出力FB型SM制御(p=m)

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出力数＝入力数の場合…Homework

これまでは、SM制御則の線形制御部を状態フィードバックの形で求めていましたが、以下では出力フィードバックに置き換えることを検討していきます。

[1] 制御対象の状態空間表現として次式を考えます。

\displaystyle{ \begin{array}{ll} (1.1) & \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+f(t,x,u)\\ (1.2) & y(t)=Cx(t)\\ & (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, y(t)\in{\rm\bf R}^p, 1\le \boxed{m=p} < n) \end{array} }

ただし、f(t,x,u)\in{\rm\bf R}^nはモデル誤差、非線形要素、外乱などの影響を表し、次のマッチング条件を満たすとします。

\displaystyle{ \begin{array}{ll} (2.1) & f(t,x,u)=B\xi(t,x,u)\\ (2.2) & ||\xi(t,x,u)||<k_1||u||+\alpha(t,y)\quad(k_1<1)\\ & (f(t,x,y)\in{\rm\bf R}^n, \xi(t,x,u)\in{\rm\bf R}^m) \end{array} }

これに対し、次のスイッチング関数を定義します。

\displaystyle{(3)\quad \boxed{s(t)=Fy(t)}\quad(s(t)\in{\rm\bf R}^m, F\in{\rm\bf R}^{m\times m}) }

●状態方程式(1.1)は次のSM標準形をとるように座標変換されているとします(Note C22-1参照)。

\displaystyle{(4.1)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot x_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} \underbrace{(u(t)+\xi(t,x,u))}_{u'(t)}\\ (x_1(t)\in{\rm\bf R}^{n-m}, x_2(t)\in{\rm\bf R}^m, B_2\in{\rm\bf R}^{m\times m}) \end{array} }

これに対応して、観測方程式(1.2)も次のように表しておきます。

\displaystyle{(4.2)\quad y(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C_{1} & C_{2} \\ \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)}\quad (y(t)\in{\rm\bf R}^m, C_2\in{\rm\bf R}^{m\times m}) }

すなわち、以下では行列A,B,Cは(4.1)と(4.2)のような分割をもつとします。

●スイッチング関数(3)を

\displaystyle{(5)\quad s(t)=Fy(t)=F \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} C_{1} & C_{2} \\ \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} =\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} FC_{1} & FC_{2} \\ \end{array}\right] }_{S=FC} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} }

と表すと、等価制御が存在する前提条件{\rm rank}\,SB=mは

\displaystyle{(6)\quad {\rm rank}\,\underbrace{FCB}_{SB}={\rm rank}\,FC_2B_2=m }

となります。以下では{\rm rank}\,CB=mを仮定します。このとき、正方行列F,C_2,B_2はすべて正則となります。

[2] (4.1)に対して、座標変換

\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ C_1 & C_2 \\ \end{array}\right] }_{T_y} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m}& 0 \\ -C_2^{-1}C_1 & C_2^{-1} \end{array}\right] }_{T_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} \end{array} }

を行うために、まず(7)を(4.1)に代入して（M=C_2^{-1}C_1）

\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ -M & C_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{T_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}(t)}\\ = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ -M & C_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{T_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} u'(t) \end{array} }

を得て、左からT_yをかけて

\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ C_1 & C_2 \\ \end{array}\right] }_{T_y} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A_{11}-A_{12}M & A_{12}C_2^{-1} \\ A_{21}-A_{22}M & A_{22}C_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{AT_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)}\\ + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I_{n-m} & 0 \\ C_1 & C_2 \\ \end{array}\right] }_{T_y} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ B_2 \end{array}\right] }_{B} u'(t) \end{array} }

すなわち、次式を得ます。

\displaystyle{(10)\quad \boxed{ %\begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot y(t) \end{array}\right] }_{\dot{\bar{x}}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22}\\ \end{array}\right] }_{\bar{A}=T_y A T_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ \bar{B}_2 \end{array}\right] }_{\bar{B}=T_yB} u'(t) %\end{array} }}

ただし

\displaystyle{(10')\quad \left\{\begin{array}{l} \bar{A}_{11}=A_{11}-A_{12}M\quad(M=C_2^{-1}C_1)\\ \bar{A}_{12}=A_{12}C_2^{-1}\\ \bar{A}_{21}=C_2(M\bar{A}_{11}+A_{21}-A_{22}M)\\ \bar{A}_{22}=C_2(M{A}_{12}+A_{22})C_2^{-1}\\ \bar{B}_{2}=C_2B_2 \end{array}\right. }

また、(4.2)と(3)は、次式のように表せます。

\displaystyle{(11)\quad \boxed{y(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & I_{m} \\ \end{array}\right] }_{\bar{C}=CT_y^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)}} }

\displaystyle{(12)\quad \boxed{s(t)=Fy(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & F \\ \end{array}\right] }_{F\bar{C}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ y(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)}} }

ここで、\bar{A}_{11}=A_{11}-A_{12}Mの固有値が (A,B,C)の不変零点に等しく、スライディングモードの振舞いを決めます。しかし、M=C_2^{-1}C_1ですから、Mには選択の自由度がないことに注意します。

[3] 以下では、(10),(11),(12)を考えますが、煩雑さを避けるために\bar{A}、\bar{B}、\bar{C}、\bar{x}のバーをとって記述します。

●さて、出力FB型のＳＭ制御則として次式を考えます。

\displaystyle{(13)\quad \boxed{ u(t)=-\gamma Fy(t)\underbrace{-\rho(t,y)\frac{Fy(t)}{||Fy(t)||}}_{\nu_c(t)}\quad(\gamma>\gamma_0) }}

ここで、\gammaと\rho(t,y)は設計パラメータ、\gamma_0は後で示す定数です。

これによる閉ループ系は、(13)を(4.1)に代入して、次式となります。

\displaystyle{(14)\quad \dot{x}(t)=(A-\gamma BFC)x(t)+B(-\rho(t,y)\frac{Fy(t)}{||Fy(t)||}+\xi(t,x,y)) }

●このとき、SM制御則(13)を、２次安定性

\displaystyle{(15)\quad \boxed{ V(x)=x(t)^TPx(t) \Rightarrow \dot{V}(x)\le -x(t)^TL(\gamma)x(t)} }

が成り立つように決定します（P>0, L(\gamma)>0）。ただし、次式を仮定します。

\displaystyle{(16)\quad B^TP=FC }
\displaystyle{(17)\quad \rho(t,y)=\frac{k_1\gamma||Fy(t)||+\alpha(t,y)+\gamma_2}{1-k_1} }

また、(17)と(13)から次式が得られることに注意します。

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (18.1) &\rho(t,y)=k_1(\gamma||Fy(t)||+\rho(t,y))+\alpha(t,y)+\gamma_2\\ \Downarrow & using\ ||u(t)||\le \gamma||Fy(t)||+\rho(t,y)\\ (18.2) & \ge k_1||u(t)||+\alpha(t,y)+\gamma_2\\ \end{array} }

●これらの準備の下で、(15)が次のように示されます。

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (19.1) & \dot{V}(x)=2x(t)^TP\dot{x}(t)\\ (19.2) & =2x^T(t)P((A-\gamma BFC)x(t)+B(-\rho(t,y)\frac{Fy(t)}{||Fy(t)||}+B\xi(t,x,u))\\ (19.3) & =x^T(t)\underbrace{(P(A-\gamma BFC)+(A-\gamma BFC)^TP)}_{L(\gamma)}x(t)\\ & -2x^T(t)\underbrace{PB}_{C^TF^T}\rho(t,y)\frac{Fy(t)}{||Fy(t)||}+2x^T(t)\underbrace{PB}_{C^TF^T}\xi(t,x,u))\\ (19.4) & =-x^T(t)L(\gamma)x(t)-2\rho(t,y)||Fy(t)||+2(Fy(t))^T\xi(t,x,u)\\ \Downarrow & by\ (Fy(t))^T\xi(t,x,u)\le||Fy(t)||\cdot||\xi(t,x,u)||\\ (19.5) & \le -x^T(t)L(\gamma)x(t)-2\rho(t,y)||Fy(t)||+2||Fy(t)||\cdot||\xi(t,x,u)||\\ (19.6) & = -x^T(t)L(\gamma)x(t)-2||Fy(t)||(\rho(t,y)-||\xi(t,x,u)||)\\ \Downarrow & by\ (2.2):||\xi(t,x,u)||<k_1||u||+\alpha(t,y)\quad(k_1<1)\\ (19.7) & \le -x^T(t)L(\gamma)x(t)-2||Fy(t)||(\rho(t,y)-k_1||u||-\alpha(t,y))\\ \Downarrow & by\ (18):\rho(t,y)\ge k_1||u(t)||+\alpha(t,y)+\gamma_2\\ (19.8) & \le -x^T(t)L(\gamma)x(t)-2\gamma_2||Fy(t)||\\ (19.9) & \le -x^T(t)L(\gamma)x(t) \end{array} }

●ここで、次式を示すことができします。

\displaystyle{(20)\quad \boxed{L(\gamma)=\underbrace{P(A-\gamma BFC)+(A-\gamma BFC)^TP}_{PA+A^TP-2\gamma (FC)^TFC}<0 \Leftrightarrow \gamma>\gamma_0} }

実際、左辺は

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (21.1) & L(\gamma)=PA+A^TP-2\gamma (FC)^TFC\\ (21.2) & =\underbrace{\left[ \begin{array}{cc} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \\ \end{array}\right]}_{P} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right]}_{A} + \underbrace{\left[\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \\ \end{array}\right]^T}_{A^T} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} P_1 & 0 \\ 0 & P_2 \\ \end{array}\right]}_{P}\\ &-2\gamma \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & F \\ \end{array}\right]^T}_{(FC)^T} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & F \\ \end{array}\right]}_{FC}\\ (21.3) & =\left[ \begin{array}{cc} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1 & P_1A_{12}+A_{21}^TP_2 \\ (P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T & P_2A_{22}+A_{22}^TP_2 \\ \end{array}\right] -2\gamma \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & F^TF \\ \end{array}\right]\\ (21.4) & =\left[\begin{array}{cc} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1 & P_1A_{12}+A_{21}^TP_2 \\ (P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T & P_2A_{22}+A_{22}^TP_2-2\gamma F^TF \\ \end{array}\right]<0 \end{array} }

となり、これは公式

\displaystyle{(22)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{cc} X & Z \\ Z^T & Y \end{array}\right]<0\\ \ \Leftrightarrow\ X-ZY^{-1}Z^T<0,\ Y<0 \\ \ \Leftrightarrow\ X<0,\ Y-Z^TX^{-1}Z<0 \end{array} }

を用いて、以下と等価になります。

\displaystyle{ \begin{array}{cl} (23.1) & \left\{\begin{array}{l} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1<0\\ P_2A_{22}+A_{22}^TP_2 -2\gamma F^TF-(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T\\ \times(P_1A_{11}+A_{11}^TP_1)^{-1}(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)<0 \end{array}\right.\\ (23.2) & \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1<0\\ P_2A_{22}+A_{22}^TP_2 -(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T\\ \times(P_1A_{11}+A_{11}^TP_1)^{-1}(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)<2\gamma F^TF \end{array}\right.\\ (23.3) & \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1<0\\ F^{-T}(P_2A_{22}+A_{22}^TP_2 -(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T\\ \times(P_1A_{11}+A_{11}^TP_1)^{-1}(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2))F^{-1}<2\gamma I \end{array}\right.\\ (23.4) & \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} P_1A_{11}+A_{11}^TP_1<0\quad(*)\\ \underbrace{\begin{array}{l} \frac{1}{2}\bar{\sigma}(F^{-T}(P_2A_{22}+A_{22}^TP_2 -(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2)^T\\ \times(P_1A_{11}+A_{11}^TP_1)^{-1}(P_1A_{12}+A_{21}^TP_2))F^{-1}) \end{array} }_{\gamma_0}<\gamma \end{array}\right. \end{array} }

ここで、(*)は仮定より満足されるので、\gamma>\gamma_0がL(\gamma)>0となるための条件となることが分かります。