補遺：出力FB型追従SMI制御

補遺：出力FB型追従SMI制御…Homework

[1] 定値外乱を受ける制御対象

$\displaystyle{(1)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+w\\ y(t)=Cx(t)\\ (x(t)\in{\rm\bf R}^n, u(t)\in{\rm\bf R}^m, y(t)\in{\rm\bf R}^p, w\in{\rm\bf R}^n, m=p) \end{array} }$

の出力を、次のコマンド（定値目標）

$\displaystyle{(2)\quad r\in{\rm\bf R}^m %\begin{array}{l} %\dot{r}(t)=\Gamma(r(t)-r_c)\\ %(r(t),r_c\in{\rm\bf R}^m) %\end{array} %\Gammaは安定行列 }$

に追従させることを考えます。そのために、積分動作

$\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} \dot{x}_I(t)=y(t)-r\\ %\dot{x}_I(t)=r(t)-y(t)\\ (x_I(t)\in{\rm\bf R}^m) \end{array} }$

を考え、次の拡大系を構成します。

$\displaystyle{(4)\quad %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{x}_I(t) \end{array}\right] %}_{\dot{x}_E(t)} = %\underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] %}_{A_E} %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t) \\ x_I(t) \end{array}\right] %}_{x_E(t)} + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] %}_{B_E} u(t) + %\underbrace{ \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] %}_{w_E} }$

定常状態では

$\displaystyle{(5)\quad \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_\infty \\ x_{I\infty} \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} B \\ 0 \end{array}\right] u_\infty + \left[\begin{array}{c} w \\ -r \end{array}\right] }$

を得ます( $x_{\infty}$ , $x_{I\infty}$ , $u_{\infty}$ は定数ベクトル)。

●さて、関係式

$\displaystyle{(10)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ y(t)-r \end{array}\right] }_{x_{E2}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ C & 0 \end{array}\right] }_{S_E} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x(t)-x_\infty \\ u(t)-u_\infty \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} }$

を用いて、偏差系

$\displaystyle{(15)\quad \begin{array}{l} \boxed{ \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot x_2(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & 0 \end{array}\right] }_{A_{E3}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{c} 0\\ I_m \end{array}\right] }_{B_{E3}} {\dot u}(t)}\\ (x_1(t)=x(t)-x_\infty, x_2(t)=u(t)-u_\infty) \end{array} }$

を得ます。これはSM標準形となっていることに注意して、SM制御系を設計します。

●スイッチング関数として、次式を考えます。

$\displaystyle{(16)\quad s(t)= \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} S_1C & S_2 \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} = \underbrace{S_2 \left[\begin{array}{cc} M & I \\ \end{array}\right] }_{S} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} \ (M=S_2^{-1}S_1C) }$

(15)に対して、座標変換

$\displaystyle{(17)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{x'_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ S_1C & S_2 \\ \end{array}\right] }_{T_s} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)}\\ \Leftrightarrow \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ x_2(t) \end{array}\right] }_{x_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} I & 0 \\ -S_2^{-1}S_1C & S_2^{-1} \\ \end{array}\right] }_{T_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{x'_{E3}(t)} }$

を行って、次式を得ます。

$\displaystyle{(18)\quad \underbrace{ \left[\begin{array}{c} \dot x_1(t)\\ \dot s(t) \end{array}\right] }_{\dot{x}'_{E3}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \\ \end{array}\right] }_{T_sA_{E3}T_s^{-1}} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{x'_{E3}(t)} + \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} 0\\ S_2 \end{array}\right] }_{T_sB_{E3}} {\dot u}(t) }$

$\displaystyle{(19)\quad \begin{array}{l} \bar{A}_{11}=A-BM\quad(M=S_2^{-1}S_1C)\\ \bar{A}_{12}=BS_2^{-1}\\ \bar{A}_{21}=S_1(A-BM)\\ \bar{A}_{22}=S_1BS_2^{-1} \end{array} }$

以下では、 $\bar{A}_{11}$ が安定行列となるようにスイッチング関数が選ばれていると仮定します。

●このとき、スライディングモード制御則（SM制御則、SMC則）

$\displaystyle{(20)\quad {\dot u}(t)=\underbrace{{\dot u}_\ell(t)}_{linear\ control}+\underbrace{{\dot u}_n(t)}_{switching\ component}} }$

を、２次安定性

$\displaystyle{(21)\quad \begin{array}{lll} V(\bar{x})= \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right]^T }_{\bar{x}^T(t)} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} P_1 & 0\\ 0 & P_2 \end{array}\right] }_{P} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)}\\ \Rightarrow \dot{V}(\bar{x})\le - \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right]^T }_{\bar{x}^T(t)} \underbrace{ \left[\begin{array}{cc} Q_1 & 0\\ 0 & I \end{array}\right] }_{Q} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] }_{\bar{x}(t)} \end{array}} }$

すなわち

$\displaystyle{(21')\quad \begin{array}{lll} V(\bar{x})= \underbrace{x_1^T(t)P_1x_1(t)}_{V(x_1)}+\underbrace{s^T(t)P_2s(t)}_{V(s)}\\ \Rightarrow \dot{V}(\bar{x})\le -x_1^T(t)Q_1x_1(t)-s^T(t)s(t) \end{array}} }$

が成り立つように決定します（ $P_1>0$ , $P_2>0$ , $Q_1>0$ ）。

可到達性の検討

等価制御は

$\displaystyle{(22)\quad \begin{array}{l} s(t)=0\Rightarrow\dot{s}(t)=0 \Rightarrow 0=\bar{A}_{21}x_1(t)+\bar{A}_{22}s(t)+S_2{\dot u}(t)\\ \Rightarrow {\dot u}_{eq}(t)=-\underbrace{S_2^{-1}}_{(SB_{E3})^{-1}} \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \\ \end{array}\right]x'_{E3}(t)}_{SA_{E3}x_{E3}(t)}} \end{array} }$

のように得られます。(20)の第１項 ${\dot u}_\ell$ は、この等価制御をベースして

$\displaystyle{(23)\quad \begin{array}{l} {\dot u}_\ell(t)=-\underbrace{S_2^{-1}}_{(SB_{E3})^{-1}} \underbrace{(\left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{21} & \bar{A}_{22} \\ \end{array}\right]x'_{E3}(t)-\Phi s(t))}_{(SA_{E3}-\Phi S)x_{E3}(t)}} \end{array}} }$

のように構成します（ $\Phi$ は安定行列）。このとき閉ループ系は次式で与えられます。

$\displaystyle{(24)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{x}_1(t)\\ \dot{s}(t) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \bar{A}_{11} & \bar{A}_{12} \\ 0 & \Phi \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1(t)\\ s(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0\\ S_2{\dot u}_n(t) \end{array}\right] \end{array }$

すなわち

$\displaystyle{(25)\quad \begin{array}{l} \dot{x}_1(t)=\bar{A}_{11}x_1(t)+\bar{A}_{12}s(t)\\ \dot{s}(t)=\Phi s(t)+S_2{\dot u}_n(t) \end{array} }$

ここで、 $\Phi$ は安定行列なので

$\displaystyle{(26)\quad \begin{array}{l} P_2\Phi+\Phi^TP_2=-I \end{array} }$

を満たす $P_2>0$ を選ぶことができます。これを用いて

$\displaystyle{(27)\quad {\dot u}_n(t)=-\underbrace{S_2^{-1}}_{(SB_{E3})^{-1}}\rho\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||}} }$

と選びます（ $\rho>0$ は定数）。このとき次式が成り立ちます。

$\displaystyle{(28)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(s)=2s^T(t)P_2\dot{s}(t)\\ =2s^T(t)P_2(\Phi s(t)-\rho\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||})\\ =s^T(t)(P_2\Phi+\Phi^TP_2)s(t)+2s^T(t)P_2(-\rho\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||})\\ = -||s(t)||^2-2\rho||P_2s(t)||\\ \le -||s(t)||^2 \end{array} }$

スライディングモードの検討

$\bar{A}_{11}$ は安定行列なので

$\displaystyle{(29)\quad \begin{array}{l} P_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^TP_1=-Q_1<0 \end{array} }$

を満たす $P_1>0$ を選ぶことができます。

$\displaystyle{(30)\quad \begin{array}{l} \dot{V}(x_1)=2x_1^T(t)P_1\dot{x}_1(t)\\ =2x_1^T(t)P_1( \bar{A}_{11}x_1(t)+\bar{A}_{12}\underbrace{s(t)}_{0})\\ =x_1^T(t)(P_1\bar{A}_{11}+\bar{A}_{11}^TP_1)x_1(t)\\ =-x_1^T(t)Q_1x_1(t) \end{array} }$

積分動作をもつSMC

上で求めた偏差系E3に対するSMCは次式で与えられました。

$\displaystyle{(31)\quad {\dot u}(t)={\dot u}_\ell(t)+{\dot u}_n(t) }$

$\displaystyle{(32)\quad {\dot u}_\ell(t)=-(SB_{E3})^{-1}(SA_{E3}-\Phi S)x_{E3}(t) }$

$\displaystyle{(33)\quad {\dot u}_n(t)=-(SB_{E3})^{-1}\rho\frac{P_2s(t)}{||P_2s(t)||}}=-(SB_{E3})^{-1}\rho\,{\rm sgn}(P_2Sx_{E3}(t)) }$

これらを積分して、制御対象(1)に対する積分動作をもつSMCを導出します。

$\displaystyle{(34)\quad {u}(t)={u}_\ell(t)+{u}_n(t) }$

まず(32)は(10)を用いて次式のように書けます。

$\displaystyle{(35)\quad {\dot u}_\ell(t)=- \underbrace{ (SB_{E3})^{-1}(SA_{E3}-\Phi S)S_E^{-1} }_{\left[\begin{array}{cc} F & F_I \end{array}\right]} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ y(t)-r \end{array}\right] }_{x_{E2}(t)} }$

これを積分して

$\displaystyle{(36)\quad u_\ell(t)=-Fx(t)+F_I\int_0^t(r-y(\tau))d\tau }$

次に(33)は(10)を用いて次式のように書けます。

$\displaystyle{(37)\quad {\dot u}_n(t) =-S_2^{-1}\rho\, {\rm sgn}( \underbrace{ P_2SS_E^{-1} }_{\left[\begin{array}{cc} G & G_I \end{array}\right]} \underbrace{ \left[\begin{array}{c} {\dot x}(t) \\ y(t)-r \end{array}\right] }_{x_{E2}(t)}) }$

これを積分すれば

$\displaystyle{(38)\quad u_n(t)=S_2^{-1}\rho\,\int_0^t\underbrace{{\rm sgn}(-G{\dot x}(\tau)+G_I(r-y(\tau)))}_{0,\pm 1}d\tau }$

制御系CAD

制御を意識したモノつくりを目指して

補遺：出力FB型追従SMI制御