１次系の追値制御

１次系の追値制御…Homework

[1] 定値外乱 $w$ をもつ１次系

$\displaystyle{(1)\quad \boxed{\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)+w}}$

を考えます。これに状態フィードバック

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=-fx(t)}$

を行うと、閉ループ系は

$\displaystyle{(3)\quad \dot{x}(t)=(a-bf)x(t)+w}$

となります。この時間応答は

$(4)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{x(t)=e^{(a-bf)t}x(0)+\int_0^t e^{(a-bf)(t-\tau)}w\,d\tau}\\ \displaystyle{=e^{(a-bf)t}x(0)+\left[\frac{1}{-(a-bf)}e^{(a-bf)(t-\tau)}w\right]_0^t}\\ \displaystyle{=e^{(a-bf)t}x(0)+\frac{w}{-(a-bf)}(1-e^{(a-bf)t})}\\ \displaystyle{\rightarrow \frac{w}{-(a-bf)}\ne 0 \quad (t\rightarrow\infty)} \end{array}$

となり、平衡状態への復帰はできないことがわかります。そこで、フィードフォワード項をもつ状態フィードバック

$\displaystyle{(5)\quad u(t)=-fx(t)+v(t)}$

を行うと、閉ループ系は

$\displaystyle{(6)\quad \dot{x}(t)=(a-bf)x(t)+bv(t)+w,\ a-bf<0}$

となり、この時間応答は

$\displaystyle{(7)\quad x(t)=e^{(a-bf)t}x(0)+\int_0^t e^{(a-bf)\tau} \underbrace{(bv(t)+w)}_{to\ be\ 0}\,dt}$

で表されます。ここで、フィードフォワード項を

$\displaystyle{(8)\quad v(t)=-\frac{1}{b}w}$

と定めれば、定値外乱の影響を除去できます。しかしながら、ここでは外乱は一定であることはわかっているが、その値までは分からないと仮定して話を進めていきます。したがって、外乱の値 $w$ を推定する仕組みを工夫する必要があります。

●いま、その仕組みとして、積分動作

$\displaystyle{(9)\quad \dot{x}_I(t)=x(t)\quad (x_I(0)=0)}$

を加えた状態フィードバック

$\displaystyle{(10)\quad {u(t)=-fx(t)\underbrace{-f_Ix_I(t)}_{+v(t)}=-fx(t)-f_I\int_0^tx(\tau)d\tau}}$

を考えます。これによる閉ループ系は

$\displaystyle{(11)\quad {\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} w \\ 0 \end{array}\right] }_{w_E}} }$

となります。ここで、 $A_{EF}$ の特性方程式は

$\displaystyle{(12)\quad {\rm det}(\lambda I_2-A_{EF})=\lambda^2-\underbrace{(a-bf)}_{<0}\lambda+bf_I}=0$

ですが、その解が複素左半平面に含まれるように、 $f$ と $f_I$ を適切に選んでおきます。

＜このパートは最初は読み飛ばして結構です＞
このとき閉ループ系の時間応答は、 $A_{EF}$ が正則行列なので

$\displaystyle{(13)\quad \int\exp(A_{EF}t)\,dt=A_{EF}^{-1}\exp(A_{EF}t)=\exp(A_{EF}t)A_{EF}^{-1}}}$

に注意して、次のように計算できます。

$(14)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{x_E(t)=\exp(A_{EF}t)x_E(0)+\int_0^t\exp(A_{EF}(t-\tau))w_E\,d\tau}\\ \displaystyle{=\exp(A_{EF}t)x_E(0)+\left[-\exp(A_{EF}(t-\tau))A_{EF}^{-1}w_E\right]_0^t}\\ \displaystyle{=\exp(A_{EF}t)x_E(0)-(I_2-\exp(A_{EF}t))A_{EF}^{-1}w_E}\\ \displaystyle{=\exp(A_{EF}t)(x_E(0)+A_{EF}^{-1}w_E)-A_{EF}^{-1}w_E}\\ \displaystyle{\rightarrow -A_{EF}^{-1}w_E \quad (t\rightarrow\infty)} \end{array}$

したがって、 $t\rightarrow\infty$ のとき、次式が成り立ちます。

$(15)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \rightarrow - \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} w \\ 0 \end{array}\right]}\\ \displaystyle{ = -\frac{1}{bf_I} \left[\begin{array}{cc} 0 & bf_I \\ -1 & a-bf \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} w \\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \frac{1}{bf_I}w \end{array}\right]} \end{array}$

$\displaystyle{(16)\quad u(t)\rightarrow-fx(\infty)-f_Ix_I(\infty)=-\frac{1}{b}w}$

すなわち、積分動作をもつ状態フィードバック(10)により、定値外乱の影響を受けずに、平衡状態に復帰できていることが確かめられます。

●定値外乱 $w$ をもつ１次系(1)に対して、制御目的

$\displaystyle{(17)\quad \boxed{x(t)-r_c\rightarrow 0\quad(t\rightarrow\infty)}}$

を達成するために（ $r_c$ は目標値）、上述の積分動作を次のように変えてみます。

$\displaystyle{(18)\quad \boxed{\dot{x}_I(t)=x(t)-r_c\quad (x_I(0)=0)}}$

これを加えた状態フィードバック

$\displaystyle{(19)\quad \boxed{u(t)=-fx(t)\underbrace{-f_Ix_I(t)}_{+v(t)}=-fx(t)-f_I\int_0^t(x(\tau)-r_c)d\tau} }$

による閉ループ系は

$\displaystyle{(20)\quad \boxed{\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right] }_{w_E}} }$

となるので、 $t\rightarrow\infty$ のとき、次式が成り立ちます。

$\displaystyle{(21)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \rightarrow - \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right]}\\ \displaystyle{= -\frac{1}{bf_I} \left[\begin{array}{cc} 0 & bf_I \\ -1 & a-bf \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} r_c \\ \frac{1}{bf_I}w+\frac{a-bf}{bf_I}r_c \end{array}\right]} \end{array} }$

$\displaystyle{(22)\quad u(t) \rightarrow -f\underbrace{r_c}_{x(\infty)}-f_I\underbrace{(\frac{1}{bf_I}w+\frac{a-bf}{bf_I}r_c)}_{x_I(\infty)} =-\frac{1}{b}(w+ar_c) }$

すなわち、積分動作をもつ状態フィードバック(19)により、定値外乱の影響を受けずに、制御目的(17)を達成できていることが確かめられます。

(21)から次式を得ます。

$\displaystyle{(23)\quad -f_Ix_I(t)\rightarrow -\frac{1}{b}w\underbrace{-\frac{a-bf}{b}}_{f_r}r_c}$

これから第２項 $f_rr_c$ を、図2のように、フィードフォワードしておくことが考えられます。

図1 積分動作を加えた状態フィードバックによる閉ループ系

● $a=-1$ 、 $b=1$ 、 $w=0$ 、 $r_c=1$ 、 $f=1$ 、 $f_I=1$ として、次のシミュレーション結果を得ます。

図2　図1のシミュレーション例

演習A04-1…Flipped Classroom

図2のグラフを描け。

MATLAB

%a04_1.m
 clear all, close all
 a=1; b=1; c=1; w=0; rc=1; 
 f=3; fI=1; fr=-(a-b*f)/b;
 AFE=[a-b*f -b*fI;
      1      0];
 wE=[w;-rc];
 sys=ss(AFE,wE,[eye(2);-f -fI],[]);
 wE2=[w-(a-b*f);-rc];
 sys2=ss(AFE,wE2,[eye(2);-f -fI],[]);
 x0=[0;0]; 
 t=0:0.1:5;
 u=ones(1,length(t));
 lsim(sys,sys2,u,t,x0)
 grid
 legend('without feed forward','with feed forward')
 title('Tracking Control of 1st-order System')
 xlabel('time')
 ylabel('u(t), xI(t) and x(t)')
%eof

SCILAB

coming soon

[2]　定値外乱 $w$ をもつ１次系

$\displaystyle{(24)\quad \left\{\begin{array}{lll} \dot{x}(t)=ax(t)+bu(t)+w,\ x(0)\ne0\\ y(t)=cx(t) \end{array}\right. }$

に対して、制御目的

$\displaystyle{(25)\quad y(t)-r_c\rightarrow 0\quad(t\rightarrow\infty)}$

を達成するために（ $r_c$ は目標値）、積分動作

$\displaystyle{(26)\quad \dot{x}_I(t)=y(t)-r_c\quad (x_I(0)=0)}$

を加えた状態フィードバック

$\displaystyle{(27)\quad u(t)=-fx(t)-f_I\int_0^t(y(\tau)-r_c)d\tau }$

を考えます。これは、実際には、状態オブザーバ

$\displaystyle{(28)\quad \dot{\hat{x}}(t)=(a-hc)\hat{x}(t)+bu(t)+hy(t),\ \hat{x}(0)=0 }$

によって推定された状態 $\hat{x}$ を用いて

$\displaystyle{(29)\quad u(t)=-f\hat{x}(t)-f_Ix_I(t) }$

を実施することになります。この積分動作を加えたオブザーバベースコントローラは、(29)を(28)に代入した

$\displaystyle{(30)\quad \dot{\hat{x}}(t)=(a-hc-bf)\hat{x}(t)-bf_Ix_I(t)+hy(t) }$

と、(26)を合わせて、つぎのように表されます。

$\displaystyle{(31)\quad \boxed{ \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{\hat{x}}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-hc-bf & -bf_I \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_K} \left[\begin{array}{c} \hat{x}(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} h & 0\\ 1 & -1 \end{array}\right] }_{B_K} \left[\begin{array}{c} y(t) \\ r_c \end{array}\right]\\ u(t)= \underbrace{- \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] }_{C_K} \left[\begin{array}{c} \hat{x}(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \end{array}} }$

これによる閉ループ系は、(27)を(24)に代入した

$\displaystyle{(32)\quad \dot{x}(t)=ax(t)-bf\hat{x}(t)-bf_Ix_I(t)+w(t) }$

と、(26)、(30)を合わせて

$\displaystyle{(33)\quad \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \\ \dot{\hat{x}}(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} a & -bf_I & -bf \\ c & 0 & 0 \\ hc & -bf_I & a-hc-bf \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w \\ -r_c \\ 0 \end{array}\right] }$

のように表されます。そのブロック線図を図3に示します。

いま、閉ループ系(33)に、座標変換

$\displaystyle{(34)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ e(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\ \hat{x}(t) \end{array}\right] }$

を行えば

$\displaystyle{(35)\quad \boxed{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \\\hline \dot{e}(t) \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc|c} a-bf & -bf_I & -bf \\ c & 0 & 0 \\\hline 0 & 0 & a-hc \end{array}\right] }_{ A_{EF}'= \left[\begin{array}{c|c} A_{EF} & - \left[\begin{array}{cc} bf \\ 0 \end{array}\right] \\[5mm] \hline 0 & \widehat{a} \end{array}\right] } \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\\hline e(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} w \\ -r_c \\\hline -w \end{array}\right]} }$

となります。オブザーバの誤差方程式が分離されており、 $f,f_I$ と $h$ を独立に設計してもよいことが分かります。

ここで、 $A_{EF}$ の特性方程式の解は左半平面にあるとすると、(35)より、 $t\rightarrow\infty$ のとき、次式が成り立ちます。

$\displaystyle{(36)\quad \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \\\hline e(t) \end{array}\right] \ \rightarrow\ \underbrace{ \left[\begin{array}{c|c} A_{EF}^{-1} & -A_{EF}^{-1} \left[\begin{array}{cc} bf \\ 0 \end{array}\right] \widehat{a}^{-1} \\[5mm]\hline 0 & \widehat{a}^{-1} \end{array}\right] }_{A_{EF}'\,^{-1}} \left[\begin{array}{c} -w \\ r_c \\\hline w \end{array}\right] \quad (t\rightarrow\infty) }$

すなわち

$\displaystyle{(37)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ c & 0 \end{array}\right]^{-1} \left[\begin{array}{cc} -w-bf\widehat{a}^{-1}w\\ r_c \end{array}\right]}\\ \displaystyle{= \frac{1}{cbf_I} \left[\begin{array}{cc} 0 & bf_I \\ -c & a-bf \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} -w-bf\widehat{a}^{-1}w\\ r_c \end{array}\right]}\\ \displaystyle{= \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{c}r_c \\ \frac{1}{bf_I}w+\frac{1}{f_I}f\widehat{a}^{-1}w+\frac{a-bf}{cbf_I}r_c \end{array}\right]} \end{array} }$

$\displaystyle{(38)\quad e(t) \rightarrow \widehat{a}^{-1}w }$

したがって

$\displaystyle{(39)\quad y(t)=cx(t) \rightarrow r_c }$
$\displaystyle{(40)\quad \begin{array}{l} u(t) \rightarrow -f\underbrace{\frac{1}{c}r_c}_{x(\infty)} -f_I\underbrace{(\frac{1}{bf_I}w+\frac{1}{f_I}f\widehat{a}^{-1}w+\frac{a-bf}{cbf_I}r_c)}_{x_I(\infty)}\\ =-\frac{1}{b}(w+\frac{a}{c}r_c)-f\widehat{a}^{-1}w \end{array} }$

を得ます。したがって、定値外乱が存在するときは状態オブザーバに関して定常偏差が残るにもかかわらず、制御目的(24)が成り立つことがわかります。

図3　積分動作を加えたオブザーバベースコントローラによる閉ループ系

１次系のLQI制御…Homework

[3] 定値外乱 $w$ をもつ１次系(23)に対して、制御目的(24)を達成するための制御則として、積分動作(25)をもつ安定化状態フィードバック(26)を考えます。これによる閉ループ系

$\displaystyle{(41)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right] }_{w_E} }$

に対して、評価関数

$\displaystyle{(42)\quad J=\int_0^\infty(q^2x^2(t)+r^2u^2(t))\,dt}$

を最小化するように $f$ と $f_I$ を決めるLQI制御問題を考えます。いま、出力方程式

$\displaystyle{(43)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} qx(t)\\ ru(t) \end{array}\right] }_{y_{E}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} q & 0 \\ -rf & -rf_I \end{array}\right] }_{C_{E}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_{E}(t)} }$

を定義すると、閉ループ系の応答は

＜このパートは最初は読み飛ばして結構です＞
$\displaystyle{(44)\quad x_E(t)=\exp(A_{EF}t)(x_E(0)+A_{EF}^{-1}w_E)-A_{EF}^{-1}w_E }$

より

$\displaystyle{(45)\quad y_{E}(t)= C_{E}\exp(A_{EF}t) (x_E(0)+A_{EF}^{-1}w_E) - C_{E}A_{EF}^{-1}w_E }$

となります。ここで、第２項の定数項があるので、評価関数

$\displaystyle{(46)\quad J=\int_0^\infty\underbrace{(q^2y^2(t)+r^2u^2(t))}_{y^T_{E}(t)y_{E}(t)}\,dt }$

は発散してしまいます（そもそも外乱は未知としますので計算もできません）。

●そこで、定値外乱が抑制されているときは、平衡状態（ $x=0$ ）は $x_\infty=r_c$ に、平衡入力（ $u=0$ ）は $u_\infty=-\frac{1}{b}(w+ar_c)$ に変わっていることに注意し、これとの差を表す状態方程式を考えます。まず定値外乱抑制前の状態方程式は(1)と(2)を合わせて

$\displaystyle{(47)\quad \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_E(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] }_{x_E(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b \\ 0 \end{array}\right] }_{B_E} u(t) + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right] }_{w_E} }$

となります。また、定値外乱抑制後には

$\displaystyle{(48)\quad \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x_\infty \\ x_{I\infty} \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E\infty}=0} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x_\infty \\ x_{I\infty} \end{array}\right] }_{x_{E\infty}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b \\ 0 \end{array}\right] }_{B_E} u_\infty + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} w \\ -r_c \end{array}\right] }_{w_E} }$

が成り立ちます。両者を辺々引き算して

$\displaystyle{(49)\quad \boxed{ \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E1}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_{E1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{x_{E1}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E1}} \underbrace{(u(t)-u_\infty)}_{u_{E1}(t)}} }$

となります。これを偏差系E1と呼ぶことにします。これに安定化状態フィードバック

$\displaystyle{(50)\quad \underbrace{u(t)-u_\infty}_{u_{E1}(t)} =- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] }_{F_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{x_{E1}(t)} }$

を行った閉ループ系は

$\displaystyle{(51)\quad \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E1}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a-bf & -bf_I \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_{EF}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{x_{E1}(t)} }$

となります。いま出力方程式

$\displaystyle{(52)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} q(x(t)-x_\infty) \\ r(u(t)-u_\infty) \end{array}\right] }_{y_{E1}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} q & 0 \\ -rf & -rf_I \end{array}\right] }_{C_{E1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ x_I(t)-x_{I\infty} \end{array}\right] }_{x_{E1}(t)} }$

を定義して、評価関数

$\displaystyle{(53)\quad J=\int_0^\infty\underbrace{(q^2(x(t)-x_\infty)^2+r^2(u(t)-u_\infty)^2)}_{y^T_{E1}(t)y_{E1}(t)}\,dt }$

を最小化して、(50)のフィードバックゲイン $f$ と $f_I$ を決める制御方式を偏差系E1に基づくLQI制御と呼びます。

●さて、偏差系E1すなわち(49)の両辺を微分すると２つめの偏差系E2

$\displaystyle{(54)\quad \boxed{ \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ x(t)-r_c \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E2}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right] }_{A_{E2}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ x(t)-r_c \end{array}\right] }_{x_{E2}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E2}} \underbrace{\dot{u}(t)}_{u_{E2}(t)}} }$

を得ます。また(49)は次のように変形できることに注意します。

$\displaystyle{(55)\quad \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ x(t)-r_c \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & 0 \end{array}\right] }_{S} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }$

これを(15)に代入すると

$(56)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & 0 \end{array}\right] }_{S} \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right]=\\ \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E2}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & 0 \end{array}\right] }_{S} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} b \\ 0 \end{array}\right] }_{B_{E2}} \underbrace{\dot{u}(t)}_{u_{E2}(t)} \end{array}$

この左から $S^{-1}$ をかけると３つめの偏差系E3

$\displaystyle{(57)\quad \boxed{\underbrace{ \frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E3}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E3}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{x_{E3}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B_{E3}} \underbrace{\dot{u}(t)}_{u_{E3}(t)}} }$

を得ます。これに安定化状態フィードバック

$\displaystyle{(58)\quad \underbrace{\dot{u}(t)}_{u_{E3}(t)} =- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} k & k_I \end{array}\right] }_{K_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} }$

を行った閉ループ系は

$\displaystyle{(59)\quad \underbrace{\frac{d}{dt} \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ -k & -k_I \end{array}\right] }_{A_{EK}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} }$

となります。いま出力方程式

$\displaystyle{(60)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} q(x(t)-x_\infty) \\ r\dot{u}(t) \end{array}\right] }_{y_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} q & 0 \\ 0 & r\frac{d}{dt} \end{array}\right] }_{C_{E3}} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} }$

を定義して、評価関数

$\displaystyle{(61)\quad J=\int_0^\infty\underbrace{(q^2(x(t)-x_\infty)^2+r^2\dot{u}^2(t))}_{y^T_{E3}(t)y_{E3}(t)}\,dt }$

を最小化して、(59)のフィードバックゲイン $k$ と $k_I$ を決めます。(55)を(59)に代入して

$\displaystyle{(62)\quad \dot{u}(t) =- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} k & k_I \end{array}\right] }_{K_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1} }_{S^{-1}} \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ x(t)-r_c \end{array}\right] =- \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] }_{F_E=K_ES^{-1}} \left[\begin{array}{cc} \dot{x}(t) \\ x(t)-r_c \end{array}\right] }$

これを積分して

$\displaystyle{(63)\quad u(t) =-fx(t)-f_I\int_0^t(x(\tau)-r_c)\,d\tau }$

を得ます。このようにして(3)のフィードバックゲイン $f$ と $f_I$ を決める制御方式を偏差系E3に基づくLQI制御と呼びます。

[4] 以下に、偏差系E3をLQG制御により安定化して、積分動作を加えたオブザーバベースコントローラを構成する手順を示します。

アルゴリズム＜1次系のLQGI制御＞

入力パラメータ
$a,\,b,\,c,\,q>0,\,r>0,\,\sigma>0,\,\rho>0$
出力パラメータ
$A_K,\,B_K,\,C_K$

ステップ1: 偏差系の安定化

偏差系

$\displaystyle{(64)\quad \frac{d}{dt} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E}} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] %}_{{\tilde x}_E(t)-{\tilde x}_{E\infty}} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right] }_{B_{E}} {\dot u}(t) }$

を、状態フィードバック

$\displaystyle{(65)\quad {\dot u}(t)=- \left[\begin{array}{cc} k & k_I \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }$

によるLQ制御で安定化します。その際、評価関数としては

$\displaystyle{(66)\quad \int_0^\infty \left( q_1^2(x(t)-x_\infty)^2+ q_2^2(u(t)-u_\infty)^2+ r^2{\dot u}^2(t)\right)\,dt }$

を用いる。さらに、 $f$ と $f_I$ を、次式から計算します。

$\displaystyle{(67)\quad \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} k & k_I \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & 0 \end{array}\right]^{-1} }$

ステップ2: オブザーバゲイン $h$ の決定

$\displaystyle{(68)\quad {\rm\bf FARE:\ }\displaystyle{-\frac{1}{\rho^2}c^2\Gamma^2+2a\Gamma+\sigma^2=0} \label{eq7.2.28}}$

を解いて， $\Gamma>0$ を求め， $h$ をつぎのように定める。

$\displaystyle{(69)\quad h=\frac{1}{\rho^2}c\Gamma \label{eq7.2.29}}$

ステップ3: 積分動作を加えたオブザーバベースコントローラの構成

$f$ 、 $f_I$ 、 $h$ から、つぎを構成します。

$\displaystyle{(70)\quad \begin{array}{l} \dot{x}_K(t)=A_Kx_K(t)+B_K \left[\begin{array}{c} y(t) \\ r_c \end{array}\right]\\ u(t)=C_Kx_K(t) \end{array} }$

ただし

$\displaystyle{(71)\quad \begin{array}{l} A_K= \left[\begin{array}{cc} a-hc-bf & -bf_I \\ 0 & 0 \end{array}\right]\\ B_K= \left[\begin{array}{cc} h & 0\\ 1 & -1 \end{array}\right]\\ C_K=- \left[\begin{array}{cc} f & f_I \end{array}\right] \end{array} }$

この積分動作を加えたオブザーバベースコントローラによる制御方式をLQGI制御(LQG control with integral action)と呼びます。

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

１次系の追値制御