行列の記法

投稿日時: 投稿者:

行列の記法

●実数の集合: {\rm\bf R}
●実ベクトル: x\in{\rm\bf R}^n
例) \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x_1\\ x_2 \end{array}\right] }_{x} \in{\rm\bf R}^2

●実行列: A\in{\rm\bf R}^{m\times n}
●サイズm\times nの行列: A(m\times n)
例1) A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right](fat)
例2) A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right](tall)

●サイズm\times nの零行列: 0_{m\times n}
例) 0_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

●n次の正方行列: A(n\times n)
例) A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]

●n次の単位行列: I_n
例) I_2:=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]

●n次の対角行列
例) {\rm diag}\{d_1,d_2\}:=\left[\begin{array}{cc} d_{1} & 0 \\ 0 & d_{2} \end{array}\right]

以下では、次の行列AとBを考えます。

A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]

●行列の和と差
例) A\pm B=\left[\begin{array}{cc} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} \\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} \end{array}\right]

●行列の積
例) AB=\left[\begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array}\right]
●一般には、AB\ne BA

●行列のスカラ倍
例) \alpha A=\left[\begin{array}{cc} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} \end{array}\right]

●正方行列のn乗
例) A^2=A A

●行列の転置: A^T
例) A^T=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right]
●(AB)^T=B^TA^T

●行列のクロネッカ積
例) A\bigotimes B = \left[\begin{array}{cc} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array}\right]

●正方行列のトレース: {\rm tr} A
例) {\rm tr} A=a_{11}+a_{22}

●正方行列の行列式: \det A
例) \det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
●\det(AB)=\det A\det B

●正則行列: \det A\ne0を満足する正方行列A
●特異行列: \det A=0を満足する正方行列A
●正則行列Aの逆行列: AX=XA=I_nを満足する正則行列X=A^{-1}
例) A^{-1}=\frac{1}{\det A} \left[\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{array}\right]\ (\det A\ne0)
●(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

行列の階数

●not(P\Rightarrow Q)\quad \Leftrightarrow\quad {P\ and\ not(Q)}
●P\Rightarrow Q\quad \Leftrightarrow\quad not(Q)\Rightarrow not(P)

●ベクトルv_1,v_2は線形独立（１次独立）:
\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=0 \Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=0
●ベクトルv_1,v_2は線形独立でない（１次独立でない）: \alpha_1v_1+\alpha_2v_2=0 \quad (\alpha_1\ne0\ or\ \alpha_2\ne0)

●行列Aの階数: {\rm rank} A
列（行）ベクトルのうち線形独立（１次独立）なベクトルの個数
例1) 横長(fat)行列が行フルランク(row full rank)
\displaystyle{{\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] ={\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right] \end{array}\right]}
例2) 縦長(tall)行列が行フルランク(column full rank)
\displaystyle{{\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right] ={\rm rank}\left[\begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{array}\right] \end{array}\right]}

●線形方程式（連立１次方程式）: A(n\times n)x(n\times 1)=b(n\times 1)
例) \left\{\begin{array}{cc} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array}\right] }_{x} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b_1 \\ b_2 \end{array}\right] }_{b}
●Aが正則行列のとき、Ax=bの解はx=A^{-1}bとして一意に定まります。

●命題１：\det A\ne0\Leftrightarrow {\rm rank}A=n\ (Ax=0 \Rightarrow x=0)
この対偶をとって
●命題２：\det A=0\Leftrightarrow {\rm rank}A<n\ (Ax=0, x\ne0)

命題１⇒は、次から明らかです。
\det A\ne0 \Rightarrow (Ax=0\Rightarrow x=A^{-1}0=0)\Rightarrow {\rm rank}A=n
命題１⇒の逆は、命題２⇒が次のように示されることから出ます。
\det A=0 \Rightarrow (Ax=0, x\ne0)\Rightarrow {\rm rank}A<n

●シルベスターの不等式(nはAの列数＝Bの行数)
{\rm rank}A+{\rm rank}B-n\le{\rm rank}AB\le{\rm min}\{{\rm rank}A,{\rm rank}B\}