実Jordan標準形 | 制御系CAD

固有値と固有ベクトル

●正方行列 $A$ の固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $v$ : $Av=\lambda v$ を満足する $\lambda$ と $v\ne0$
例) $\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} v_{i1} \\ v_{i2} \end{array}\right] }_{v_i} = \lambda_i \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} v_{i1} \\ v_{i2} \end{array}\right] }_{v_i}\quad(i=1,2)$

● $Av=\lambda v\Leftrightarrow (A-\lambda I_n)v=0$ を満足する $v\ne0$ が存在するためには $\det(\lambda I_n-A)=0$ が必要。

●正方行列 $A$ の固有値の集合: $\lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}=\{\lambda_i|\det(\lambda_i I_n-A)=0\}$

●正方行列 $A$ の固有ベクトルが１次独立ならば $A=V\Lambda V^{-1}$
例) $\left\{\begin{array}{cc} Av_1=\lambda_1v_1\\ Av_2=\lambda_2v_2 \end{array}\right. \Leftrightarrow A \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} v_1 & v_2 \end{array}\right] }_{V} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} v_1 & v_2 \end{array}\right] }_{V} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right] }_{\Lambda}$

●実ジョルダン標準形（高橋：微分方程式入門、東京大学出版会、pp.110-112, 1988）
$n$ 次正方実行列 $A$ は、正則な $n$ 次正方実行列 $V$ により、 $\Lambda=V^{-1}AV$ がつぎの形式となるように変換できます。

$\displaystyle{ \Lambda= {\rm diag}\{J(\lambda_1,m_1),\cdots,J(\lambda_p,m_p), K(\lambda_{R1},\lambda_{I1},\ell_1),\cdots,K(\lambda_{Rq},\lambda_{Iq},\ell_q)\} }$

ただし、 $m_1+\cdots+m_p+2(\ell_1+\cdots+\ell_q)=n$ 、および

$\displaystyle{ J(\lambda,m)= \left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{array}\right] }$

$\displaystyle{ K(\lambda_{R},\lambda_{I},\ell)= \left[\begin{array}{c|c|cc|c} \begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array} & \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} & & \\ \hline & \begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array} & \ddots & & \\ \hline & & & & \\ \hline & & & \ddots & \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \\ \hline & & & & \begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array} \end{array}\right] }$

ここで、 $J(\lambda,m)$ のサイズは $m\times m$ 、 $K(\lambda_{R},\lambda_{I},\ell)$ のサイズは $2\ell\times 2\ell$ です。また、 $\lambda,\,\lambda_R,\,\lambda_I(\ne0)$ は実数、指定されていない要素はすべて零です。

● $n=2$ の場合、 $\Lambda$ は次の３つに分類されます。

$\displaystyle{1^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right]}$
$\displaystyle{2^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda_R\pm j\lambda_I\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{cc} \lambda_R & \lambda_I \\ -\lambda_I & \lambda_R \end{array}\right]}$
$\displaystyle{3^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda,\lambda\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{cc} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right]}$

● $n=3$ の場合、 $\Lambda$ は次の４つに分類されます。

$\displaystyle{1^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{array}\right]}$
$\displaystyle{2^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda_R\pm j\lambda_I,\lambda\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{ccc} \lambda_R & \lambda_I & 0 \\ -\lambda_I & \lambda_R & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right]}$
$\displaystyle{3^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda,\lambda,\lambda\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right]}$
$\displaystyle{4^{\circ}\ \lambda(A)=\{\lambda,\lambda,\lambda'\} \ \Rightarrow\ \Lambda=\left[\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & \lambda' \end{array}\right]}$

対称行列の場合

●対称行列: $Q=Q^T$
例) $\displaystyle{ Q=\left[\begin{array}{cc} q_1 & q_3 \\ q_3 & q_2 \end{array}\right] }$

●対称行列の固有値は実数
例) $\displaystyle{ \lambda_1=\frac{1}{2}(q_1+q_2+\sqrt{D}),\ \lambda_2=\frac{1}{2}(q_1+q_2-\sqrt{D}) }$
$\displaystyle{ D=(q_1-q_2)^2+4q_3^2>0 }$

●対称行列の固有ベクトルは直交
例) $\displaystyle{ Qv_i=\lambda_iv_i\quad(i=1,2) }$
$\displaystyle{ v_1=\left[\begin{array}{c} q_1-q_2+\sqrt{D} \\ 2q_3 \end{array}\right],\quad v_2=\left[\begin{array}{c} q_1-q_2-\sqrt{D} \\ 2q_3 \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ v_1^Tv_2=(q_1-q_2)^2-(q_1-q_2)^2-4q_3^2+4q_3^2=0 }$

●対称行列 $Q$ が正定行列
$\displaystyle{ Q>0 \leftrightarrow \forall x\ne0:x^TQx>0 }$
$\displaystyle{ Q>0 \Leftrightarrow \lambda_1,\lambda_2>0 \Leftrightarrow q_1>0,q_1q_2-q_3^2>0 }$

●対称行列 $Q$ が準正定行列
$\displaystyle{ Q\ge0 \leftrightarrow \forall x\ne0:x^TQx\ge0 }$
$\displaystyle{ Q\ge0 \Leftrightarrow \lambda_1>0,\lambda_2=0 \Leftrightarrow q_1>0,q_1q_2-q_3^2=0 }$