SICE BP（３慣性系）

●原、千田、佐伯、野波：ロバスト制御のためのベンチマーク問題(I)
-３慣性系に対する位置制御・速度制御
 ●佐伯、千田、野波、原：ロバスト制御のためのベンチマーク問題(II)
-位置制御系の設計例

[1]　次図のような３慣性系を考えます。

これは次の運動方程式で表されます。

$\displaystyle{(1) \begin{array}{l} \bullet j_1\ddot{\theta}_1(t)+d_1\dot{\theta}_1(t)=k_a(\theta_2(t)-\theta_1(t))+d_a(\dot{\theta}_2(t)-\dot{\theta}_1(t))+\tau(t)+\tau_{d1}\\ \bullet j_2\ddot{\theta}_2(t)+d_2\dot{\theta}_2(t)=-k_a(\theta_2(t)-\theta_1(t))-d_a(\dot{\theta}_2(t)-\dot{\theta}_1(t))\\+k_b(\theta_3(t)-\theta_2(t))+d_b(\dot{\theta}_3(t)-\dot{\theta}_2(t))+\tau_{d2}\\ \bullet j_3\ddot{\theta}_3(t)+d_3\dot{\theta}_3(t)=-k_b(\theta_3(t)-\theta_2(t))-d_b(\dot{\theta}_3(t)-\dot{\theta}_2(t))+\tau_{d3} \end{array} }$

ここで、物理定数は次の値が想定されています。

物理定数	最小値	公称値	最大値
$j_1$	0.0009	0.001	0.0011
$j_2$	0.0009	0.001	0.0011
$j_3$	0.001	0.002	0.003
$d_1$	0.045	0.05	0.055
$d_2$	0.0009	0.001	0.0011
$d_3$	0.0014	0.007	0.035
$d_a$	0.0002	0.001	0.01
$d_b$	0.0009	0.001	0.0011
$k_a$	828	920	1012
$k_b$	72	80	88

●以下では、 $j_3,d_3,k_b$ の３つのパラメータ誤差を考慮して、回転体３に対してインパルス外乱が加わるときのシミュレーションを行ってみます。

図1

原論文にはさまざまな問題設定がなされていますが、ここでは、回転体３に対するインパルス外乱の下で、回転体３を速やかに整定させる制御系設計を検討します。ただし、操作入力には次の振幅制限

$\displaystyle{(3)\quad \begin{array}{l} |u(t)|\le 3 \end{array} }$

が課され、観測出力は回転体１の変位 $\theta_1(t)$ とします。

[2] 制御対象のLPVモデルを導出します。

$\displaystyle{(4)\quad \begin{array}{l} \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} j_1 & 0 & 0\\ 0 & j_2 & 0\\ 0 & 0 & j_3 \end{array}\right] }_{J} \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} \ddot{\theta}_1(t)\\ \ddot{\theta}_2(t)\\ \ddot{\theta}_3(t) \end{array}\right] }_{\ddot{\xi}(t)} +\underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} d_1+d_a & -d_a & 0\\ -d_a & d_2+d_a+d_b & -d_b\\ 0 & -d_b & d_3+d_b \end{array}\right] }_{D} \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} \dot{\theta}_1(t)\\ \dot{\theta}_2(t)\\ \dot{\theta}_3(t) \end{array}\right] }_{\dot{\xi}(t)}\\ +\underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} k_a & -k_a & 0\\ -k_a & k_a+k_b & -k_b\\ 0 & -k_b & k_b \end{array}\right] }_{K} \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} {\theta}_1(t)\\ {\theta}_2(t)\\ {\theta}_3(t) \end{array}\right] }_{{\xi}(t)} = \underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right] }_{E_{3\times1}}\tau(t) +\underbrace{ \left[\begin{array}{ccc} \tau_{d1}\\ \tau_{d2}\\ \tau_{d3} \end{array}\right] }_{\tau_{d}} \end{array} }$

$\displaystyle{(5)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \dot{\xi}(t)\\ \ddot{\xi}(t) \end{array}\right] = \underbrace{ \left[\begin{array}{cccc} 0_{3\times3} & I_3\\ -J^{-1}K & -J^{-1}D \end{array}\right] }_{A(d_3/j_3,k_b/j_3)} \left[\begin{array}{c} {\xi}(t)\\ \dot{\xi}(t) \end{array}\right] + \left[\begin{array}{c} 0\\ J^{-1}E_{3\times1} \end{array}\right]\tau(t) + \left[\begin{array}{c} 0\\ J^{-1} \end{array}\right]\tau_d \end{array} }$

$\displaystyle{(6)\quad \begin{array}{l} J^{-1}D={ \left[\begin{array}{ccc} d_1/j_1+d_a/j_1 & -d_a/j_1 & 0\\ -d_a/j_2 & d_2/j_2+d_a/j_2+d_b/j_2 & -d_b/j_2\\ 0 & -d_b/j_3 & d_3/j_3+d_b/j_3 \end{array}\right]\\ =(d_1/j_1)D_1+(d_2/j_2)D_2+(d_3/j_3)D_3\\ +(d_a/j_1)D_4+(d_a/j_2)D_5+(d_b/j_2)D_6+(d_b/j_3)D_7\\ J^{-1}K= \left[\begin{array}{ccc} k_a/j_1 & -k_a/j_1 & 0\\ -k_a/j_2 & k_a/j_2+k_b/j_2 & -k_b/j_2\\ 0 & -k_b/j_3 & k_b/j_3 \end{array}\right]\\ =(k_a/j_1)K_1+(k_a/j_2)K_2+(k_b/j_2)K_3+(k_b/j_3)K_4\\ \end{array} }$

$\displaystyle{(6)\quad {\theta}_1(t)=\left[\begin{array}{cccc} E_{1\times 3} & 0_{1\times 3} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {\xi}(t)\\ \dot{\xi}(t) \end{array}\right] }$

ここで、 $\alpha_1\le\alpha\le\alpha_2$ 、 $\beta_1\le\beta\le\beta_2$ に対する次の内分式に注目します。

$\displaystyle{(8)\quad \begin{array}{l} \left[\begin{array}{c} \alpha\\ \beta \end{array}\right]= \underbrace{\frac{\alpha_2-\alpha}{\alpha_2-\alpha_1}\frac{\beta_2-\beta}{\beta_2-\beta_1}}_{p_{11}(\alpha,\beta)}\left[\begin{array}{c} \alpha_1\\ \beta_1 \end{array}\right]+ \underbrace{\frac{\alpha_2-\alpha}{\alpha_2-\alpha_1}\frac{\beta-\beta_1}{\beta_2-\beta_1}}_{p_{12}(\alpha,\beta)}\left[\begin{array}{c} \alpha_1\\ \beta_2 \end{array}\right]\\+ \underbrace{\frac{\alpha-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\frac{\beta_2-\beta}{\beta_2-\beta_1}}_{p_{21}(\alpha,\beta)}\left[\begin{array}{c} \alpha_2\\ \beta_1 \end{array}\right]+ \underbrace{\frac{\alpha-\alpha_1}{\alpha_2-\alpha_1}\frac{\beta-\beta_1}{\beta_2-\beta_1}}_{p_{22}(\alpha,\beta)}\left[\begin{array}{c} \alpha_2\\ \beta_2 \end{array}\right] \\ \end{array} }$

$\displaystyle{(9)\quad p_{11}(\alpha,\beta)+p_{12}(\alpha,\beta)+p_{21}(\alpha,\beta)+p_{22}(\alpha,\beta)=1 }$

$\alpha=d_3/j_3,\beta=k_b/j_3$ のとき上の状態方程式は、端点モデル

$\displaystyle{(10)\quad \begin{array}{l} \dot{x}(t)=\underbrace{A(\alpha_1,\beta_1)}_{A_{11}}x(t)+Bu(t)\\ \dot{x}(t)=\underbrace{A(\alpha_1,\beta_2)}_{A_{12}}x(t)+Bu(t)\\ \dot{x}(t)=\underbrace{A(\alpha_2,\beta_1)}_{A_{21}}x(t)+Bu(t)\\ \dot{x}(t)=\underbrace{A(\alpha_2,\beta_2)}_{A_{22}}x(t)+Bu(t) \end{array} }$