【本章のねらい】 ・ 状態オブザーバを構成する。 ・ 可観測性と可検出性を判定する。 |
4.1 状態オブザーバ
いま制御対象は平衡状態にあるとし,何らかの要因でこれが乱されたとき,速やかに元の平衡状態に戻す手段として,![]() ![]() ![]() ![]() に対する状態フィードバック を考えた。しかしながら,現実には状態変数をすべて計測できる場合は少ない。したがって,状態フィードバックは実際には実施できるとは限らない。そこで,状態オブザーバとよばれる が考案されている。ここで,サイズ 実際,(4.3)から(4.1)の第1式を辺々引き算すると ここで,行列 となって, 一つのアプローチは,つぎの仮想的な を安定化する状態フィードバック を求めることである。実際,閉ループ系は となって,行列 したがって,前章の状態フィードバックの設計法をそのまま援用できるが,実際には次章のLQG制御問題として解く場合が多い。 例題4.1 2次系 に対する状態オブザーバ 行列 これらから,オブザーバゲイン したがって,求める状態オブザーバ 演習4.1 2次系 に対する状態オブザーバ 例題4.2 例題4.1において, %obs_err.m 演習4.2 演習4.1において, さて, のように実施するとき,オブザーバベースト・コントローラは となる。このとき,閉ループ系はつぎのように表される( このように閉ループ系の 例題4.3 1次系 に対する状態フィードバック と,状態オブザーバ を考える。このときオブザーバベースト・コントローラ による閉ループ系の すなわち で表される。この行列 より, 演習4.2 例題4.3において, |
4.2 可観測性と可検出性
どのような![]() 【可検出性の定義とその等価な条件】 定義D0: 状態オブザーバを構成可能 これらの条件の一つが成り立つとき 【可観測性の定義とその等価な条件】 定義O0: 任意有限時間の入力と出力から,初期状態を一意に決定可能 これらの条件の一つが成り立つとき 例題4.4 つぎの
(2) 可観測性行列は, (3) 可観測性行列は, 演習4.4 例題4.4における可観測性の判定を, |
4.3 状態オブザーバの低次元化
これまで,状態オブザーバの出力![]() ![]() ![]() ![]() が考案されている。ここで,サイズ を満足させることができれば が成り立ち,これから したがって を得る(テキスト「線形システム制御入門」の 4.3節参照)。特に, 例題4.5 1入力 に対して, ここで, と選べば,次式が成り立つ。 演習4.5 例題4.1の2次系に対する恒等関数オブザーバを,その固有値が 例題4.6 例題4.5の1入力 を推定する線形関数オブザーバの一つは,つぎに ただし, と選べば,次式が成り立つ。 演習4.6 例題4.1の2次系に対して,状態フィードバック |
演習問題の解答
【演習4.1】 行列![]() 行列
したがって,求める状態オブザーバ 【演習4.2】 %obs_err2.m 【演習4.3】 %observer_based_controller.m 【演習4.4】 したがって,この2次系は可観測である。 (2) したがって,この2次系は可観測ではない。 (3) したがって,この2次系は可観測ではない。 【演習4.5】 ただし, %obs_err3.m 【演習4.6】 ただし, %obs_err4.m |