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いま対象が物理的な釣り合いの状態にあるとき，何らかの原因でこれが乱されたとしよう。このとき，対象に働きかけて，元の物理的な釣り合いの状態に速やかに戻すことは，最も基本的な制御目的として知られている。もし，対象自身に復元力が備わっていて，元の状態に戻ろうとする性質があれば，対象は「安定」(正確には「漸近安定」)と呼ばれる。このことを状態方程式$\dot{x}=Ax+Bu$から，どのように調べるかが，本章のテーマである。
そのために，まず状態方程式を解くことから始める。その解は，与えられた入力のもとでの状態の時間的振る舞い，すなわち「時間応答」を表している。これは，「零入力応答」と「零状態応答」の和として表される。ここで，零入力応答とは，入力を零すなわち$u=0$として，初期状態$x(0)\ne0$から出発して得られる時間応答であり，零状態応答とは，初期状態$x(0)=0$のもとで適当な入力が与えられるときの時間応答である。対象が物理的な釣り合いの状態にあって，これが何らかの原因で乱されたときの時間的振る舞いは，零入力応答に対応する。そこで，1次系$\dot{x}=ax$に対しては，$a<0$ならば安定である，また，$n$次系$\dot{x}=Ax$に対しては，「正方行列$A$の固有値の実部がすべて負であるならば安定」と判定すればよいことを学ぶ。 一方，零状態応答の中で重要なのは「インパルス応答」と呼ばれるもので，これが与えられると，どのような入力が与えられても，たたみこみ積分を行って出力が求まることを理解してほしい。 |