２次系の周波数応答

２次系の周波数応答…Homework

[1] 次のようにパラメタライズされた漸近安定な１入力１出力２次系の状態空間表現を考えます。

$\displaystyle{(1a)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] }_{A} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0 \\ K\omega_n^2 \end{array}\right] }_{B} u(t) }$

$\displaystyle{(1b)\quad y(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} }$

ここで、 $\zeta<1$ とします。また以下では簡単のため $K=1$ とします。このときインパルス応答は、次式で与えられました。

$\displaystyle{(2a)\quad G(t)=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_I t}$
$\displaystyle{(2b)\quad \lambda_1,\lambda_2=\underbrace{-\zeta\omega_n}_{\lambda_R}\pm j\underbrace{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}_{\lambda_I}}$

この２次系に対して、正弦波入力

$\displaystyle{(3)\quad u(t)=\sin\omega t}$

を考えます。２次振動系（ $\zeta<1$ ）の場合、零状態応答は次式で与えられます（導出は Note A24-2を参照）。

$\displaystyle{(4a)\quad y(t)=\frac{1}{\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}(\sin(\omega t+\theta)-e^{\lambda_Rt}\sin(\lambda_I t+\theta'))}$
$\displaystyle{(4b)\quad \theta=\tan^{-1}\frac{-2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}$
$\displaystyle{(4c)\quad \theta'=\tan^{-1}\frac{-2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}{1-2\zeta^2-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}$

ここで、 $t\rightarrow\infty$ とすると

$\displaystyle{(5)\quad \boxed{y(t)\simeq\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2})^2+4\zeta^2\frac{\omega^2}{\omega_n^2}}}}_{|\hat{G}(j\omega)|} \sin(\omega t+\underbrace{\tan^{-1}\frac{-2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}}}_{\angle\hat{G}(j\omega)})} }$

ただし

$\displaystyle{(6)\quad \hat{G}(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}}$

これは、入力が正弦波のときは、時間が十分立てば、出力も正弦波となることを示しています。その振幅と位相はそれぞれ $\hat{G}(j\omega)$ の絶対値と偏角となっています。

$|\hat{G}(j\omega)|$ をゲイン、 $\angle\hat{G}(j\omega)$ を位相と呼びます。このゲイン線図と位相線図をペアにして片対数グラフにプロットしたものをボード線図と呼びます。ゲインはdb値( $20{\log_{10}|\hat{G}(j\omega)|$ )、位相はdeg値( $\frac{180}{\pi}\angle\hat{G}(j\omega)$ )です。

実際、２次系において $\omega_n=1,\zeta=0.01,0.707,1$ のとき、ボード線図を描いてみると次のグラフが得られます

図1 ２次系の周波数応答の比較

周波数応答に基づく２次系の同定…Homework

[2] ２次振動系の場合、ゲイン線図

$\displaystyle{(7)\quad |\hat{G}(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{(1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2})^2+4\zeta^2\frac{\omega^2}{\omega_n^2}}} }$

の頂点は次式で与えられます。

$\displaystyle{(8)\quad \boxed{(\frac{\omega_p}{\omega_n},M_p)=\left(\sqrt{1-2\zeta^2},{1\over 2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\right)\quad(\zeta\le{1\over\sqrt{2}})} }$

ここで、頂点が現れる条件、 $\zeta\le{1\over\sqrt{2}}$ がついていることに注意してください。

実際、 ${d\over d\omega}|\hat G(j\omega_p)|=0$ を満足する $\omega_p$ は

$(9)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{{d\over d\omega}|\hat G(j\omega)| =\left.-\frac{1}{2}\frac{2(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)(-\frac{2\omega}{\omega_n^2})) +4\zeta^2\frac{2\omega}{\omega_n^2}}{((1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^{3/2}}\,\right|_{\omega=\omega_p}=0}\\ \displaystyle{\Rightarrow\ -(1-(\frac{\omega_p}{\omega_n})^2)+2\zeta^2=0}\\ \displaystyle{\Rightarrow\ (\frac{\omega_p}{\omega_n})^2=1-2\zeta^2} \end{array}$

となって、次式のように表されます。

$\displaystyle{(10)\quad \boxed{\frac{\omega_p}{\omega_n}=\sqrt{1-2\zeta^2}}}$

また、このときの最大値は

$(11)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{M_p=|\hat G(j\omega_p)|=\frac{1}{\sqrt{(2\zeta^2)^2+4\zeta^2(1-2\zeta^2)}}}\\ \displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{4\zeta^4+4\zeta^2-8\zeta^4}}=\frac{1}{\sqrt{4\zeta^2(1-\zeta^2)}}} \end{array}$

となって、次式のように表されます。。

$\displaystyle{(12)\quad \boxed{M_p=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}}}$

(10)と(12)から、２次振動系はゲイン線図が頂点を持つ場合、その座標 $(\frac{\omega_p}{\omega_n},M_p)$ を求めて、減衰係数と固有角周波数 $(\zeta,\omega_n)$ が得られることを示しています。

●ちなみに、 $|\hat{G}(j\omega_b)|=\frac{|\hat{G}(j0)|}{\sqrt{2}}$ を満足する帯域幅 $\omega_b$ は次のように計算されます。

$\displaystyle{(13)\quad \frac{1}{\sqrt{(1-(\frac{\omega_b}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega_b}{\omega_n})^2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} }$

において、 $\omega'=\frac{\omega_b}{\omega_n}$ とおくと

$(14)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{(1-\omega'\,^2)^2+4\zeta^2\omega'\,^2=1-2\omega'\,^2+\omega'\,^4+4\zeta^2\omega'\,^2=2}\\ \displaystyle{\Rightarrow\ \omega'^4-2(1-2\zeta^2)\omega'\,^2-1=0}\\ \displaystyle{\Rightarrow\ \omega'^2=1-2\zeta^2\pm\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}} \end{array}$

となって、次式のように表されます。

$\displaystyle{(15)\quad \boxed{\frac{\omega_b}{\omega_n}=\sqrt{1-2\zeta^2\pm\sqrt{4\zeta^4-4\zeta^2+2}}１}}$

演習A24…Flipped Classroom

図1のゲイン曲線#1を描け。

MATLAB

%a24.m
%-----
 clear all, close all
 A1=[0 1;-1 -2*0.01]; 
 A2=[0 1;-1 -2/sqrt(2)]; 
 A3=[0 1;-1 -2*1]; 
 B=[0;1]; C=[1 0]; D=[];
 sys1=ss(A1,B,C,D);
 sys2=ss(A2,B,C,D);
 sys3=ss(A3,B,C,D);
 w=logspace(-1,1,1000);
 bode(sys1,sys2,sys3,w)
 grid
 title('Bode Diagrams of 2nd-order System')
 xlabel('Freq')
%ylabel('Gain')
 ylabel('Phase')
 legend('zeta=0.01','zeta=0.707','zeta=1')
%-----
%eof

SCILAB

coming soon

Note A24-1　n次系の周波数応答

次の漸近安定な１入力１出力 $n$ 次系の状態空間表現を考えます。

$\displaystyle{(1)\quad \left\{\begin{array}{ll} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)&(x(t)\in{\rm\bf R}^n,u(t)\in{\rm\bf R})\\ y(t)=Cx(t)&(y(t)\in{\rm\bf R}) \end{array}\right.}$

このとき、正弦波入力

$\displaystyle{(2)\quad u(t)=\sin\omega t}$

に対する零状態応答を計算します。そのために

$\displaystyle{(3)\quad u(t)=e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)}$

を、零状態応答の式

$\displaystyle{(4)\quad y(t)=\int_0^tC\exp(A(t-\tau))Bu(\tau)d\tau}$

に代入して

$(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\int_0^tC\exp(A(t-\tau))Be^{j\omega\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^te^{j\omega\tau}\exp(-A\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^t\exp(j\omega\tau I_n)\exp(-A\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At)\int_0^t\exp((j\omega I_n-A)\tau)Bd\tau}\\ \displaystyle{=C\exp(At) \left[\frac{}{}\exp((j\omega I_n-A)\tau)\right]_0^t(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=C\exp(At) (\exp((j\omega I_n-A)t)-I_n)(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=-C\exp(At)(j\omega I_n-A)^{-1}B+C\exp(At)\exp(j\omega t I_n)\exp(-At)(j\omega I_n-A)^{-1}B}\\ \displaystyle{=-C\exp(At)(j\omega I_n-A)^{-1}B+C(j\omega I_n-A)^{-1}Be^{j\omega t}} \end{array}$

ここで $t\rightarrow\infty$ とすると

$(6)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=C\underbrace{\exp(At)}_{\rightarrow 0\ (t\rightarrow\infty)}(j\omega I_n-A)^{-1}B+\underbrace{C(j\omega I_n-A)^{-1}B}_{G(j\omega) =|G(j\omega)|e^{j\angle G(j\omega)}}e^{j\omega t}}\\ \displaystyle{\simeq |G(j\omega)|e^{j(\omega t+\angle G(j\omega))}}\\ \displaystyle{=|G(j\omega)|\cos(\omega t+\angle G(j\omega))+j|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle G(j\omega))} \end{array}$

これから正弦波入力(3)に対する零状態応答は、 $t\rightarrow\infty$ のとき次式で与えられます。

$\displaystyle{(7)\quad y(t)\simeq|G(j\omega)|\sin(\omega t+\angle G(j\omega))}$

Note A24-2　２次系の周波数応答

次の２次系を考えます。

$\displaystyle{(1b)\quad y(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] }_{C} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x(t)} }$

ここで、 $\zeta<1$ とします。このときインパルス応答は

でした。いま、正弦波入力

$\displaystyle{(3)\quad u(t)=\sin\omega t}$

に対する時間応答を考えます。このとき、公式

$\displaystyle{(4a)\quad \int e^{ax}\sin px \cos qx\,dx}$
$\displaystyle{=\frac{e^{ax}}{2} \left(\frac{a\sin(p+q)x-(p+q)\cos(p+q)x}{a^2+(p+q)^2}\right.+\left.\frac{a\sin(p-q)x-(p-q)\cos(p-q)x}{a^2+(p-q)^2}\right)}$
$\displaystyle{(4b)\quad \int e^{ax}\sin px \sin qx\,dx}$
$\displaystyle{=\frac{e^{ax}}{2} \left(-\frac{a\cos(p+q)x+(p+q)\sin(p+q)x}{a^2+(p+q)^2}\right.+\left.\frac{a\cos(p-q)x+(p-q)\sin(p-q)x}{a^2+(p-q)^2}\right)}$

を用いて、周波数応答が次のように得られます。

$(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\int_0^t\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_R(t-\tau)}\sin\lambda_I(t-\tau)\sin\omega\tau\,d\tau}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\int_0^te^{-\lambda_R\tau}\sin\omega\tau\cos\lambda_I\tau\,d\tau}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\int_0^te^{-\lambda_R\tau}\sin\omega\tau\sin\lambda_I\tau\,d\tau}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times}\\ \displaystyle{(\left[\frac{e^{-\lambda_R\tau}(-\lambda_R\sin(\omega+\lambda_I)\tau-(\omega+\lambda_I)\cos(\omega+\lambda_I)\tau)}{2(\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2)}\right.}\\ \displaystyle{+\left.\frac{e^{-\lambda_R\tau}(-\lambda_R\sin(\omega-\lambda_I)\tau-(\omega-\lambda_I)\cos(\omega-\lambda_I)\tau)}{2(\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2)}\right]_0^t)}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times}\\ \displaystyle{(\left[-\frac{e^{-\lambda_R\tau}(-\lambda_R\cos(\omega+\lambda_I)\tau+(\omega+\lambda_I)\sin(\omega+\lambda_I)\tau)}{2(\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2)}\right.}\\ \displaystyle{+\left.\frac{e^{-\lambda_R\tau}(-\lambda_R\cos(\omega-\lambda_I)\tau+(\omega-\lambda_I)\sin(\omega-\lambda_I)\tau)}{2(\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2)^2}\right]_0^t)}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times}\\ \displaystyle{(\frac{e^{-\lambda_Rt}(-\lambda_R\sin(\omega+\lambda_I)t-(\omega+\lambda_I)\cos(\omega+\lambda_I)t)+\omega+\lambda_I}{2(\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2)}}\\ \displaystyle{+\frac{e^{-\lambda_Rt}(-\lambda_R\sin(\omega-\lambda_I)t-(\omega-\lambda_I)\cos(\omega-\lambda_I)t)+\omega-\lambda_I}{2(\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2)})}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times}\\ \displaystyle{(\frac{-e^{-\lambda_Rt}(-\lambda_R\cos(\omega+\lambda_I)t+(\omega+\lambda_I)\sin(\omega+\lambda_I)t)-\lambda_R}{2(\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2)}}\\ \displaystyle{+\frac{e^{-\lambda_Rt}(-\lambda_R\cos(\omega-\lambda_I)t+(\omega-\lambda_I)\sin(\omega-\lambda_I)t)+\lambda_R}{2(\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2)})} \end{array}$

さらに変形すると

$(6)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\sin\lambda_It\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega+\lambda_I)t-(\omega+\lambda_I)\cos(\omega+\lambda_I)t}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\cos\lambda_It\times\frac{-(-\lambda_R\cos(\omega+\lambda_I)t+(\omega+\lambda_I)\sin(\omega+\lambda_I)t)}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\sin\lambda_It\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega-\lambda_I)t-(\omega-\lambda_I)\cos(\omega-\lambda_I)t}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\cos\lambda_It\times\frac{-\lambda_R\cos(\omega-\lambda_I)t+(\omega-\lambda_I)\sin(\omega-\lambda_I)t}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{-\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times(\frac{-\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega+\lambda_I)t\sin\lambda_It-(\omega+\lambda_I)\cos(\omega+\lambda_I)t\sin\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\cos(\omega+\lambda_I)t\cos\lambda_It+(\omega+\lambda_I)\sin(\omega+\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega-\lambda_I)t\sin\lambda_It-(\omega-\lambda_I)\cos(\omega-\lambda_I)t\sin\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{+\lambda_R\cos(\omega-\lambda_I)t\cos\lambda_It-(\omega-\lambda_I)\sin(\omega-\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega+\lambda_I)t\sin\lambda_It-\lambda_R\cos(\omega+\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-(\omega+\lambda_I)\cos(\omega+\lambda_I)t\sin\lambda_It+(\omega+\lambda_I)\sin(\omega+\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\sin(\omega-\lambda_I)t\sin\lambda_It+\lambda_R\cos(\omega-\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-(\omega-\lambda_I)\cos(\omega-\lambda_I)t\sin\lambda_It-(\omega-\lambda_I)\sin(\omega-\lambda_I)t\cos\lambda_It}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})} \end{array}$

これを、公式

$\displaystyle{(7a)\quad \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}$
$\displaystyle{(7b)\quad \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}$

を用いて、以下のように変形します。

$(8)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-\lambda_R\cos\omega t}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{(\omega+\lambda_I)\sin\omega t}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{\lambda_R\cos\omega t}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\times\frac{-(\omega-\lambda_I)\sin\omega t}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2}}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{+\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{(\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\sin\omega t\times\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{-\cos\omega t\times\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{+e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{+e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})} \end{array}$

ここで

$(9)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I}-\frac{\omega-\lambda_I}{\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I} \frac{(\omega+\lambda_I)(\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I)-(\omega-\lambda_I)(\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I} \frac{-4\omega^2\lambda_I+2\lambda_I(\omega_n^2+\omega^2)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{1} \frac{-2\omega^2+(\omega_n^2+\omega^2)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\omega_n^2(1-\zeta^2)}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2(\omega_n^2-\omega^2)} {(\omega_n^2-\omega^2)^2+4\omega^2\omega_n^2\zeta^2}}\\ \displaystyle{=\frac{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}} \end{array}$

$(10)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}+\frac{\omega-\lambda_I}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\omega+\lambda_I}{\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I}+\frac{\omega-\lambda_I}{\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I} \frac{(\omega+\lambda_I)(\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I)+(\omega-\lambda_I)(\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I} \frac{2\omega(\omega_n^2+\omega^2)-4\omega\lambda_I^2} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} \frac{\omega(\omega_n^2+\omega^2)-2\omega\omega_n^2(1-\zeta^2)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\omega_n^2(1-\zeta^2)}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I} \frac{\omega^3-\omega\omega_n^2(1-2\zeta^2)}{(\omega_n^2-\omega^2)^2+4\omega^2\omega_n^2\zeta^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega}{\lambda_I}\frac{(\frac{\omega}{\omega_n})^2-(1-2\zeta^2)}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}} \end{array}$

および

$(11)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}(\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega+\lambda_I)^2}-\frac{\lambda_R}{\lambda_R^2+(\omega-\lambda_I)^2})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\lambda_R(\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I}-\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I})}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\lambda_R \frac{(\omega_n^2+\omega^2-2\omega\lambda_I)-(\omega_n^2+\omega^2+2\omega\lambda_I)} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{2\lambda_I}\lambda_R \frac{-4\omega\lambda_I} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\lambda_I^2}}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{1}(-\zeta\omega_n) \frac{-2\omega} {(\omega_n^2+\omega^2)^2-4\omega^2\omega_n^2(1-\zeta^2)}}\\ \displaystyle{=\frac{2\zeta\omega_n^3\omega} {(\omega_n^2-\omega^2)^2+4\omega^2\omega_n^2\zeta^2}}\\ \displaystyle{=\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}} \end{array}$

だから

$(12)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{y(t)=\sin\omega t\times\frac{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}\\ \displaystyle{-\cos\omega t\times\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_2}}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}\\ \displaystyle{+e^{\lambda_Rt}\sin\lambda_It\times\frac{\omega}{\lambda_I}\frac{(\frac{\omega}{\omega_n})^2-(1-2\zeta^2)}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}\\ \displaystyle{+e^{\lambda_Rt}\cos\lambda_It\times\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}} \end{array}$

すなわち、周波数応答は

$\displaystyle{(13a)\quad y(t)=\frac{1}{\sqrt{(1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2)^2+4\zeta^2(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}(\sin(\omega t+\theta)-e^{\lambda_Rt}\sin(\lambda_I t+\theta'))}$
$\displaystyle{(13b)\quad \theta=\tan^{-1}\frac{-2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}$
$\displaystyle{(13c)\quad \theta'=\tan^{-1}\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{\frac{\omega}{\lambda_I} ((\frac{\omega}{\omega_n})^2-(1-2\zeta^2))}=\tan^{-1}\frac{-2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}{1-2\zeta^2-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}}$

のように表されます。

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

２次系の周波数応答