可安定性と可制御性

可安定性と可制御性…Homework

[1]　ある平衡状態周りの挙動が線形状態方程式

$\displaystyle{(1)\quad \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\quad(x(t)\in{\rm\bf R}^n,u(t)\in{\rm\bf R}^m) }$

で表される制御対象に対して、状態フィードバック

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=-Fx(t) }$

による閉ループ系

$\displaystyle{(3)\quad \dot{x}(t)=(A-BF)x(t) }$

を安定化できる条件について調べます。

●状態フィーバックにより安定化できることを可安定性と言います。

【可安定性の定義とその等価な条件】

定義DS:　状態フィードバックにより安定化可能

条件S1:　 ${\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

条件S2:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての不安定固有値)

証明はあとで述べますが、可安定性の判定は行列 $A$ と $B$ を用いて行われるので、可安定性が成り立つとき、対 $(A,B)$ は可安定対という言い方をします。

●可安定性の十分条件として次の可制御性が知られています。

【可制御性の定義とその等価な条件】

定義DC:　任意初期状態を，任意有限時間内に，任意状態に移動可能

条件C1:　 $\displaystyle{\int_0^t \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau>0 \quad (\forall t>0)}$

条件C2:　 $\boxed{{\rm rank}\, \left[\begin{array}{cccc} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}\right]=n}$

条件C3:　 $F$ を選んで， $A-BF$ の固有値を任意に設定可能

条件C4:　 $\boxed{{\rm rank}\, \left[\begin{array}{cc} B & A-\lambda I_n \end{array}\right] =n}$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

条件C5:　 $B^Tw=0,\ A^Tw=\lambda w \Rightarrow w=0$ 　( $\lambda$ は $A$ のすべての固有値)

可制御性の判定も行列 $A$ と $B$ を用いて行われるので、可制御性が成り立つとき、対 $(A,B)$ は可制御対という言い方をします。条件C1の積分式を可制御性グラミアン行列、条件C2の行列を可制御性行列と呼びます。また条件C4を満足する $A$ の固有値を $\lambda$ は可制御固有値、満足しない固有値を不可制御固有値と呼びます。

[2]　以下では、可制御性の条件について、まず
　定義DC $\Leftrightarrow$ 条件C1 $\Leftrightarrow$ 条件C2
を証明します。特に、命題 $P\Rightarrow Q$ を証明するのに、
　 $not(P\Rightarrow Q)\quad \Leftrightarrow\quad P\ and\ not(Q)$
を用いて矛盾が出ることを示していることに注意してください。

●＜定義C0 $\Rightarrow$ 条件C1＞　ある時刻 $t$ で可制御性グラミアン行列が正定でないとします。このとき， $n$ 次元ベクトル $w\ne0$ が存在して

${\displaystyle{(4)\quad w^T\left(\int_0^t \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau\right)w=0 }$

が成り立ちます。これより

${\displaystyle{(5)\quad \int_0^t ||B^T\exp(A^T\tau)w||^2\,d\tau=0 \\ \Rightarrow w^T\exp(A\tau)B=0\ (0\le \tau\le t) }$

を得ます。いま，初期状態 $x(0)$ を $x(t)=0$ に移すことを考えると

${\displaystyle{(6)\quad 0=\exp(At)x(0)+\int_0^{t} \exp(A(t-\tau))Bu(\tau)\,d\tau }$

と書けます。ここで，変数変換により

${\displaystyle{(7)\quad \int_0^{t} \exp(A(t-\tau))Bu(\tau)\,d\tau= \int_0^{t} \exp(A\tau)Bu(t-\tau)\,d\tau }$

となることに注意して，(6)の左から $w^T$ をかけると

${\displaystyle{(8)\quad w^T\exp(At)x(0)=0 }$

を得ます。ここで， $x(0)=\exp(-At)w$ のとき $w=0$ となり，矛盾が生じます。よって条件C1が成り立ちます。

●＜定義DC $\Leftarrow$ 条件C1＞　(1)に対して， $0\le \tau\le t$ において，入力を

${\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} u(\tau) =B^T\exp(A^T(t-\tau)) \\ \times \displaystyle{\left(\int_0^{t} \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau\right)^{-1}} (x^*-\exp(At)x(0)) \end{array} }$

と定めれば，初期状態 $x(0)$ が移される先の状態 $x(t)$ は、(9)を(1)の解

${\displaystyle{(10)\quad x(t)=\exp(At)x(0)+\int_0^{t} \exp(A(t-\tau))Bu(\tau)\,d\tau }$

に代入して，次式に注意すれば， $x^*$ と計算されます。

${\displaystyle{(11)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\int_0^{t} \exp(A(t-\tau))BB^T\exp(A^T(t-\tau))\,d\tau} \nonumber \\ =\displaystyle{\int_0^{t} \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau} \end{array} }$

以上で， $t,x(0),x^*$ は任意であるので、定義DCを得ていることになります。

●＜条件C1 $\Rightarrow$ 条件C2＞　可制御性行列は行フルランク(行数に等しい階数)とはならないとすします。このとき，ある $n$ 次元ベクトル $w\ne0$ が存在して

${\displaystyle{(12)\quad w^T\, [\begin{array}{cccc} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{array}]=0 }$

が成り立ちます。ケーリー・ハミルトンの定理を用いて

${\displaystyle{(13)\quad w^TA^iB=0\quad (\forall i\ge 0) }$

したがって

${\displaystyle{(14)\quad w^T\exp(A\tau)B=0 }$

が成り立ちます。これより，ある時刻 $t$ に対して

${\displaystyle{(15)\quad w^T\left(\int_0^t \exp(A\tau)BB^T\exp(A^T\tau)\,d\tau \right)w=0 }$

を得ますが，これは条件C1と矛盾です。よって条件C2が成り立ちます。

●＜条件C1 $\Leftarrow$ 条件C2＞　ある時刻 $t$ で可制御性グラミアン行列が正定でないとします。このとき， $w\ne0$ に対して(14)が成り立ちます。この第 $i$ 回微分を求めて， $t=0$ とおくと

${\displaystyle{(16)\quad w^TA^iB=0\quad (i=0,1,\cdots,n-1) }$

これより，(12)を得ますが，これは条件C2と矛盾しています。よって条件C1が成り立ちます。

●あとで＜条件C3 $\Rightarrow$ 条件C4 $\Leftrightarrow$ 条件C5 $\Rightarrow$ 条件C2＞を可制御標準形を求めて、＜条件C2 $\Rightarrow$ 条件C3＞を可制御正準形を求めて示します。

●上の可制御性と可安定性のさまざまな条件のうち、理論展開では条件C5と条件S2が、数値計算では条件C4と条件S1がよく用いられます。特に、条件C5と条件S2による判定法は、PBH(Popov-Blevitch-Hautus)法と呼ばれています。

演習 A32-1…Flipped Classroom

次のコードは、PBH法の骨格となる部分を示している。これを実行して得られる変数contとstabの解釈を行え。

MATLAB

%a32_1.m
%-----
 clear all, close all
 A=[0 0;0 -1]; B=[1;0]; 
 n=size(A,1);
 r=eig(A);
%----- 
 cont=[];
 for i=1:n
   w1=rank([B A-r(i)*eye(n)]);
   w2=min(svd([B A-r(i)*eye(n)])); 
   cont=[cont; i,r(i),w1,w2];
 end
 cont
%-----
stab=[];
 for i=1:n
   if real(r(i))>=0  
     w1=rank([B A-r(i)*eye(n)]);
     w2=min(svd([B A-r(i)*eye(n)])); 
     stab=[stab; i,r(i),w1,w2];
   end 
 end
 stab
%-----
%eof

演習 A32-2…Flipped Classroom

倒立振子CIP、CIP2、AIP、PIP、DIPの可制御性を調べよ。

MATLAB

%lPIP.m
%-----
 clear all, close all
 global mc m1 m2 ell1 ell2 g th10 th20
 mc=1; m1=0.1; m2=0.2; ell1=0.15; ell2=0.2; g=9.8;
%----- 線形化
 A=[zeros(3,3) eye(3);zeros(3,6)];
 A(4,1)=0; 
 A(4,2)=-3*m1*g/(m1+m2+4*mc); 
 A(4,3)=-3*m2*g/(m1+m2+4*mc);  
 A(5,1)=0; 
 A(5,2)=(12*m1+3*m2+12*mc)*g/((4*m1+4*m2+16*mc)*ell1);  
 A(5,3)=9*m2*g/((4*m1+4*m2+16*mc)*ell1);   
 A(6,1)=0; 
 A(6,2)=9*m1*g/((4*m1+4*m2+16*mc)*ell2);  
 A(6,3)=(3*m1+12*m2+12*mc)*g/((4*m1+4*m2+16*mc)*ell2);   
 B=zeros(6,1);
 B(4)=4/(m1+m2+4*mc);
 B(5)=-3/((m1+m2+4*mc)*ell1);
 B(6)=-3/((m1+m2+4*mc)*ell2); 
%----- 可制御性
 n=size(A,1);
 r=eig(A);
 cont=[];
 for i=1:n
   w1=rank([B A-r(i)*eye(n)]);
   w2=min(svd([B A-r(i)*eye(n)])); 
   cont=[cont; i,r(i),w1,w2];
 end
 cont
%-----
%end

Note A32　可制御性は状態フィードバックにより不変

$(A,B)$ が可制御対ならば $(A-BF,B)$ も可制御対であることは次のように証明されます。