}^o\in{\rm\bf R}^{n-p-r\times n-p-r},A_{22}^m\in{\rm\bf R}^{p-m\times p-m}) \end{array}} }$

$\displaystyle{(18.2)\quad \boxed{\begin{array}{l} y(t) = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & T \\ \end{array}\right] }_{C(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} T_{obs}^{-1} & 0 & 0\\ 0 & I_{p-m} & 0 \\\hline 0 & 0 & I_m \end{array}\right] }_{T_a^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x'''_1(t)\\ x'''_2(t) \end{array}\right] }_{x'''(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & T \\ \end{array}\right] }_{C(T_aT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x'''_1(t)\\ x'''_2(t) \end{array}\right] }_{x'''(t)} \end{array}} }$

また、(12)より

$\displaystyle{(12')\quad \begin{array}{l} T_{a'}\tilde{A}_{11}T_{a'}^{-1}=T_{a'}(A'-B'KC')T_{a'}^{-1} \quad (T_{a'}= \left[\begin{array}{cc} T_{obs} & 0 \\ 0 & I_{p-m} \end{array}\right])\\ =T_{a'}A_{11}T_{a'}^{-1}-T_{a'}A_{12} K \left[\begin{array}{ccc} 0_{p-m\times r} & 0_{p-m\times n-p-r} & I_{p-m} \end{array}\right]T_{a'}^{-1}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{c|cc} A_{11}^o & A_{12}^o & A_{121}^m \\\hline 0_{n-p-r\times r} & A_{22}^o & A_{122}^m \\ 0_{p-m\times r} & A_{21}^o & A_{22}^m \end{array}\right]}_{T_{a'}A_{11}T_{a'}^{-1}} -\underbrace{\left[\begin{array}{ccc} A_{121}\\\hline A_{1221}\\ A_{1222} \end{array}\right]}_{T_{a'}A_{12}} \left[\begin{array}{ccc} 0_{p-m\times r} & 0_{p-m\times n-p-r} & K \end{array}\right]\\ = \left[\begin{array}{c|c} A_{11}^o & \left[\begin{array}{cc} A_{12}^o & A_{121}^m-A_{121}K \end{array}\right]\\\hline 0_{n-m-r\times r} & \left[\begin{array}{cc} A_{22}^o & A_{122}^m \\ A_{21}^o & A_{22}^m \end{array}\right] -\left[\begin{array}{c} A_{1221}\\ A_{1222} \end{array}\right] K\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p-r} & I_{p-m} \end{array}\right] \end{array}\right] \end{array} }$

を得るので、 $\tilde{A}_{11}$ の固有値は、 $A_{11}^o$ の固有値と

$\displaystyle{(19)\quad \begin{array}{l} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_{22}^o & A_{122}^m \\ A_{21}^o & A_{22}^m \end{array}\right]}_{A''} - \underbrace{\left[\begin{array}{c} A_{1221}\\ A_{1222} \end{array}\right]}_{B''} K \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p-r} & I_{p-m} \end{array}\right]}_{C''}\\ (A''\in{\rm\bf R}^{n-m-r\times n-m-r}, B''\in{\rm\bf R}^{n-m-r\times m}, C''\in{\rm\bf R}^{p-m\times n-m-r})\\ =\underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_{22}^o & A_{122}^m \\ A_{21}^o & A_{22}^m \end{array}\right]}_{A''} - \underbrace{\left[\begin{array}{cc} B''_1 & 0_{n-m-r\times m-m'} \end{array}\right]}_{B''T_m} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} K_1\\ K_2 \end{array}\right]}_{T_m^{-1}K} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p-r} & I_{p-m} \end{array}\right]}_{C''}\\ (T_m\in{\rm\bf R}^{m\times m}, B''_1\in{\rm\bf R}^{n-m-r\times m'}, K_1\in{\rm\bf R}^{m'\times p-m}, K_2\in{\rm\bf R}^{m-m'\times p-m})\\ =A''-B''_1K_1C'' \end{array} }$

の固有値の和となります。ここで、 ${\rm rank}B''={\rm rank}B''_1=m'$ を仮定しています。したがって、まず、 $A_{11}^o$ の固有値は左半平面にあることが前提となります。

●そこで、 $A''-B''_1K_1C''$ を安定行列とすることができるかを考えます。これは、（低次の）仮想システム

$\displaystyle{(20)\quad \begin{array}{l} \dot{w}'(t)=A''w'(t)+B''_1v(t)\\ z(t)=C''w'(t)\\ (w'(t)\in{\rm\bf R}^{n-m-r}, v(t)\in{\rm\bf R}^{m'}, z(t)\in{\rm\bf R}^{p-m}) \end{array} }$

を出力フィードバック

$\displaystyle{(21)\quad v(t)=-K_1z(t)\ }$

によって安定化するブレイクダウンした問題となります。そのためにはKimura-Davisonの条件

$\displaystyle{(22)\quad m'+p+r \ge n+1 }$

が成り立ち、(20)が可制御かつ可観測であることが必要です。後者については、補遺に示すように成り立ちます。ただし、これらは求解条件であって、具体的に $K_1$ を求めるアルゴリズムについては、状態フィードバックのように確立されたものがあるわけではありません。

ここまでの手順を、関数ca_form1としてプログラムすることにします。

[4] 以上の準備の下で、 $p>m$ の場合のSM制御則をどう決めるかを考えます。(8.3)で定義した、

$\displaystyle{(23)\quad FT=\left[\begin{array}{cc} F_1 & F_2 \end{array}\right] }$

から次式を得ます。

$\displaystyle{(24)\quad F=F_2\left[\begin{array}{cc} K & I_m \end{array}\right]T^T\quad(K=F_2^{-1}F_1) }$

ここで、 $K$ は(12)の $\tilde{A}_{11}$ が安定行列となるように決めますが、上で調べたように、 $\tilde{A}_{11}$ の固有値は、 $A_{11}^o$ の固有値と $A''-B''_1K_1C''$ の固有値の和です。そこで、 $A_{11}^o$ は安定行列であることが前提となります。一方 $K_1$ は $A''-B''_1K_1C''$ が安定行列となるように決め、

$\displaystyle{(25)\quad K=T_m \left[\begin{array}{cc} K_1\\ K_2 \end{array}\right] }$

のように構成します。ここで、 $K_2$ は任意でよく、また $T_m\in{\rm\bf R}^{m\times m}$ は(19)で定めた行列です。ちなみに $p=m$ の場合は、 $F_1$ は存在せず $F=F_2$ となり、 $\tilde{A}_{11}$ の固有値は $A_{11}^o$ の固有値だけとなります。

●以上では(8.1)に対して、座標変換(10)によって、(11)を得ていました。ここでは、(25)の $K=F_2^{-1}F_1$ を用いた次の座標変換を行います（ $\bar{x}''_1(t)={x}''_1(t)$ 、 $\bar{s}(t)=F_2^{-1}s(t)$ と置き換え、記法 $\tilde{(\cdot)}$ が $\bar{(\cdot)}$ に置き換わっています）。

$\displaystyle{(26)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ KC' & I_m \\ \end{array}\right] }_{\bar{T}_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}''_1(t)\\ {x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {x}''_1(t)\\ {x}''_2(t) \end{array}\right] }_{x''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ (C'=\left[\begin{array}{cc} 0_{p-m\times n-p} & I_{p-m} \end{array}\right]) \end{array} }$

を行うために、まず(26)を(8.1)に代入して

$\displaystyle{(27)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\bar{x}}''_1(t)\\ \dot{\bar{s}}(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}''(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{(T_bT_c)A(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{(T_bT_c)B} u'(t) \end{array} }$

左から $\bar{T}_s$ をかけて

$\displaystyle{(28)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\bar{x}}''_1(t)\\ \dot{\bar{s}}(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11}-A_{12}KC' & A_{12} \\ A_{21}-A_{22}KC' & A_{22} \end{array}\right] }_{(T_bT_c)A(\bar{T}_sT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} u'(t) \end{array} }$

すなわち、次式を得ます。

$\displaystyle{(29.1)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{\bar{x}}''_1(t)\\ \dot{\bar{s}}(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}''(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \end{array}\right] }_{\bar{A}=(\bar{T}_sT_bT_c)A(\bar{T}_sT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \bar{B}_2 \end{array}\right] }_{\bar{B}=\bar{T}_sT_bT_cB} u'(t) }$

$\displaystyle{(29.1')\quad \left\{\begin{array}{l} \bar{A}_{11}=A_{11}-A_{12}KC'\\ \bar{A}_{12}=A_{12}\\ \bar{A}_{21}=KC'\bar{A}_{11}+A_{21}-A_{22}KC'\\ \bar{A}_{22}=KC'{A}_{12}+A_{22}\\ \bar{B}_{2}=B_2 \end{array}\right. }$

$\displaystyle{(29.2)\quad \begin{array}{l} y(t) = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{p\times n-p} & T \\ \end{array}\right] }_{C(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} -TKC' & T \end{array}\right] }_{C(\bar{T}_sT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)} \end{array} }$

$\displaystyle{(29.3)\quad \begin{array}{l} s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0_{m\times n-p} & FT \\ \end{array}\right] }_{FC(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -KC' & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} 0_{m\times n-p} & F_1 & F_2 \\ \end{array}\right] }_{FC(T_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} I_{n-p}& 0 & 0\\ 0 & I_{p-m} & 0 \\\hline 0 & -K & I_m \end{array}\right] }_{\bar{T}_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} 0_{m\times n-p} & 0_{m\times p-m} & F_2 \\ \end{array}\right] }_{FC(\bar{T}_sT_bT_c)^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \bar{x}''_1(t)\\ \bar{s}(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}''(t)}\\ (FT=\left[\begin{array}{cc} F_1 & F_2 \end{array}\right], F_1\in{\rm\bf R}^{m\times p-m}, F_2\in{\rm\bf R}^{m\times m}) \end{array} }$

●ここからは出力FB型SM制御(p=m)の議論と同様にして、SM制御則として次式を考えます。

$\displaystyle{(30)\quad u(t)=-\gamma Fy(t)-\rho(t,y)\frac{Fy(t)}{||Fy(t)||}\quad(\gamma>\gamma_0) }$

ただし、

$\displaystyle{(31)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & \bar{B}_2^T \end{array}\right] }_{\bar{B}^T} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \end{array}\right] }_{P} =F \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} -TKC' & T \end{array}\right] }_{\bar{C}}\\ \Rightarrow \bar{B}_2^TP_2=F_2 }$

$\displaystyle{(32)\quad \rho(t,y)=\frac{k_1\gamma||Fy(t)||+\alpha(t,y)+\gamma_2}{1-k_1} }$

$\displaystyle{(33)\quad \begin{array}{l} \gamma_0=\frac{1}{2}\bar{\sigma}(F_2^{-T}(P_2\bar{A}_{22}+\bar{A}_{22}^TP_2\\ -(P_1\bar{A}_{12}+\bar{A}_{21}^TP_2)^T(P_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^TP_1)^{-1}(P_1\bar{A}_{12}+\bar{A}_{21}^TP_2))F_2^{-1}) \end{array} }$

●以上に基づく設計手順を、数値例で示します。

MATLAB

%ex1_of_sm.m
%-----
 clear all, close all
%(A,B,C)
 A=[ 0 1 0;
     0 0 1;
    -1 1/3 -1];
 B=[0; 1; 1];
 C=[1 8/3  1;
    4 2/3 -2];
 [nn,mm]=size(B);
 [pp,nn]=size(C); 
%-----
 [Af,Bf,Cf,r,Ta,Aa,Ba,Ca,Tb,T,Ac,Bc,Cc,Tc]=ca_form1(A,B,C)
%-----
 A11ti=Af(1:2,1:2);
 B1ti=Af(1:2,3);
 C1ti=[0,1];
 [Kopt,pl]=opt(A11ti,B1ti,C1ti,1,1)
 K=Kopt/C1ti %-1.0556
 A11bar=A11ti-B1ti*K*C1ti;
 lambda=eig(A11bar)
 Q1=eye(2,2); 
 P1=lyap(A11bar',Q1);
% 
 P2=1;
 B2=Ba(3,1);
 F2=B2'*P2; %-3.9016
 F=F2*[K 1]*T'
%
 Tbar=[eye(nn-mm) zeros(nn-mm,mm);
       K*C1ti eye(mm)];
 Abar=Tbar*Aa*inv(Tbar);  
 A12bar=Abar(1:2,3);
 A21bar=Abar(3,1:2);
 A22bar=Abar(3,3); 
 Q2=P1* A12bar+A21bar'*P2;
 Q3=P2* A22bar+A22bar'*P2; 
 W=inv(F2)'*(Q3+Q2'*inv(Q1)*Q2)*inv(F2);
 gamma0=0.5*norm(W) %0.2452
%-----
%eof

図1 出力FB型SM制御のシミュレーション例

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

出力FB型SM制御(p>m)