CT63 ２次系のステップ応答

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[P]　物理の言葉ではないと思うけど、無定位系とよばれる制御対象があるよ。モータやビークルのように、復原項がない場合は、位置が定まらないという意味らしい。無定位系では、位置についてステップ応答の実験ができないよね。

[C]　単位フィードバックを行えば、ステップ応答の実験ができるのだけど、フィードバックの知識がないと気が付かないかな。

[M]　位置と速度を状態変数にもつ無定位系

\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] u(t)\\ y(t)= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array} }

に対して、単位フィードバック

\displaystyle{(2)\quad u(t)=v(t)-y(t) }

によって復原項を入れると、次のような２次系になるからだね。

\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -\omega_n^2 & -2\zeta\omega_n \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \omega_n^2 \end{array}\right] u(t)\\ y(t)= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] \end{array} }

Flipped Classroom 6.3
[1] 　

[2]

1^\circ \zeta>1のとき、インパルス応答を積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{\lambda_2\tau}-e^{\lambda_1\tau})d\tau}\\ \displaystyle{= \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\left[\frac{e^{\lambda_2\tau}}{\lambda_2}-\frac{e^{\lambda_1\tau}}{\lambda_1}\right]_0^t}\\ \displaystyle{=\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(\frac{e^{\lambda_2t}}{\lambda_2}-\frac{e^{\lambda_1t}}{\lambda_1})-\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1})}\\ \displaystyle{=1+\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}(\lambda_1e^{\lambda_2t}-\lambda_2e^{\lambda_1t})} \end{array} }

2^\circ \zeta=1のとき、インパルス応答を積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\lambda^2\tau e^{\lambda\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=\lambda^2\left[\tau \frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}\right]_0^t -\lambda^2\int_0^t \frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}d\tau}\\ \displaystyle{=\lambda te^{\lambda t}-\lambda\left[\frac{1}{\lambda}e^{\lambda\tau}\right]_0^t}\\ \displaystyle{=1+(\lambda t-1)e^{\lambda t}} \end{array} }

3^\circ \zeta<1のとき、インパルス応答を積分して、公式

\displaystyle{(6)\quad \int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)}

を用いて、ステップ応答は次のように計算されます。

\displaystyle{(7)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{S(t)=\int_0^tG(\tau)d\tau=\int_0^t\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}e^{\lambda_R\tau}\sin\lambda_I \tau d\tau}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}\left[ \frac{e^{\lambda_R\tau}}{\lambda_R^2+\lambda_I^2}(\lambda_R\sin\lambda_I\tau-\lambda_I\cos\lambda_I\tau)\right]_0^t}\\ \displaystyle{=\frac{\omega_n^2}{\lambda_I}\frac{1}{\omega_n^2} (e^{\lambda_Rt}(\lambda_R\sin\lambda_It-\lambda_I\cos\lambda_It)+\lambda_I)}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt} (\sin\lambda_It\times\frac{-\lambda_R}{\omega_n}+\cos\lambda_It\times\frac{\lambda_I}{\omega_n})}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt} (\sin\lambda_It\cos\phi+\cos\lambda_It\sin\phi)}\\ \displaystyle{=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_Rt}\sin(\lambda_It+\phi) \quad(\phi=\tan^{-1}\frac{\lambda_I}{-\lambda_R})} \end{array} }

[3] 　

ヒントより、T_p=\frac{\pi}{\lambda_I}だから

\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} S(T_p)=1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_RT_p}\sin(\lambda_IT_p+\phi)\\ =1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\lambda_R\frac{\pi}{\lambda_I}}\sin(\lambda_I\frac{\pi}{\lambda_I}+\phi)\\ =1-\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\sin(\pi+\phi) =1+\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\sin(\phi)\\ =1+\frac{\omega_n}{\lambda_I}e^{\frac{\lambda_R}{\lambda_I}\pi}\frac{\lambda_I}{\omega_n} =1+e^{\frac{-\zeta\omega_n}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\pi}=1+e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \end{array} }

[4]　

\displaystyle{(9)\quad \begin{array}{l} \displaystyle{\left\{\begin{array}{l} T_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\\ p_0=\exp(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}) \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} T_p^2=\frac{\pi^2}{\omega_n^2(1-\zeta^2)}\\ \log p_0=-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \omega_n^2=\frac{\pi^2}{T_p^2(1-\zeta^2)}\\ (\log p_0)^2=\frac{\zeta^2\pi^2}{1-\zeta^2} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \zeta^2=\frac{(\log p_0)^2}{(\log p_0)^2+\pi^2}\\ \omega_n^2=\frac{\pi^2}{T_p^2}\frac{(\log p_0)^2+\pi^2}{\pi^2} \end{array}\right.}\\ \displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \zeta=\sqrt{\frac{(\log p_0)^2}{(\log p_0)^2+\pi^2}}\\ \omega_n=\frac{\sqrt{(\log p_0)^2+\pi^2}}{T_p} \end{array}\right.} \end{array} }

[5]