8 最小実現問題 | 制御系CAD

【本章のねらい】
・伝達関数行列に対応する状態空間表現（実現）を求める。
・実現の可制御可観測な部分系を取り出して，与えられた伝達関数行列に対応する最小実現を求める。

8.1 実現問題

状態空間表現

$\displaystyle{(8.1)\quad \left\{\begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\ y(t)=Cx(t)+Du(t) \end{array}\right. }$

から伝達関数行列表現

$\displaystyle{(8.2)\quad \left\{\begin{array}{l} Y(s)=G(s)U(s)\\ G(s)=C(sI_n-A)^{-1}B+D \end{array}\right. }$

を求める計算を，つぎのドイルの記法を用いて表す。

$\displaystyle{(8.3)\quad \left[\begin{array}{c|c} A & B \\\hline C & D \end{array}\right] =C(sI_n-A)^{-1}B+D }$

ここでは，逆に伝達関数行列表現(8.2)から状態空間表現(8.1)を求める問題、~~すなわち~~実現問題を考える。すなわち

$\displaystyle{(8.4)\quad G(s)= \left[\begin{array}{c|c} A & B \\\hline C & D \end{array}\right] }$

を満足する行列 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ を求めたい。この状態空間表現は伝達関数行列表現の実現と呼ばれるが，一意には決まらず，座標変換と状態空間の次元数などに関して自由度がある。次式は座標変換によって伝達関数行列は不変であることを表している。

$\displaystyle{(8.5)\quad \left[\begin{array}{c|c} A & B \\\hline C & D \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c|c} TAT^{-1} & TB \\\hline CT^{-1} & D \end{array}\right] }$

また，１入力１出力系の場合は， $G(s)=G^T(s)$ だから，次式が成り立つ。

$\displaystyle{(8.6)\quad \left[\begin{array}{c|c} A & B \\\hline C & D \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c|c} A^T & C^T \\\hline B^T & D \end{array}\right] }$

以下では，まず１入力１出力系の場合を考える。１次系について，次式が成り立つ。

$\displaystyle{(8.7)\quad \frac{b}{s+a}+d = \left[\begin{array}{c|c} -a & b \\\hline 1 & d \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c|c} -a & 1 \\\hline b & d \end{array}\right] }$

２次系について，次式が成り立つ。

$\displaystyle{ \frac{b_1s+b_2}{s^2+a_1s+a_2}+d }$

$\displaystyle{(8.8)\quad = \left[\begin{array}{cc|c} -a_1 & -a_2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\\hline b_1 & b_2 & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 0 \\ -a_2 & -a_1 & 1 \\\hline b_2 & b_1 & d \end{array}\right] }$

$\displaystyle{(8.9)\quad = \left[\begin{array}{cc|c} -a_1 & 1 & b_1 \\ -a_2 & 0 & b_2 \\\hline 1 & 0 & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc|c} 0 & -a_2 & b_2 \\ 1 & -a_1 & b_1 \\\hline 0 & 1 & d \end{array}\right] }$

ここで，(8.8)式の２つの実現は，

$\displaystyle{ T= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] }$

について，(8.5)式の関係にある。また，(8.9)式は(8.8)式を(8.6)式の意味で転置したものである。

一般に，１入力１出力 $n$ 次線形系の伝達関数がプロパー $^*$ な有理関数で与えられるとき，これに対応する状態空間表現の例を次に示す $^{**}$ 。

$\displaystyle{(8.10)\quad G(s)=\frac{b_1s^{n-1}+\cdots+b_n}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n}+d }$
$\displaystyle{ = \left[\begin{array}{cccc|c} -a_1 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n & 1 \\ 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & 0 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 & 0 \\ \hline b_1 & \cdots & b_{n-1} & b_n & d \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ -a_n & -a_{n-1} & \cdots & -a_1 & 1 \\ \hline b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1 & d \\ \end{array}\right] }$
$\displaystyle{ = \left[\begin{array}{cccc|c} -a_1 & 1 & \cdots & 0 & b_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -a_{n-1} & 0 & \cdots & 1 & b_{n-1} \\ -a_n & 0 & \cdots & 0 & b_n \\\hline 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]\ = \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & \cdots & 0 & -a_n & b_n \\ 1 & \cdots & 0 & -a_{n-1} & b_{n-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & -a_1 & b_1 \\\hline 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] }$

*分子多項式の次数が分母多項式の次数を超えない場合をいう。
**『線形システム制御入門』の8.1節のファディーブの公式を用いて証明できる。

例題8.1 むだ時間要素 $u(t)=v(t-L)$ の伝達関数は $e^{-Ls}$ で与えられ，しばしば次式で近似される。

$\displaystyle{ e^{-Ls}\simeq\frac{1-0.5Ls}{1+0.5Ls} \nonumber }$

このとき，対応する状態空間表現の一つを求めよ。

解答
$\displaystyle{ \frac{1-0.5Ls}{1+0.5Ls}=\frac{2}{1+0.5Ls}-1= \left[\begin{array}{c|c} -\frac{2}{L} & \frac{2}{L} \\\hline 2 & -1 \end{array}\right] }$

演習8.1 むだ時間伝達関数のつぎの近似式に対応する状態空間表現の一つを求めよ。

$\displaystyle{ e^{-Ls}\simeq\frac{1-\frac{1}{2}Ls+\frac{1}{12}L^2s^2}{1+\frac{1}{2}Ls+\frac{1}{12}L^2s^2} \nonumber }$

以上の１入力１出力系の実現を利用して，多入力出力系の場合の実現の一つを求める方法を考える。

$m$ 入力 $p$ 出力系の伝達関数行列

$\displaystyle{(8.11)\quad G(s)= \left[\begin{array}{cccc} G_{11}(s) & \cdots & G_{1m}(s) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ G_{p1}(s) & \cdots & G_{pm}(s) \end{array}\right] }$

の各要素の実現を

$\displaystyle{(8.12)\quad G_{ij}(s)= \left[\begin{array}{c|c} A_{ij} & B_{ij} \\\hline C_{ij} & D_{ij} \end{array}\right] \ (i=1,\cdots,p;\,j=1,\cdots,m) }$

とするとき， $G(s)$ の実現は

$\displaystyle{(8.13)\quad \left[\begin{array}{cccc} G_{11}(s) & \cdots & G_{1m}(s) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ G_{p1}(s) & \cdots & G_{pm}(s) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} A_1 & \cdots & 0 & B_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & A_p & B_{p} \\\hline C_{1} & \cdots & C_{p} & D \end{array}\right] }$

で与えられる。ここで

$\displaystyle{(8.14)\quad A_i= \left[\begin{array}{ccc} A_{i1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & A_{im} \end{array}\right] \ (i=1,\cdots,p) }$

は，サイズ $(n_{i1}+\cdots+n_{im})\times (n_{i1}+\cdots+n_{im})$ の行列

$\displaystyle{(8.15)\quad B_i= \left[\begin{array}{ccc} B_{i1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & B_{im} \end{array}\right] \ (i=1,\cdots,p) }$

は，サイズ $(n_{i1}+\cdots+n_{im})\times m$ の行列

$\displaystyle{(8.16)\quad C_i= \left[\begin{array}{ccc} C_{i1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & C_{im} \end{array}\right] \ (i=1,\cdots,p) }$

は，サイズ $p\times (n_{i1}+\cdots+n_{im})$ の行列

$\displaystyle{(8.17)\quad D= \left[\begin{array}{ccc} D_{11} & \cdots & D_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ D_{p1} & \cdots & D_{pm} \end{array}\right] \ (i=1,\cdots,p) }$

は，サイズ $p\times m$ の行列である。

ちなみに， $m$ 入力 $p$ 出力伝達関数行列

$\displaystyle{(8.18)\quad G(s) =\frac{1}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n} (G_1s^{n-1}+\cdots+G_n)+D }$

の可制御な実現の一つは

$\displaystyle{(8.19)\quad G(s)&=& \left[\begin{array}{cccc|c} -a_1I_m & \cdots & -a_{n-1}I_m & -a_nI_m & I_m \\ I_m & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & I_m & 0 & 0 \\\hline G_1 & \cdots & G_{n-1} & G_n & D \end{array}\right] }$
$\displaystyle{(8.20)\quad &=& \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & I_m & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & I_m & 0 \\ -a_nI_m & -a_{n-1}I_m & \cdots & -a_1I_m & I_m \\\hline G_n & G_{n-1} & \cdots & G_1 & D \end{array}\right] }$

また，可観測な実現の一つは

$\displaystyle{(8.21)\quad G(s)&=& \left[\begin{array}{cccc|c} -a_1I_p & I_p & \cdots & 0 & G_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -a_{n-1}I_p & 0 & \cdots & I_p & G_{n-1} \\ -a_nI_p & 0 & \cdots & 0 & G_n \\\hline I_p & 0 & \cdots & 0 & D \end{array}\right]\ }$
$\displaystyle{(8.22)\quad &=& \left[\begin{array}{cccc|c} 0 & \cdots & 0 & -a_nI_p & G_n \\ I_p & \cdots & 0 & -a_{n-1}I_p & G_{n-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & I_p & -a_1I_p & G_1 \\\hline 0 & \cdots & 0 & I_p & D \end{array}\right]\ }$

で与えられる。

例題8.2 つぎの１入力２出力伝達関数行列の実現を一つ求めよ。

$\displaystyle{ G(s)= \left[\begin{array}{c} \frac{1}{s+1}\\ \frac{s+1}{s^2+3s+2} \end{array}\right] }$

解答

$\displaystyle{ \frac{1}{s+1} = \left[\begin{array}{c|c} -1 & 1 \\\hline 1 & 0 \end{array}\right] }$

$\displaystyle{ \frac{s+1}{s^2+3s+2} = \left[\begin{array}{cc|c} -3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\\hline 1 & 1 & 0 \end{array}\right] }$

だから

$\displaystyle{ G(s)= \left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right] }$

となる。

演習8.2 つぎの２入力１出力伝達関数行列の実現を一つ求めよ。

$\displaystyle{ G(s)= \left[\begin{array}{cc} \frac{s+2}{s^2+3s+2} & \frac{1}{s+2} \end{array}\right] }$

8.2 最小実現

前節で求めた伝達関数行列の実現は，最小次元数をもつとは限らない。ここでは，最小次元数をもつ実現，すなわち最小実現を求める方法を考える。

一般に，不可制御かつ不可観測な状態空間表現(8.1)は適当な座標変換により，つぎの正準構造をもつように変換できることが知られている。

$\displaystyle{(8.23)\quad \left[\begin{array}{c|c} TAT^{-1} & TB \\\hline CT^{-1} & D \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc|c} A_1 & 0 & X_{13} & 0 & B_1 \\ X_{21} & A_2 & X_{23} & X_{24} & B_2 \\ 0 & 0 & A_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & X_{43} & A_4 & 0 \\\hline C_1 & 0 & C_3 & 0 & 0 \end{array}\right] }$

ここで，正方行列 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $A_4$ の次数は一意に定まり， $(A_1,B_1)$ は可制御対， $(A_1,C_1)$ は可観測対である。この正準構造のブロック線図を図8.1に示す。

図8.1　正準構造のブロック線図

さて，(8.23)を表す伝達関数行列を $G(s)$ とおくと，つぎが成り立つ。

$\displaystyle{(8.24)\quad \left[\begin{array}{c|c} A_1 & B_1 \\\hline C_1 & 0 \end{array}\right]=G(s) }$

これが最小実現であることが知られている。すなわち，最小実現は，可制御かつ可観測な部分系であり，入力から出力までの伝達特性を表している。

最小実現の計算は，まず，正準構造の可制御な部分系

$\displaystyle{(8.25)\quad \left[\begin{array}{cc|c} A_1 & 0 & B_1 \\ X_{21} & A_2 & B_2 \\\hline C_1 & 0 & 0 \end{array}\right]=G(s) }$

を求め，この可観測な部分系として求めるか，または，正準構造の可観測な部分系

$\displaystyle{(8.26)\quad \left[\begin{array}{cc|c} A_1 & X_{13} & B_1 \\ 0 & A_3 & 0 \\\hline C_1 & C_3 & 0 \end{array}\right]=G(s) }$

を求め，この可制御な部分系として求めればよい。したがって，可制御な部分系または可観測な部分系の計算が基礎となる。

一般に，つぎのように変換する直交行列 $T$ が存在する。

$\displaystyle{(8.27)\quad \left[\begin{array}{c|c} T^TAT & T^TB \\\hline CT & D \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} A_1 & X & \cdots & X & X & B_1 \\ B_2 & A_2 & \cdots & X & X & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & B_{k-1} & A_{k-1} & X & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & B_k & A_k & 0 \\\hline X & X & \cdots & X & X & D \end{array}\right] }$

ここで， $B_1,\cdots,B_{k-1}$ は横長の形状となり，行フルランク $m_1 \ge \cdots \ge m_{k-1}$ をもつ。また， $B_k$ は横長で，行フルランク $m_k$ をもつか零行列のどちらかである。 $(A,B)$ は，前者の場合は可制御対，後者の場合は不可制御対である。

そのような直交行列 $T$ と $m_1,\cdots,m_k$ を求める階段化アルゴリズムを実行するMファイルの作成例をつぎに示す。

/*staircase.m*/
function [T,m]=staircase(A,B,tol)
[n,r]=size(B);
j=0; s=0; T=eye(n); B1=B; A1=A;
while j $<$ n
j=j+1; [U1,S1,V1]=svd(B1);
m(j)=rank(B1,tol);
if (m(j)==n-s)|(m(j)==0),k=j; break, end
W=[eye(s) zeros(s,n-s);
zeros(n-s,s) U1 ];
T=T*W; A1=W’*A1*W;
s=s+m(j); B1=A1(s+1:n,s-m(j)+1:s);
end

ここで，tol は，7行で有効階数 m(j) を決めるために適切に選ばれる零判定基準である。

同様に，つぎのように変換する直交行列 $T$ が存在する。

$\displaystyle{(8.28)\quad \left[\begin{array}{c|c} T^TAT & T^TB \\\hline CT & D \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccccc|c} A_1 & C_2 & \cdots & 0 & 0 & X \\ X & A_2 & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & C_{k-1} & 0 & X \\ X & X & \cdots & A_{k-1} & C_k & X \\ X & X & \cdots & X & A_k　 & X \\\hline C_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & D \end{array}\right] }$

ここで， $C_1,\cdots,C_{k-1}$ は縦長の形状となり，列フルランク $p_1 \ge \cdots \ge p_{k-1}$ をもつ。また， $C_k$ は縦長で，列フルランク $p_k$ をもつか零行列のどちらかである。 $(A,C)$ は，前者の場合，可観測対，後者の場合，不可観測対である。

そのような直交行列を求める階段化アルゴリズムを実行するMファイルの作成例をつぎに示す。

%staircase2.m
function [T,p]=staircase2(A,C,tol)
[T,p]=staircase(A’,C’,tol)

例題8.3 例題8.2で得た実現の可制御かつ可観測な部分系を求め，最小実現を得よ。

解答 Mファイル

%min_realization.m
A=[-1 0 0;0 -3 -2; 0 1 0]; B=[1;1;0]; C=[1 0 0;0 1 1]; D=[0;0];
[T,m]=staircase(A,B,0.01);
AA=T’*A*T; BB=T’*B; CC=C*T; n=sum(m);
sys=ss(AA(1:n,1:n),BB(1:n:),CC(:1:n),D); tf(sys)

を実行して，

$\displaystyle{ T= \left[\begin{array}{ccc} -0.7071 & 0.5774 & -0.4082 \\ -0.7071 & -0.5774 & 0.4082 \\ 0 & 0.5774 & 0.8165 \end{array}\right], \ m_1=1,\ m_2=1,\ m_3=0 }$

を得る。このとき

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{c|c} T^TAT & T^TB \\\hline CT & D \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} -2.0000 & -0.0000 & 1.7321 & -1.4142 \\ -1.2247 & -1.0000 & 2.1213 & 0 \\ 0 & 0 & -1.0000 & 0 \\\hline -0.7071 & 0.5774 & -0.4082 & 0 \\ -0.7071 & 0 & 1.2247 & 0 \\ \end{array}\right] }$

となる。この可制御部分を取り出すと

$\displaystyle{ G(s)= \left[\begin{array}{cc|c} -2.0000 & -0.0000 & -1.4142\\ -1.2247 & -1.0000 & 0\\\hline -0.7071 & 0.5774 & 0\\ -0.7071 & 0 & 0\\ \end{array}\right] }$

となり，しかもこれは可観測であるので最小実現である。

演習8.3 演習8.2で得た実現の可制御かつ可観測な部分系を求め，最小実現を得よ。

演習問題の解答

【演習8.1】
$\frac{1-\frac{1}{2}Ls+\frac{1}{12}L^2s^2}{1+\frac{1}{2}Ls+\frac{1}{12}L^2s^2} =\frac{-\frac{12}{L}s}{s^2+\frac{6}{L}Ls+\frac{12}{L^2}}+1$

から，実現の一つは

$\left[\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{12}{L^2} & -\frac{6}{L} & 1 \\\hline 0 & -\frac{12}{L} & 1 \end{array}\right]$

である。

【演習8.2】
$\frac{s+2}{s^2+3s+2} = \left[\begin{array}{cc|c} -3 & -2 &1 \\ 1 & 0 & 0 \\\hline 1 & 2 & 0 \end{array}\right]$ ， $\frac{1}{s+2} = \left[\begin{array}{c|c} -2 & 1 \\\hline 1 & 0 \end{array}\right]$

だから

$G(s)= \left[\begin{array}{ccc|cc} -3 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 1\\\hline 1 & 2 & 1& 0 & 0 \end{array}\right]$

を得る。

【演習8.3】Mファイル

%min_realization2.m
A=[-3 -2 0;1 0 0; 0 0 -2]; B=[1 0;0 0;0 1]; C=[1 2 1]; D=[0 0];
[T,m]=staircase(A,B,0.01);
AA=T’*A*T; BB=T’*B; CC=C*T; n=sum(m);
sys=ss(AA(1:n,1:n),BB(1:n:),CC(:1:n),D); tf(sys)

を実行して，

$T= \left[\begin{array}{ccc} -0.4082 & -0.1826 & -0.8944 \\ -0.8165 & -0.3651 & 0.4472 \\ -0.4082 & 0.9129 & 0.0000 \\ \end{array}\right]$ ， $m_1=1,\, m_2=1,\, m_3=0$

を得る。このとき

$\left[\begin{array}{c|c} T^TAT & T^TB \\\hline CT & D \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|cc} -1.1667 & 0.3727 & -0.0000 & -0.4082 & -0.4082 \\ 0.3727 & -1.8333 & -0.0000 & -0.1826 & 0.9129 \\ -2.7386 & -1.2247 & -2.0000 & -0.8944 & 0.0000 \\\hline -2.4495 & 0 & -0.0000 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$

となる。この可観測部分を取り出すと

$G(s)= \left[\begin{array}{cc|cc} -1.1667 & 0.3727 & -0.4082 & -0.4082 \\ 0.3727 & -1.8333 & -0.1826 & 0.9129 \\\hline -2.4495 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]$

となり，しかもこれは可制御であるので最小実現である。